用向量法解答两类立体几何问题的思路

徐亚云

立体几何是高中数学中的重要模块，常见的立体几何问题有求空间角的大小，求空间距离，判断点、线、面之间的位置关系，求空间几何体的体积、表面积等.立体几何问题侧重于考查同学们的空间想象能力和推理分析能力.然而，有些同学这两个方面的能力较弱，很难顺利求得问题的答案，此时可巧妙运用向量法，使问题快速得解.本文重点谈一谈如何巧用向量法解答两类立体几何问题.

一、求空间角的大小

例1.如图1所示，PA垂直于矩形ABCD，AB、PC的中点分别是点M、N，若AD=AP=1，求平面PCD和平面ABCD所成的角.

解：以A点为坐标原点，以AB、AD、AP轴为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图1所示，

因为PA⊥面ABCD，

设矩形ABCD的边长BC=b，

在建立空间直角坐标系后，可分别求得平面PCD和平面ABCD的法向量，根据向量的数量积公式求得两个法向量的夹角的余弦值，再根据图形判断平面PCD和平面ABCD所成的角是钝角还是锐角，便可求得二面角的大小.

例2.如图2所示，菱形ABCD的边长为2，对角线交于点O，DE⊥平面ABCD.

（1）证明：AC⊥BE;

（2）已知∠ADC=120°，DE=2，点F在BE上，且OF∥DE，求直线AF與平面BCE所成角的大小.

解：（1）略.

（2）∵DE⊥平面ABCD，OF∥DE，

∴OF⊥平面ABCD，

二、求空间距离

例3.如图3所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长和底面边长都为1，BC的中点为M，侧棱CC₁上有一个点N且CN=2C₁N，求点B₁到平面AMN的距离.

解：以M为原点，以AM，MC为x，y轴方向建立空间直角坐标系，如图3所示，

例4.如图4所示，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长均为1，O是A₁C₁和B₁D₁的交点，则点O到平面ABC₁D₁的距离为________.

解：连接OA，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，如图4所示，

令x=1，则y=0、z=1，

用向量法解题的思路较为简单，通常只要建立合适的空间直角坐标系，求得各个点的坐标，便可通过向量的坐标运算求得问题的答案.

通过上述分析可以发现，运用向量法解答空间角度与空间距离问题比较便捷，但运算量较大.在采用常规方法解答空间角度与空间距离问题受阻时，可转换解题的思路，从向量角度入手，将问题转化为向量问题来求解，这样有利于提升解题的效率.