拓展错题资源，培养学生数学思维品质

宋友慧

摘要：在初中数学学习过程中，错误的产生是不可避免的。作为数学教师，我们首先要正确看待错误现象，同时也要善于挖掘错误资源并充分利用错误的教育价值，将其转化为“错题资源”，引导学生在分析错误、思考错误和改正错误的过程中不断修正认知，巩固所学知识，进而促进学生数学思维品质的深化与发展，进一步提升初中数学课堂的有效性。

关键词：初中数学;错题资源;思维品质

很多教师会对学生在学习过程中出现的错误持唯恐避之不及的态度，在解决方式上也是严厉批评学生，生硬地督促学生尽快订正，却很少引导学生对错题原因进行剖析及分类整理。这样的处理方式在很大程度上会使学生对“错误”产生恐惧感，进而对该学科的学习也产生排斥与畏惧心理，久而久之，造成的负面影响则是不可估量的。作为初中数学教师，我们要正确认识并充分利用学生出现的错误，将其转化为促进教师调整教学行为、引导学生培养数学思维的有力武器，以此提升数学课堂的教学质量，推动学生的发展与进步。因此，从这个方向出发，本文主要围绕追本溯源、对比辨析、变式练习及反思聚合这几个方面展开具体探讨，以发挥错题资源在培养学生数学思维品质方面的积极作用，培养学生良好的数学思维与素养。

1   追本溯源，培养深度思维

错题追本溯源是指要进行错因剖析，这是非常重要的环节。只有在正确认识错误原因的基础上，教师才能及时发现教学中的薄弱环节，反思并纠正自己的教学行为。学生也能结合错因进行针对性的查漏补缺，修正错误认知，不断完善个人知识体系。在这个过程中，学生的数学思维也会获得纵深发展，有利于促使学生养成良好的思维习惯，提升学生的数学思维能力。

例如，以一道數学题目来讲：已知关于x的方程（m-2）2 x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ）？

A. m> 3/4                         B. m≥ 3/4

C. m>3/4且m≠2          D. m≥3/4且m≠2

学生的解答过程是：由题意，得a=（m-2）2，b=2m+1，c=1，则Δ=b2-4ac=（2m+1）2-4（m-2）2×1=4m2+4m+1-4（m2-4m+4）=20m-15>0，解得m>3/4，便选择了选项A。但是，这样的答案是错误的，教师可以让学生再次读题分析题意，看自己忽略了哪个条件。很明显，学生的解答过程用到了根的判别式的知识点，对应题干后半句“方程有两个不相等的实数根”的条件，计算过程也没有问题，错因就在于学生忽略了前半句话“关于x的方程”，方程有两个不相等的实数根，那么此方程必为一元二次方程，所以二次函数的二次项系数（m-2）2≠0，学生的错解就在于漏掉了m≠2这个隐含条件。通过对这道题的错因分析，学生也意识到这类题目很容易忽略根的判别式使用的前提条件是一元二次方程，在解题时，要牢记二次项系数不为零的条件，暴露出学生的基础知识不够扎实，同时也了解了这类型题目的“陷阱”所在，效果较好。

一般来说，学生出现错题的原因包括对知识的基本概念不清楚，对知识掌握的熟练度不够以及不善于对问题进行整体系统思考，不能多维度地思考知识点之间的联系，还包括粗心大意、计算失误等。针对不同的错因，采取的补救措施自然也不尽相同。因此，对错题进行追本溯源、寻根问底是教师要重视的环节，并要结合错因采取改进措施，提升学生分析问题、解决问题的能力。

2   对比辨析，培养批判思维

在新课标所倡导的教育理念中，学习不是教师将知识灌输给学生，而是要让学生自主建构和获取。同样，对待错题，教师也应让学生自主发现与探究问题所在，思考解决错误、修正认知的方法与策略。因此，教师可以利用对比辨析错题的方式引发学生思考，让学生运用批判性思维分析错题，突破思维障碍。

例如，以分析抛物线与坐标轴的交点情况的数学题目为例，题目一：抛物线y=2x2+4x+c与坐标轴有两个交点，则c的取值需要满足的条件是______？题目二：抛物线y=2x2+4x+c与x轴有两个交点，则c的取值需要满足的条件是______？这两道题目非常相似，很多学生认为这两道题的解法都是应用根的判别式，已知有两个交点，则判别式△=b2-4ac>0=42-4×2×c>0，解得c<2。用这样的解法解答题目二是没有问题的，但用这样的思路解题目一就大错特错了。教师让学生细致地对比这两道题的不同，学生发现一个是与坐标轴有两个交点，一个是与x轴有两个交点，这才恍然大悟，坐标轴包括x轴和y轴，所以要解答题目理应结合图像分情况讨论。具体包括两种情况：二次函数过原点，也就是抛物线与x轴、y轴都有唯一交点，只需要将（0，0）代入解析式得c=0;再一个是△=0，抛物线与x轴与y轴各一个交点，解得c=2。就这样，通过对比可以使学生更加直观地认识到这类题目的考点与易错点，有助于加深学生的印象。

也就是说，批判性思维可以促使学生透过错题现象洞悉知识本质，形成良好的独立思维判断力。之所以很多学生会出现同类型错题反复出现的情况，一个很重要的原因就是学生缺乏对错题的深入思考与批判性认知，仍停留在简单的订正上，这样产生的学习效果微乎其微，需要引起教师警觉，防止学生进入无效订正与刷题的恶性循环中。

3   变式练习，培养创新思维

在经过追本溯源、对比辨析的错误反思环节之后，接下来要让学生及时订正错题，并通过多次变式训练、错题重考等形式加深学生对数学知识的理解与掌握程度，避免同类型错误反复出现。变式练习的方式可以帮助学生从多变的考查形式中理解知识的本质，把握不变的规律，能起到帮助学生巩固完善知识体系的作用。同时，教师在题目的形式变化上也可以创新，提升学生习题训练的兴趣与积极性，培养学生创新思维的品质。

例如，以解三角形知识点相关的易错题来说，学生很容易出现三角函数定义不清晰、边角关系混淆的错误，比如，在Rt△ABC中，如果将各边长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正切值（   ）？学生若给出扩大2倍的答案则证明对三角函数的定义掌握得不够，教师可以引导学生利用画图分析的方式进行思考，明确三角函数在本质上只是一个比值，锐角A的正切值不变。教师通过相应的变式题目帮助学生针对性地巩固了相关知识点，克服了思维障碍。

也就是说，变式练习是对学生普遍存在的错题进行不同角度、不同层次、不同情形的变式，通过暴露问题的本质特征深化学生认识的一种教学策略。教师要善于通过变式练习等方式培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力，让学生在已有经验的基础上进行创新创造，对问题进行多角度、多渠道的思考，理解数学知识的本质，这样才能帮助学生消除思维定式的影响，有效训练学生思维的完整性与创造性。

4   反思聚合，培养建构思维

在建构主义学习理论中，学生学习的过程不是由教师向学生的传递，而是自己建构知识的意义，获得思维发展的过程。那么，建构思维就可以理解为学生在学习中不断进行思考，通过理解和建构新的知识和信息丰富原有的知识经验，实现新的认知平衡的思维方式。这就启示教师要重视错题反思的重要性，让学生从错题中收获知识的巩固与思维的深化，使之形成再生资源，帮助学生养成良好的学习习惯。

例如，二次函数相关的题目是初中数学考查的重点内容，教师在平时的训练中不仅要指导学生分析与订正错题，同时也要引导学生对错题进行分类整理，总结常出现的易错点并记录下来，形成体系。如二次函数考查题目中的易错点包括忽略字母系数的限制条件，学生常出现的错误还包括判断二次函数y=ax2的增减性时未分类讨论、忽略顶点式y=a（x-h）2+k中的符号、函数图像平移时出现方向错误、求二次函数最值时忽略自变量的取值范围等。教师要利用好这些易错题资源，带领学生归纳总结，帮助学生以分类整理错题的方式系统地完善与充实个人的知识体系。

心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻。”错误本身并不可怕，它的出现可以暴露学生平时学习时的知识漏洞，或者缺乏把知识内化的能力。针对不同的错误，教师要引导学生深刻地反思与剖析，对知识点进行分析和总结，以减少在同类题型或者同一知识点出现错误的频次，进而帮助学生提高学习效率，并对后续学习进行调整与优化。

5   分解推理，培养逻辑思维

推理是数学核心素养之一，也是学生学习数学的基本方式。很多学生出现数学错题的原因就在于对问题本身未进行有效的挖掘与推理，对题目中的信息不能充分利用。因此，教师在带领学生剖析错题的时候，要注重引导学生树立捕捉信息、处理信息的意识，强化信息处理能力与推理能力，在此基础上推动学生逐步形成与发展逻辑思维意识与能力。

例如，对于定理分析的数学题目来说，需要学生对数学定义及概念进行深入剖析，将定理及相关推论真正理解透彻。下列说法错误的是（    ）？

A过一点有且仅有一条直线与已知直线平行

B.平行于同一条直线的两条直线平行

C.若a□b，b□c，c□d，则a□d

D.同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，那么它与另一条也相交

在解答这道题目的时候，很多学生选择的选项是B或者C，这暴露出的就是学生对于平行公理及其推论没有理解透彻。教师要让学生逐一理解选项，首先我们来看A选项，看似表述跟平行定理非常相似，但却少了至关重要的一个条件，那就是“过一点”一定要为“直线外一点”，否则就和已知直线重合了，这时过一点有且仅有一条直线与已知直线平行就不成立，所以A选项的说法是错误的。B选项和C选项都是平行定理的推论，如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行，且对三条或三条以上的平行线都具有传递性，所以B选项和C选项都是对的。D选项中同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，那么它与另一条也相交，根据相交与平行的关系可得也是正确的。所以，通过逐一分解推理可得，选项A的说法是错误的。教师在剖析这类型错题时，不仅要关注学生的答案是否正确，还要让学生逐一解释每个选项为什么正确，错误的错在什么地方，这样才能有效加深学生对相关数学定理及推论的理解与记忆，加深对知识的印象。

学生的学习是连贯的，相互影响较大，一道综合性的题目可能会涉及不同年级、不同阶段的知识点，这就对学生的逻辑思维能力及灵活应用知识的能力提出了很高的要求。作为初中数学教师，我们不仅要利用错题资源帮助学生培养逻辑思维能力，还要将其融汇在日常教学过程中，从点滴做起，为学生的数学思维品质培养奠定基础。

6   联系对比，培养发散思维

在纠错、改错上，如果学生只是错一道题、改一道题，不对同类型的题目进行有意识的联系对比，那么就很容易出现相同错误反复发生的情况，学生也很难得到长足的进步与思维能力的提升。因此，要想将错题拓展为有效的教学资源，教师就要善于引导学生就相似的错题展开对比分析，从中总结该类型题目的“陷阱”所在，实现知识的良性迁移。

例如，以实数相关的内容来说，题目是这样的：一个非负数的平方根是2a-1和a-5，求这个非负数______？很多学生出现的错解是9或81，原因就在于错误地理解了问题中对应的情况，误认为此时有两种情况，2a-1和a-5相等或者2a-1和a-5互为相反数。但通过对题目的推理，要满足一个非负数的平方根是2a-1和a-5，只存在一种情况，那就是（2a-1）+（a-5）=0，解得a=2，所以这个非负数是（2a-1）2=（2×2-1）2=9。在此基础上，教师可以趁热打铁，再让学生通过习题训练辨析和理解这类型题目，如已知a-1和5-2a都是m的平方根，求a和m的值。这种题目就需要学生进行分情况推理分析。所以我们综合两道题目来看，一方面是要让学生学会判断情况，选择正确的情况求解;另一方面则需要学生综合考虑题目中的条件，学会分情况讨论。这样的易错题训练对于促进学生的发散思维能力发展有很大帮助。

学生在就错题展开联系对比、拓展延伸的时候，其发散性思维能力也能得到一定的发展。在这个过程中，学生的思路要不拘泥于一个途径、一个方法，向各种可能的方向扩散，从而有利于促使其从不同角度、不同方面和不同关系去思考问题，厘清问题的易错点，准确分析错误及其成因，真正发挥错题资源的价值，帮助学生扫除思维死角，探究有效的纠错措施。

总而言之，通过对错题进行针对性分析与订正，可以在培养深度思维、批判思维、创新思维及建构思维方面发挥积极作用。当然，这只是教師转化与利用错题资源的一个方向，其与初中数学课堂的融汇点还有很多，需要教师在具体的教学实践中不断思考与探索，这样才能巧妙合理地利用错题资源，让学生在纠错中发散思维，获得进步，有效提升学生的数学学习能力和教师的数学教学能力。

参考文献：

[1]王华.数学单元起始课教学设计的原则和方法[J].教学与管理，2020（7）：39-42.

[2]张孝涛.因错而精彩：初中数学教学中错误资源的有效应用[J].数理化解题研究，2019（11）：13-14.