以问题驱动探究 促学生自主建构

杨书刚

[摘  要] “问题”“自主”“高效”等词语，是新课改实施后的流行词，以问题驱动探究，促进学生自主建构的教学模式，是如今数学教学改革的主要取向. 文章以“导数在函数研究中的应用（单调性）”教学为例，具体从“情境创设，提出问题”“问题驱动，合作探究”“验证猜想，建构新知”“拓展延伸，深化理解”“实际应用，巩固提升”“及时反思，总结提炼”等方面，谈谈教学实施过程与思考.

[关键词] 问题驱动;自主建构;课堂探究

数学教学的核心任务是引导学生在体验中，感知知识的发生和发展过程，让学生自主建构完整的认知体系，以促进各项数学能力的发展[1]. 实践证明，“问题引领，自主建构”的教学模式，能有效驱动学生的探究意识，让学生在深度思维中突破自主建构的瓶颈阶段，成为数学信息的加工主体和知识的建构者.

然而调查发现，当前的教学实践中，教师设计的问题有的过于简单、肤浅，缺乏探究价值，课堂表面上欣欣向荣，而学生的思维却得不到有效训练;有的过于深奥，超越了大部分学生的认知水平，学生无从下手，只能以“注入”的方式实施知识教学，导致主动建构过程缺失. 这两种情况都无法让学生建构完整、稳固的认知体系.

究竟该如何设计具有实际教学意义的问题，引发学生的自主探究，实现知识的自主建构呢？本文以“导数在函数研究中的应用（单调性）”教学为例，谈几点思考.

[?]教学设计

1. 情境创设，提出问题

新课标高度重视教学中问题情境的创设，但教材中所呈现的情境常具有较大的跳跃性，对学生而言稍显粗糙. 为了驱动学生对新知的探究兴趣，教师应在教材编者的思路与知识逻辑的基础上，结合学生的实际认知需求，进行问题情境的整理与重构，以激发学生的认知冲突，启发思维，为探究奠定基础.

问题1 某地区的气温变化数据显示凌晨2时到5时的温度f（x）和时间x接近函数f（x）=，请分析一下这段时间的气温f（x）随着时间x的变化，出现了怎样的趋势.

生1：或许可以将该问题转化为研究f（x）=（x∈[2，5]）单调性的问题？

师：大家还记得如何判断一个函数的单调性吗？

生2：可以用定义法或描点法来判断.

师：这个问题是否能用这两种方法解决呢？

生3：貌似不行，用描点法画图时，存在的误差比较大，而用定义法运算，对f（x）-f（x）的符号又难以确定.

问题2 也就是说我们现在遇到了一个无法用单调性定义的“老方法”解决的新问题，此时该怎么办呢？

生4：或许可以寻找一种新的突破方法.

设计意图 与学生生活相关的问题情境，让学生感知“数学源自生活，数学知识又为生活服务”的理念. 随着问题的探索，学生发现用原有的认知无法解决新的问题. 随着认知冲突的产生，顺利地激发了学生深入探究的兴趣.

2. 问题驱动，合作探究

知识意义的建构与问题的形成与探究是同步推进、相伴相随的关系. 随着核心问题的提出，接下来就是对问题的探究. 俗话说：“单丝不成线，孤木不成林.”一个人的智慧是有限的，而团体的智慧却是无穷的. 因此，面对一个学生认知之外的问题，最好的方式就是合作探究，发挥团体的力量，展开对知识的探索.

问题3 接下来我们再次回到函数单调性的定义，以小组合作交流的方式，看看是否有新的收获.

（小组合作交流）

组1：观察增函数的定义，其中有“若x，x为区间A上的任意两个值，当x

师：这是一个不错的发现. 它们同号，能表达什么？你们有什么想法？

组2：从这个规律来看，这两个式子的积或商必定为正，也就是>0，由此可确定在区间A上，连接任意两点的割线的斜率为正，由此可确定其为增函数.

组3：组2是从图形上得到为割线斜率的结论，我们组是从“数”的角度进行分析的，得到了平均变化率，也就是在区间A上，任意两点的平均变化率为正，可得增函数这个结论.

師：还有其他方法能寻找到割线斜率为正的结论吗？

组4：是否可以用瞬时变化率？（不确定）

组5：曲线的平均变化趋势可以用割线的斜率来反映，若其中的一点与另一点无限逼近时，割线则为该点处的切线，而切线的斜率能反映出曲线的瞬时变化情况，貌似可从这个角度来分析.

师：从“逼近”的思路来分析非常好！如果函数f（x）在某一点可导，那么说明函数f（x）在该点附近的图像与一次函数的图像近似，也就是曲线在某一点附近的图像可视为一条切线，这就是典型的“以直代曲”. 如果该点处的切线斜率是正的或负的，可从图像变化趋势上发现什么吗？

组6：可看到函数f（x）在该点处是上升还是下降的变化趋势.

师：若函数f（x）在区间A内的任何点都具备相同的变化趋势，则函数f（x）在区间A上的整体变化趋势与单调性是怎样的？

如图1—4所示，在学生思考的同时，教师借助几何画板，结合学生举例进行展示，要求学生说出自己的发现.

组7：如果函数f（x）在区间A内的任意点处都呈一种趋势（上升或下降），那么说明函数f（x）的图像也呈一种趋势（上升或下降），函数f（x）单调递增或单调递减. 因此，区间A内函数切线的斜率对判断函数图像的变化趋势有直接影响，即对判断函数的单调性有直接影响. 也就是说切线斜率大于0，说明函数单调递增;切线斜率小于0，说明函数单调递减.

师：这是一个看似很有道理的猜想，现在我们一起验证一下这个猜想. 请各位同学填写表1，并举例验证.

学生经过自主验证与合作释疑后，各组展示相关结论. 教师从中选择有代表性的结论进行展示、交流.

问题4 通过以上探究，我们得到了怎样的结论？

生5：通过探究，我们猜想如下：函数f（x），若在某区间上f′（x）>0，则f（x）是该区间上的增函数;若在某区间上f′（x）<0，则f（x）是该区间上的减函数.

设计意图：通过结论间的内在联系来看，探究过程并不简单，以学生认知的最近发展区为起点，引导学生将所学知识联系到一起，从不同角度去分析，让学生在自主探究、合作交流中，从“数”的角度转化函数的单调性定义，探寻出>0成立的条件;再从“形”的视角，动态演示函数切线的变化情况，鼓励学生在观察、比较中分析导数正负和函数单调性的关系，以发现规律.

史宁中教授认为，数学结论的探寻常常是“看”出来的[2]. 此教学过程中获得的所有结论，都是学生经过自主分析、探索而非教师“灌输”而来的，这种模式与史教授提出的“数形结合思想”相契合. 学生在探究过程中，亲历问题的发生过程，“看”到结论的形成与发展情况，有效提升了数学抽象能力，培养了转化与化归以及数形结合思想，为核心素的形成奠定了基础.

3. 验证猜想，建构新知

探究活动的开展，学生获得了一定的猜想，而这些猜想是否合理呢？这就需要用一定的手段进行验证. 猜想的证明过程能启发学生的思维，让学生在新的感悟中建构新知.

问题5 如图5所示，观察函数f（x）在区间A内的图像，若x，x（x，x∈A）为两个确定的值，P（x，y），Q（x，y）为两个定点，割线PQ的斜率是否为>0？

生6：单从图像来看，这个说法是成立的.

师：有没有办法来确定？

生7：如图6所示，平移割线PQ，使它与曲线在点S处相切，可得k==f′（x），由于区间A内f′（x）>0，x∈A，因此可得f′（x）>0.

问题6 若P，Q为区间A内曲线上的任意两点，还能确保f′（x）>0成立吗？

生8：若P，Q为区间A内曲线上的任意两点，因为区间A内f′（x）>0，可确定f′（x）=>0恒成立. 虽然点S会随着点P，Q的变化而改变，无法确定点S的具体位置，但它一直存在.

师：太精辟了！的确，虽然不知道点S的位置具体在哪里，但它确实存在. 现在请大家根据以上验证情况，说说你们的结论.

生9：对于函数f（x），在某个区间上若f′（x）大于零，则f（x）是这个区间上的增函数;在某个区间上若f′（x）小于零，则f（x）是这个区间上的减函数;若f′（x）恰巧为零，则f（x）是这个区间上的常数函数.

设计意图：证明猜想的结论有一定难度，有些教师怕麻烦，就让学生直接记住结论，而后引导学生实际应用结论. 如此，或许课堂氛围也和谐，学生的正确率也不错，但学生对结论的理解会永远停留在表浅阶段，对导数正负和函数单调性的关系一知半解，这为后期解决综合性问题埋下了隐患.

缺乏验证的结论，用起来就像无源之水. 而循循善诱、由浅入深地引导学生验证猜想，不仅能突破教学难点，也能启发思维，挖掘出该结论真正意义上的教学价值，为后期微积分的学习夯实了基础.

4. 拓展延伸，深化理解

问题7 同学们总结得很到位，那么该结论的逆命题是否成立呢？即若f（x）在某个区间上是增函数，则在此区间上f′（x）>0是否成立？

生10：不成立，借助几何画板能够发现f（x）=x3在R内是增函数，但是f′（0）=0.

师：也就是说，若f（x）在某个区间上是增函数，则在此区间上f′（x）≥0. 反之，若在某个区间上，已知f′（x）≥0，则f（x）在该区间上是增函数. 这种说法合理吗？

生11：这种说法不合理，f′（x）≥0存在f′（x）>0和f′（x）=0两种情况，而f′（x）=0说明f（x）为常数函数，并不具备单调性特征.

问题8 我们应该怎么表述，才能让命题成立？

生12：在某个区间上，如果f′（x）≥0，同时此区间的任何一个子区间上的f′（x）≠0，那么f（x）在这个区间上是增函数. 其中有一个特殊情况，即若干个不连续的点处的导数是可以为零的.

设计意图：引领学生在亲自观察、交流与体验中参与问题的设计，在对逆命题的研究中，促进学生逆向思维的发展，从而使其有效地深入理解问题的本质，提升思辨能力.

5. 实际应用，巩固提升

练习1：函数f（x）=2x3-5x2+7位于哪些区间上是增函数？

练习2：怎么确定函数f（x）=sinx（x∈（0，3π））的单调递减区间？

练习3：思考函数f（x）=（x∈[2，5]）具备怎样的单调性.

设计意图：课堂练习是深化学生对知识理解与应用的过程，让学生在练习中通过模仿、辨识建构认知. 练习逐层深入，由浅入深，使学生深切体会在问题驱动下，探究的实际价值.

6. 及时反思，总结提炼

师：通过本节课的学习，大家有什么收获？

生13：本节课中，我们应用了以直代曲、转化与化归以及数形结合等数学思想方法，这几个数学思想方法能简化问题，为后继的解题服务.

[?]教学思考

1. 将教学目标作为问题的出发点

教学活动都是围绕教学目标而开展的，教学目标是一节课的方向目标，它决定着本节课教师该教些什么，学生要學些什么，对知识的理解应达到怎样的程度，获得怎样的能力，等等. 只有深刻理解教学目标，才能精准设计问题，让学生明确探究方向.

本节课揭示的导数与函数单调性的概念比较抽象，而且是教学重点之一. 因此，教师首先引导学生回顾原有的知识，然后结合学生的实际情况，引导学生开展深入、有效的探究活动，为知识的建构奠定基础.

2. 将最近发展区作为问题的着力点

最近发展区是维果斯基的经典理论之一，对教师的教学设计具有指导意义. 以学生认知的最近发展区作为问题的着力点，既让学生感知问题的挑战性，又能有效激发学生思考. 学生在自主探究中，抽丝剥茧，获得探究的成就感，从而形成良性循环.

比如本节课中证明猜想的结论时，教师先降低难度，以推动所有学生参与探究，让学生以“P，Q为区间A内曲线上的定点”为探究起点，随着探究的深入，思维拾级而上，新的结论随着P，Q在曲线上的变化而诞生.

3. 将数学思想方法作为问题的落脚点

数学教学不仅是知识与技能的教学，更是数学思想方法的渗透过程[3]. 数学思想方法是从数学认识中概括、提炼出来的精华，对学习具有重要的帮助. 鉴于此，教师设计问题时，应想方设法挖掘知识背后蕴含的思想方法，并将它们巧妙地融合到学生的探究活动中，引导学生自主体验、感悟.

总之，以问题驱动探究，促进学生自主建构的教学模式，能有效地弥补传统教学模式的缺陷，为课堂带来新的生命力. 但这种教学模式有它自身的特点与应用范围，并非时时处处可用，不能将这种教学模式代替所有的教学模式. 教学中，教师应根据教学内容与学生的实际情况，选择搭配教学模式，从真正意义上优化课堂教学，提升学生的数学核心素养.

参考文献：

[1]  庞维国.论学生的自主学习[J]. 华东师范大学学报（教育科学版），2001（02）：78-83.

[2]  史宁中. 数学基本思想18讲[M]. 北京：北京师范大学出版社，2016.

[3]  戴铜. 促进自主学习，体验成长快乐——基于学生个性化学习的学校文化生态建设[J]. 江苏教育，2010（32）：51-52.