空间几何体体积的几种求法

乔玉洁　刘锦

求空间几何体的体积问题侧重于考查球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆台、圆锥的结构特征和体积公式. 此类问题对同学们的观察和空间想象能力有较高的要求.解答此类问题，需仔细观察空间几何体，明确其结构特征，对其进行合理的拆分、转化，选择合适的体积公式进行求解.下面重点探讨一下三种求空间几何体体积的方法.

一、公式法

例1.（2021年浙江卷）某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积是（    ）.

分析：根据三视图可得如图2所示的四棱柱，根据棱柱的体积公式：V=ShS是柱体的底面积、h是柱体的高）可求得四棱柱的体积.

故本题选A.

例2.（2021全国甲卷文科，第19题）已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁B₁B为正方形，如图3.AB=BC=2，E，F分别为AC和CC₁的中点，BF⊥A₁B₁，求三棱锥F-EBC的体积;

解：如图4所示，连接AF，

∵AB⊥BB₁，BC⊥AB，BB₁∩BC=B，

∴AB⊥BF，

∴AB²+BC²=AC²

∴AB⊥BC，△ABC为等腰直角三角形，

公式法是求空间几何体体积的基本方法.在利用公式法求空间几何体的体积时，需先判断几何体的类型，再结合已知条件确定体积公式中的几何量.在求锥体、柱体、台体的体积时，需结合已知条件找准底面，并求出高和底面的面积;在计算球的体积时，需找准球的球心，确定球的半径.

二、等积法

等积法包括等面积法和等体积法.等面积法是通过改变平面图形的底和高，利用等面积的原理来求面积的方法;等体积法是通过改变几何体的底面和顶点，利用等体积的原理来求体积的方法.运用等积法求空间几何体的体积，需先根据题意选择易于求得面积的底面和高，通过转换几何体的底面和顶点，求得问题的答案.

例3.（2020年海南卷）如图5，已知正方体ABCD- A₁B₁C₁D₁的棱长为2，M，N分别为BB₁，AB的中点，则三棱锥A-NMD₁的体积为________.

分析：由题意画出图形.仔细观察图形的特点，可发现三棱锥A-NMD₁的底面△ANM和高容易求得，于是采用等积法，转换顶点和底面，通过求底面△ANM的面积和D₁到△ANM的距离，来求三棱锥A-NMD₁的体积.

解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，M、N分别为BB₁、AB的中点，

例4.（2020年全国III文科，第16题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.

解：易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图6所示，

可得BC=2，AB=AC=3，且点M为BC边上的中点，

设内切圆的圆心为O，设内切圆半径为r，

∴S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC

本题可转化为圆锥内切球的问题.确定截面后，便可采用等积法，将求△ABC的面积转换为求△AOB、△BOC、△AOC的面积，根据圆锥的体积公式进行求解.等积法实质上是根据等量代换的原理，将所求的面积、体积进行等价转换.

三、割补法

对于一些简单的空间几何体，如棱柱、圆台、棱锥、球等，可以直接套用几何体的体积公式进行求解. 对于一些较为复杂且不规则的空间几何体，通常需采用割补法，通过分割与补形，将原几何体构造成较易计算体积的、规则的空间几何体，以便根据简单空间几何体的体积公式进行求解.

例5.正三棱柱ABC-A_1B1C1的各棱长均为1，D为AA₁的中点，则四面体A₁BCD的体积是（    ）.

解：绘制如图7所示的图形，

∵ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，

∴底面ABC为正三角形，侧面BB₁C₁C为正方形，

故本题选D.

四面体A₁BCD底面上的高比较难求，需转换思路，将四面体A₁BCD补成正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，把不规则的四面体补形为规则的正三棱柱，然后将正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积减去四棱锥A₁-BB₁C₁C和三棱锥D-ABC的体积，就得到了四面体A₁BCD的体积.

例6.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（    ）.

解：绘制如图8所示的图形，

∵PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，

∴三棱锥P-ABC为正三棱锥，

∴顶点P在底面的射影O₁为底面三角形的中心，连接BO₁交AC于G，

∴AC⊥BG，

又PO₁⊥AC，PO₁∩BG=O₁，

∴AC⊥平面PBG，∴PB⊥AC，

∵E，F分別是PA，AB的中点，∴EF∥PB，

又∵∠CEF=90°，即EF⊥CE，

∴PB⊥CE，PB⊥平面PAC，

∴正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，

∴本题选D.

总之，只有将解答空间几何体的体积问题转化为简单的、规则的空间几何体的体积问题，才能使问题快速得解.这就要求我们熟悉常见空间几何体的结构、性质、体积公式，灵活运用等积法、割补法，将问题进行合理的转化，然后选择与之相应的空间几何体体积学公式进行求解.