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层层深入,步步递进,深化理解

2022-05-30李鑫华时光

数学教学通讯·高中版 2022年11期
关键词:好题生长问题

李鑫华 时光

[摘  要] 研究者认为数学教学不能局限于教材例题,更要注重知识的拓展与延伸. 文章从一道“好题”的纵深与横宽两个维度的拓展,以层层深入的问题,引发学生的思维逐层递进,达到对知识的深化理解,获得数学思想的目的,并养成善于反思的习惯.

[关键词] 问题;好题;生长

教材呈现的例题,都是经过精挑細选的,体现的是核心知识,具备言简意赅的特点,但受篇幅的限制,很多问题并没有展开. 教师作为学生与教材的协调者,可将教材中的例题有选择性地加以补充与拓展,在强化知识前后联系的基础上,渗透相应的数学思想和方法,让学生不仅获得知识层面的理解,还能将所学知识融会贯通,建构完整的认知体系,提升数学核心素养.

[?]本题分析

原题:假设点A与点B的坐标分别是(-5,0)与(5,0),直线AM与BM于点M相交,两直线的斜率之积为-,求点M的轨迹方程.

分析:该题题意明确,表述简洁、流畅,容易理解,符合“好题”的标准. 说它好,主要体现在:从问题本身来看,它包含了重要的斜率与轨迹内容,体现了知识的联系性,解决方法自然具有多样化的特点,该题本身具备“生长”的特征;从培养学生数学思维的角度来观察,该题相当自然,处于学生的最近发展区,具有一定的挑战性,具备促进学生思维生长的能力. 分析该题后,容易得出点M的轨迹方程为+=1(x≠±5).

[?]层层深入,纵深生长

章建跃认为:数学“好题”不仅能体现出知识间的互相联系,还具备良好的生命力与自我生长力[1]. 显然,该题具备一道“好题”的基本特征. 但从哪些方面体现出了该题的生命力呢?如何促进该题的有序生长呢?它又能生长出什么内容呢?笔者从纵深层面将该题进行了以下变化,通过层层深入的问题,深化学生对知识的理解.

问题1:假设点A与点B的坐标分别是(-5,0)与(5,0),直线AM与BM于点M相交,两直线的斜率之积为,求点M的轨迹方程.

问题1在原题的基础上,只是将两直线的斜率之积由-变为,对学生来说难度不大,可作为学生思维活动的热身题,让学生的思维从低起点开始逐步前进.

问题2:假设点A与点B的坐标分别是(-a,0)与(a,0)(a>0),直线AM与BM于点M相交,两直线的斜率之积为k(k是常数),求点M的轨迹方程.

此时,问题难度稍增,需对常数k进行讨论,学生的思维也随着问题的变化而逐层递进.

问题3:假设点A与点B的坐标分别是(-a,0)与(a,0)(a>0),直线AM与BM于点M相交,两直线的斜率之商为k(k是常数),求点M的轨迹方程.

问题4:假设点A与点B的坐标分别是(-a,0)与(a,0)(a>0),直线AM与BM于点M相交,两直线的斜率之和为k(k是常数),求点M的轨迹方程.

问题5:假设点A与点B的坐标分别是(-a,0)与(a,0)(a>0),直线AM与BM于点M相交,两直线的斜率之差为k(k是常数),求点M的轨迹方程.

观察问题2至问题5,题干条件并未发生明显变化,只是两直线斜率间的关系有所变化,分别以积、商、和、差进行讨论,虽只是一字之差,但解决问题的方法却发生了较大变化. 如问题4的实质就是将“距离”换成了“斜率”,我们该怎么将斜率转化成周长、面积等概念呢?而点M的活动轨迹又会发生怎样的变化呢?顺着学生思维的生长点,从以上这些“枝干”出发,又生长出了以下“枝叶”.

问题6:假设点A与点B的坐标分别是(-a,0)与(a,0)(a>0),直线AM与BM于点M相交,已知△ABM的周长为C(C>4a,且为常数),求点M的轨迹方程.

问题7:假设点A与点B的坐标分别是(-a,0)与(a,0)(a>0),直线AM与BM于点M相交,已知△ABM的面积为S(S>0,且为常数),求点M的轨迹方程.

随着探究的逐渐深入,问题6与问题7已然触及斜率与轨迹的深层次关系.

至此,原题的纵深挖掘也差不多了,学生对原题及其变化中的知识间的联系已经有了较为深刻的认识. 那么,原题的教学潜能就止于此了吗?答案必然是否定的,因为除了纵深外,知识还有横向发展的能力.

[?]步步递进,横宽生长

“好题”的生长并非单一的模式,需要从多个角度着手,以不同的思维方式去挖掘其内涵. 这种具有一定宽度的生长方式,对学生而言,具有较强的挑战性,因此要放在有序生长的后面进行拓展. 当然,横向生长并非无缘无故而来,同样具备步步递进、由浅入深、拾级而上的规律[2]. 例如原题,可以继续进行以下变化,以拓宽学生的视野,帮助学生建立完整的知识体系.

问题8:假设点A与点B的坐标分别是(-5,0)与(5,0),点M为椭圆+=1的任意点(异于点A,B),k·k是不是定值?若是,请求出k·k的值.

在解决问题8的基础上,引导学生思考“若点A,B在y轴上,又会是怎样的?”由此引出了下一个问题.

问题9:假设点A与点B的坐标分别是(0,-5)与(0,5),点M为椭圆+=1的任意点(异于点A,B),此时k·k是不是定值?若是,请求出k·k的值.

问题8与问题9具备一定的共性,根据这种特征的一般形式,再引出以下问题.

问题10:如果点A,B分别为椭圆+=1(a>b>0)长轴上的两个顶点,点M是椭圆上的任意一点(异于点A,B),k·k是不是定值?若是,求出k·k的值.

问题11:如果点A,B分别为椭圆+=1(a>b>0)长轴上的两个顶点,点M是椭圆上的任意一点(异于点A,B),k·k是不是定值?若是,求出k·k的值.

经思考,学生容易发现k·k均有定值,问题10与问题11的结论分别为k·k=-,k·k=-. 为了活跃学生的思维,还可将直线AB设为过原点的直线,与椭圆相交于两点A,B,由此又引出新的问题.

问题12:如果椭圆+=1(a>b>0)與过坐标原点的直线相交于点A,B,已知点M是椭圆上的任意一点(异于点A,B),k·k是不是定值?若是,求出k·k的值.

问题13:如果椭圆+=1(a>b>0)与过坐标原点的直线相交于点A,B,已知点M是椭圆上的任意一点(异于点A,B),k·k是不是定值?若是,求出k·k的值.

随着“枝叶”的繁茂,学生的思维宽度越来越广,对于学有余力的学生,教师还可以提出更宽泛的问题供学生思考,例如将以上问题中的“椭圆”换为“双曲线”等. 观察本题的生长路线,主要是“纵深”与“横向”两个方面,随着主干的生长,衍生出了新的“枝叶”. 学生的思维随着低起点、小步子的台阶呈螺旋式上升,并获得从特殊到一般的数学思想.

[?]教学反思

解决原题时,虽然容易获得方程+=1,但不少学生却将“x≠±5”这个条件遗漏了,导致解题过程不完整. 作为教师,不仅要重视这个问题,还要帮助学生获得勤于反思的习惯,避免同样的问题再次出现. 针对原题,教师可以引导学生从以下几方面着手进行反思:

1. 反思知识储备,完整认知结构

出现漏解的主要原因,一般是知识体系还不够完整,学生尚无法系统地建构知识网络. 想要增加并完善学生的知识储备,可以应用纠错笔记等方式,将易错题进行归类、分析,以不断完善学生的认知.

原题设方程为点斜式时,先要考虑直线斜率是否存在;同样,遇到集合问题时,应优先考虑空集的现象;遇到关于函数y=ax2+bx+c类问题时,先要考虑最高次项的系数是不是存在零的情况,等等. 如此,才能不断完善学生的认知结构,建构全覆盖的知识网络.

2. 反思解题过程,优化解题程序

同一个问题,若从不同的角度去分析,可能会出现多种不同的解决方法. 教学时,除了帮助学生理清通法通解外,还要尽可能地发散学生的思维,让学生从多种解法中,自主分析每种解法的优劣性,以优化认知结构中的解题程序,形成择优解题的习惯[3].

例如:已知椭圆的标准方程是+=1,若过点P(2,1)作一条弦,点P恰好平分这根弦,求该弦所在的直线方程.

此问存在多种解决方法,分别有:①联立直线方程与椭圆方程;②用“点差法”获得直线斜率;③用“交轨法”获得结论;④通过画图,从直观图像中获得结论,等等. 通过对这些解题方法的逐一探索,学生不仅能获得最简单的解题过程,还能优化解题程序,选择最便捷的解题方案.

3. 反思解题方法,提炼数学思想

高考试题千变万化,“题海战术”必然解决不了问题. 只有在解题中学会不断总结、提炼与反思,才能获得解题的精髓——数学思想方法. 数学思想方法一旦形成,则能突破思维定式的干扰,跳出“题海”,获得融会贯通、举一反三的解题能力.

总之,教材中呈现的例题固然好,但就题论题进行教学,只能让学生的思维浮于表面,难以达到深层次的理解与应用. 而在例题的基础上,进行纵横两方面的拓展与延伸,不仅可以避免“题海战术”带来的疲倦感,达到“减负增效”的教学效果,还能激发学生的探究欲,培养学生的思维能力,让学生自主厘清知识间的联系,达到深化理解、灵活应用的目的.

参考文献:

[1]  章建跃. 发挥数学的内在力量,为学生谋取长期利益——“第六届全国高中青年数学教师优秀课观摩与展示活动”总结暨大会报告 [J].中国数学教育,2013(Z2):3-6+9.

[2]  乔治·波利亚. 数学的发现:对解题的理解研究和讲授[M]. 呼和浩特:内蒙古人民出版社,1981.

[3]  任长松. 探究式学习:学生知识的自主建构——从两个探究案例引发的思考[J]. 课程·教材·教法,2004(01):37-42.

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