展思维过程 促能力提升
2022-05-30朱祖煌
朱祖煌
[摘 要] 为了提升学生的学习能力，在数学教学中应多让学生经历一些过程，鼓励学生去尝试、去探究、去领悟，进而通过分析、比较、概况等实践活动得到正确的知识思想方法. 为了让学生更好地去经历过程，教师应适时适当地呈现一些数学家、教师或学生的思维过程，进而有效地发展学生的思维，培养学生良好的思维习惯和数学素养.
[关键词] 学习能力;思维过程;数学素养
在唯分论的影响下，为了追求高分，部分教师会习惯性地将数学知识和解题方法通过“灌输”的方式传授给学生. 在教师的“灌输”下，学生通过模仿确实可以解决大多数问题，学生的成绩在“题海”模式下也会有所提高，然学生的自主学习、自主探究、自主解决能力并不会得到实质性提升. 教师要意识到，若想让学生学会学习，应多引导学生去发现、去创造，只有所学的东西是自己发现的或者自己创造的，才能形成更加深刻的印象，在解决实际问题时也才会得心应手. 因此，在教学过程中，教师应多展示一些思维过程，让学生在亲身经历中有所感悟，有所收获，那么教学中该如何展示思维过程呢？如何才能让学生在教学中获得有效的学习方法，提升数学学习能力和数学素养呢？笔者认为，教学中教师可以通过展示数学家、教师或学生的思维过程来帮助学生习得方法，训练能力，进而让学生的思维能力和学习能力在“过程”中开花结果.
[?]展示数学家的思维过程，体验知识生成过程
众所周知，人们对数学知识的认识大多源于生活实践，人们先是根据直观感受获得数学感知，再根据生活实践不断总结、归纳，从而提炼出数学命题，然后通过逻辑分析、逻辑推理加以证明，最终形成概念、公式、定理等. 其实数学知识的形成过程是丰富多彩的，然由于教材篇幅等因素影响，在教材中并未得到完整的体现，如果教学中还对这些知识的形成过程视而不见，只是按照教材的顺序给出概念、公式、定理及其证明后就去应用，这样的学习只是简单的“搬运”，学生学到的只是一些抽象的数学结论，无法体会知识的探索和发现，也无法理解数学家探索未知世界的思维，更无法领悟数学知识的真正价值，学生只会将数学视为一门必修课，高考必考科目，这样的数学学习是机械的、盲目的，不利于学生创新能力的提升. 因此，教学中教师应结合学生实际学情和认知规律，适时适当地创设一些问题情境，引导学生进行一定的探究，让学生可以顺着数学家的思维去思考问题，领悟探索数学知识的思维方法，让学生不仅能掌握结论，还能懂得数学发现、数学创造的真正意义，以此通过“过程”培养学生的创新意识.
案例1 认识“分类计算与分步计算”.
师：看看以下两个问题，你会解吗？（教师用PPT展示题目）
问题1：现有一个三层书架，第一层（最上面一层）放有6本不同的数学书，第二层放有5本不同的语文书，第三层放有3本不同的英语书. 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
问题2：现有一个三层书架，第一层（最上面一层）放有6本不同的数学书，第二层放有5本不同的语文书，第三层放有3本不同的英语书. 如果三种书各取1本，有多少种不同的取法？
两个问题并不难，在教师的带领下顺利地解决了问题，问题解决后教师又引导学生列举一些与之类似的例子，待学生对问题有了更深层的理解后，教师又提出了新的问题：归纳一下，解决问题1和问题2的方式有哪些异同？
生1：我认为相同的是都是取书问题，不同的是取书的数量不同. （生1的答案给出后，大多数学生认为生1是答非所问）
生2：问题1只要在三类书中任取1本就可以，而问题2是在每类书中各取1本.
生3：正如生2所说，其实在问题1中，只要在三类书中任取1本，这个事件就结束了;而问题2必须是每类书都要取到1本. 解决问题1只要一步就可以完成，而解决问题2需要三步才能完成，每步都缺一不可.
生4：问题1是分类问题，问题2是分步问题.
……
师：同学们都说得非常好，现在我们从计算方法上思考一下，你是如何计算的？
生4：问题1是相加的，而问题2是相乘的.
师：在“相加”和“相乘”中你有何体会？
生5：如果所要解决的问题是分类进行的，只要将每一类的方法种数相加即可;如果是分步解决的，需要将每一步的方法种数相乘.
师：通过对以上问题的讨论容易发现，其实完成一件事有两种方式，一种是分类，另一种是分步，这就是我们今天要重点学习的内容.
教学中，学生在教师的引导下通过合作交流发现了问题的核心，同时又用自己的语言总结归纳出了基本的解决方法，此时教师再给出两个计数原理就变得顺理成章了.
教学反思：從教学过程可以看出，教师采用的是先探究再引入的方式，即先让学生结合生活经验去体会两种方式的不同，接下来通过问题引导和合作交流逐渐指向问题本质，学生会经历分析、比较、概况等思维过程，在某种意义上来讲，其与数学家的思维过程是一致的，只有让学生去经历、去体验才能有效帮助学生深刻理解概念，形成正确的思维方法，激发学生无限的创造力.
[?]展示教师的思维过程，树立正确的学习观
教师作为课堂的引领者，其在课堂教学中的作用是不言而喻的. 在日常学习中，学生常常会模仿教师的思维去思考和解决问题，以此来丰富解题经验、解题方法，逐渐形成自己的思维方式. 因此，教师的思维过程在发展学生的数学思维中发挥着举足轻重的作用，这就要求教师善于在教学中合理地展示自己的思维过程. 在现实的教学中，不少教师意识到了过程性教学的重要性，不过教学中教师所展示的大多数是数学家的思维，是“成功”的思维. 其实，在教学过程中教师可以多展示一些自己的思维过程，多展示一些自己“失败”的经验，让学生知道教师在解题时也会遇到困惑、挫折、失败，这样可以拉近师生的距离;同时要展示失败后又是如何摆脱困境的，以此鼓励学生敢于面对挫折，引导学生树立正确的学习观，从而培养学生良好的思维能力和解题能力，培养学生健康的心理.
案例2 已知数列{b}是等差数列，且b=1，b+b+…+b=145.
（1）求数列{b}的通项公式;
（2）设{a}的通项a=log
1+
①（其中a>0，且a≠1），记S是数列{a}的前n项和，试比较S与logabn+1的大小，并证明你的结论.
对于问题（1），学生容易得到b=3n-2②.
对于问题（2），参考答案给的是“数学归纳法”的相关知识进行证明的，但是教师发现了其他解题方案，于是呈现出了自己的解题过程：
由①②，得a=log
1+
=log
1+
③，设a′=log
1+
④，a″=log
1+
⑤，且{a′}与{a″}的前n项和分别为S′与S″.
当a>1时，有a>a′>a″，于是S>S′>S″，知3S>S+S′+S″=（a+a′+a″）=
log+log+log
=log=log
···…·
=log（3n+1）=logabn+1，于是得S>logabn+1.
当0 求解问题（2）时，教师也是做了不同的尝试，经历了许多试探才得到了这个简洁的方法，如果教学中教师不展示自己的思维过程，而以标准答案的方式直接将解题方法灌输给学生，即使学生在教师的讲解下可以理解解题过程，但对为什么这样解题会感觉迷茫，很难促进学生的思维发展，也很难转化为学生个体的解题能力. 其实，对于③式的得出学生都能够理解，但为什么得出③式后要设④式和⑤式呢？这步是整个解题过程的关键环节，只有学生弄清楚了为什么要这样假设，才能真正理解这一解法，因此教学中教师对于这一关键点的合理处理自然成了本题教学的重点. 为了让学生能够理解，并在日后解题中会构造，教师需要将自己深度思考的过程顺应学生的心理变化，转化为学生明白的一个自然生成的过程. 如果在教学中教师只是将固定的模型强加给学生，必然会造成学生“只知其然而不知所以然”的局面. 虽然对于一些重要的模型教师会重点强化，然机械强化容易造成思维定式，解题时会出现生搬硬套的现象，这有悖于教学目标，不适合学生的长远发展. 对于以上问题，在解题的关键点处，教师进行了恰当的引导. 师：由于b=3n-2，因此要比较S与logabn+1的大小，也就是比较log 1+ ⑦与logabn+1⑧的大小. 然⑦式与⑧式不同，一个是多项的和，另一个只有一个项，因此若要比大小，则必须进行转化. 如果可以把⑦式进行变换，使之转化为⑧式的形式，问题是不是就可以解决了呢？思考一下，⑦式应该如何变换呢？（学生沉思） 生6：⑦式中的底数a是不确定的，因此变换时需要进行分类讨论，应该分为两类，a>1或0 师：说得很好，虽然还没有得到最终的答案，不过能够联想到“缩放”也是给了我们新的启发，大家顺着生6的思路探究一下，看看应该如何进行“缩放”呢. 生7：我尝试把log 1+ 进行缩小，然演算了很多遍也不能把⑦式合理地转化为⑧式. 师：其实很多学生与生7的思路是相同的，那么既然直接把其缩小不能实现，是否可以把log 1+ 进行拆分呢？（在教师的引导下，学生又开始了新一轮的尝试，最终在不懈的努力下成功地解决了问题） 这样在教师一步步的引导下，学生经过不断尝试，将左边的多项的乘积成功地转化为了一项，而这一项恰好就是b，这样就将条件和结论进行了有效串联，受此启发自然就有了设④式和⑤式的步骤，找到了解题的关键点，问题就迎刃而解了. 教学反思：在教学中，坚持“以生为主”并不意味着让学生自己去创造解题方法，要知道高中的课堂时间是宝贵的，如果都让学生自己去创造解题方法势必会浪费很多的时间，而且限于学生的认知水平和思维能力，让学生独立完成问题的解决也是不现实的，因此教学中教师必须发挥好引导的作用，要把自己的创造性思维过程通过一个自然的方式展示给学生，启发学生一步步思考，从而让学生获得自己的解题方法. 当然，教学中教师不能直接将方法灌输给学生，必须找到一个合理的支撑点，让学生在“跳一跳”中获得解题信心，掌握解题方法. [?]展示学生的思维过程，实现教学相长 课堂是师生互动交流的舞台，在教学过程中，教师要多与学生进行平等的对话和交流，要多了解学生的思维过程，这样才能及时捕捉学生的闪光点和错误处，从而通过有效的交流和补充引导学生形成完善的认知，因此教师既要做一个优秀的讲授者，也要成为一名合格的倾听者，在教学中鼓励学生去交流、去合作、去沟通，从而通过互动实现优势互补，促进共同进步. 案例3 复习“函数的定义域和值域”. 问题：函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围. 教师先让学生独立解决问题，接下来让学生板演解题过程. 生8：因为函数y=的定义域为R，即不等式mx2-6mx+m+8≥0恒成立，得m[（x-3）2-8]≥-8恒成立，则0≤m≤1. 师：你们的答案与生8相同吗？（学生纷纷点头） 师：看来大家对答案都没有异议，不过生8的解题过程你们看懂了吗？你们又是如何求解的呢？（接下来教师又请其他学生进行板演） 生9：原函数的定义域为R，即不等式mx2-6mx+m+8≥0恒成立，構造函数y′=mx2-6mx+m+8，并使y′≥0. （1）当m=0时，y′≥0显然成立; （2）当m<0时，y′≥0不成立; （3）当m>0时，若Δ=36m2-4（m+8）≤0，则y′≥0恒成立，所以0 综上可得，0≤m≤1. 师：很好，生9进行了完整正确的解答，这个是我们常用的解法，那么生8的解法是否正确呢？让我们一探究竟. 教学反思：从最终结果来看，生8的答案也是对的，然其解题过程是难以被理解的，答案的得出是不是偶然呢？在解题过程中，教师对生8的解法并没有过多评价，而是先展示了常规的解法，从而通过对比引发学生深度思考. 经过深度探究可以发现，生8得到答案的过程就是将m[（x-3）2-8]≥-8的两边同时除以（x-3）2-8，其本质也是构造函数，只不过生9构造的是y′=mx2-6mx+m+8，而生8构造的是y″=，虽然一个是动态函数，一个是定函数，但是其思想方法是一致的. 另外，生8的解答过程存在着严重的“跳步”现象，应引导生8完善解题过程、规范解题过程. 在实际教学中，学生其实有很多“突发奇想”，而当教师面对学生的这些“突发奇想”时，不要急于肯定或否定，而是给学生一个平等交流和讨论的平台，让学生去讨论和验证，以此提高学生探究的积极性，丰富学生的解题经验，相信教师在此过程中也定能有所收获，有所成长. 总之，教学中教师要尽量避免直接传授，要多给学生一些思维发展的空间，进而培养学生思维的广阔性和灵活性，促进学生学习能力的提升.
