例谈证明数列不等式问题的三种途径

王静静

除了求数列的通项公式以及求数列的和问题，我们经常还会遇到证明数列不等式问题.证明数列不等式问题具有较强的综合性，不仅考查了数列知识，还考查了不等式、函数、方程等知识.本文重点讨论一下证明数列不等式的三种途径：采用数学归纳法、放缩不等式、构造函数.

一、采用数学归纳法

数学归纳法主要适用于证明与自然数有关的问题.数列不等式问题中的自变量为自然数集，因而可采用数学归纳法来求解.运用数学归纳法证明数列不等式一般有两个步骤：

第一步，证明当n=1时，数列不等式成立;

第二步，假设当n=k时数列不等式成立，据此推断出当n=k+1时数列不等式也成立.

综合当n=1時和当n=k时的两种情形，便可归纳出当n∈N⁺时数列不等式成立的结论.

例1.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=4，a₄=S₃，若S_n+b_n、S_n+1+b_n、S_n+2+b_n成等比数列.

（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式;

证明：（1）a_n=2n-2，b_n=n²+2（过程略）;

①当n=1时，c₁=0<2，不等式成立;

则当n=k+1时，

数列{c_n}的通项公式中含有根式、分式，较为复杂，很难快速求得数列的和，证明不等式成立，需采用数学归纳法进行证明.先判断当n=1时c₁与2的大小关系，证明不等式成立，然后假设当n=k时，数列不等式成立，将其当作已成立的条件，根据不等式的传递性推出当n=k+1时数列不等式也成立，从而证明数列不等式成立.

二、放缩不等式

三、构造函数

有些数列不等式较为复杂，此时我们可将数列看作自变量为自然数的特殊函数f（n），将问题转化为证明f（n）≤c、f（n）≥c（c为常数）.根据函数单调性的定义、数列前后项之间的大小关系判断出数列的单调性，即可求得数列的和的最值，求出f（n）的最值，证明f（n）_max≤c、f（n）_min≥c（c为常数），即可证明数列不等式成立.

∴函数f（n）是单调递增函数，

通过上述分析，可知数学归纳法、放缩法以及构造函数法都是证明数列不等式的重要手段，其中放缩法比较常用，其适用范围较广;对于较为复杂的数列不等式问题，常需采用数学归纳法和构造函数法来进行求证，但这两种方法较为繁琐，且运算量较大.