巧构函数，妙证不等式

陈冰

对于较为复杂的不等式，如不等式中含有指数式、对数式、根式、绝对值、复合函数式等，我们常用构造函数法来求证.这就需要根据不等式的结构特征，构造合适的函数模型，将不等式证明题转化为函数最值问题来求解.那么，如何构造出合适的辅助函数？下面介绍构造函数的两个技巧.

一、通过作差构造函数

有些不等式两边的式子均较复杂，此时可尝试将不等式两侧的式子作差，如将f（x）≤g（x）变形为f（x）-g（x）≤0，再设h（x）=f（x）-g（x），根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性求得最值，只要证明h（x）_max≤0，即可证明不等式.对于不等式f（x）≥g（x），可将其转化为证明（f（x）-g（x））_min≥0;对于不等式f（x）>g（x），可将其转化为证明（f（x）-g（x））_min>0;对于不等式f（x）>g（x），可将其转化为证明（f（x）-g（x））_max<0.

（1）先证：当x>-1时，ln（x+1）≤x.

所以，当-10，即函数f（x）在（-1，0）上单调递增;当x>0时，f′（x）<0，即函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，可知函数f（x）在（-1，+∞）上的最大值为f（x）_max=f（0）=0，

因此，當x>-1时，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）-x≤0，

所以ln（x+1）≤x.

当-10时，g′（x）>0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，可知函数g（x）在（-1，+∞）上的最小值为g（x）_min=g（0）=0，因此，当x>-1时，g（x）≥g（0）=0，

二、通过换元构造函数

若不等式中含有复合函数式、绝对值、根式以及多次出现的式子，就可引入新变量，将复合函数中的一部分、绝对值符号内部的式子、根号下的式子、多次出现的式子用新变量替换，通过换元来构造函数，判断出函数的单调性，求得函数的最值，即可证明不等式成立.

即证当x∈（0，+∞）时，ln（x+1）>x²-x³恒成立.

设f（x）=ln（x+1）-x²+x³，

可知当x∈（0，+∞）时，f′（x）>0，即函数f（x）在

（0，+∞）上单调递增，

所以f（x）>f（0）=0，即ln（x+1）-x²+x³>0，

所以ln（x+1）>x²-x³.

运用构造函数法解答较为复杂的不等式证明问题，关键在于根据不等式的结构特点，对不等式进行合理的变形，如作差、换元，以便顺利构造出合适的函数模型.同学们在证明不等式时要利用好函数这个“工具”，以提升解题的效率.