如何比较指数、对数函数式的大小

高晨予　冯帆

比较函数式大小问题的难度一般不大，常以选择题、填空题的形式出现在各类试卷中，其中比较指数、对数函数式的大小问题较为复杂，此类问题侧重于考查指数、对数函数的单调性、奇偶性、图象以及运算性质.比较函数式大小的常用方法有作差比较法、作商比较法、函数性质法、中价值法、公式法等.本文重点谈一谈比较指数、对数函数式大小的两种常用途径.

一、利用函數的单调性

我们知道，指数、对数函数具有单调性，当0x（a>0，且a≠1）在R上单调递减;当a>1时，指数函数y=a^x在R上单调递增.当0ax（a>0，且a≠1）在（0，+∞）上单调递减;当a>1时，指数函数y=log_ax在（0，+∞）上单调递增.在比较指数、对数函数式的大小时，可将两个函数转化为底数、指数、真数相同的指数、对数函数式，再根据指数、对数函数的性质来进行比较.

例1.已知a>b，则（    ）.

例2.（2020年全国I卷理科，第12题）若2^a+log₂a=4^b+2log₄b，则（    ）.

A.a>2b    B.a<2b    C.a>b²D.a2

分析：不等号两边的式子都是一个指数函数式和一个对数函数式的和，其结构相同，于是将其变形2^a+log₂a=4^b+2log₄b=2^2b+log₂b，构造同底数的函数式f（x）=2^x+log₂x，再讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性，便可根据函数的单调性来比较a、2b的大小，从而选择出正确的选项.

解：设f（x）=2^x+log₂x，则f（x）为增函数，

因为2^a+log₂a=4^b+2log₄b=2^2b+log₂b

所以f（a）-f（2b）=2^a+log₂a-（2^2b+log₂2b）

所以f（a）

当b=1时，f（a）-f（b₂）=2>0，

此时f（a）>f（b₂），有a>b²，

当b=2时，f（a）-f（b₂）=-1<0，此时f（a）2），有a2，所以C、D两项错误.故本题选B答案.

有些要比较大小的式子很复杂，但是仔细一看就会发现其中有很多重复或者是相似的地方，可从中找到一些“端倪”，据此构造新函数，根据新函数的单调性来比较函数式的大小.

二、取中间值

运用中间值法比较两个指数、对数函数式的大小，通常要与放缩法相结合，即以中间值作为“桥梁”，根据不等式的传递性来将要比较的式子进行放缩，以便快速比较出各个指数、对数函数式与中间值的大小.

例3.已知a=1og₅2，b=log_0.50.2，c=0.5^0.2，则a，b，c的大小关系为（    ）.

A.a

b=log_0.50.2<1og_0.50.25=2，

故A选项正确.

相比较而言，第一种途径较为简单，且较为常用，第二种途径较为灵活，且较为复杂，常用于求解较为复杂的，且没有任何共同点的函数问题.在比较指数、对数函数式的大小时，同学们要有敏锐的观察力和较强的分析能力，这样才能根据函数式的特点快速选出合适的方法来求解.