基于代数运算的“幂指对”函数单元教学思考

陈燕

[摘  要] 从代数运算的角度来看，幂运算、指数运算和对数运算就是AB=C（A>0，A≠1）中的三个量有两个为常量，求另一个未知量的方程;幂函数、指数函数和对数函数则是三个量中一个为常量，关于另两个变量所得的结果. 文章正是以此整体构建“幂指对”函数的单元教学. 首先通过比较不同版本教材的编排方式，确定单元知识内容及结构，并从知识本质、数学思想方法和核心素养等角度分析单元教学内容;其次依托学生已有的认知基础，从“运算”和“函数”两个方面预设单元教学难点;最后根据教材、学情、课标等分析单元教学目标，整体设计单元教学过程.

[关键词] 代数运算;“幂指对”函数;单元教学;教学思考

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》[1]（以下简称《课标》）指出“学生数学学科素养水平的达成并不是一蹴而就的，具有阶段性、连续性、整合性等特点”，强调“教师不仅要关注每一节课的教学目标，更要关注主题、单元的教学目标”. 这就需要教师从传统的课时教学中跳出来，立足学生数学学科核心素养的发展，整体把握并设计教学内容. 在这样的背景下，单元教学再次受到学界重视，并借此促进学生数学学科核心素养的发展.

所谓单元教学，是依据课标、学情等对教材内容按一定的任务驱动、逻辑结构组织形成相对完整的教学单元，对其进行整体分析并设计一个单元的教学过程. 幂函数、指数函数和对数函数（简称“幂指对”函数）是描述增长或衰退现象的三种重要数学模型，积累学习具体函数的经验，可以帮助学生形成研究函数的一般方法，奠定进一步学习数学的基础. 本文基于对课标、教材、学情等的分析，根据“幂指对”函数三者间的内在联系，如在研究方法、蕴含的思想方法、重点提升的核心素养等方面的共性，将其作为单元教学的内容，并从代数运算的角度整体构建单元教学.

[?]对比分析不同版本教材，确定单元内容及知识结构

新课程理念要求教师转变教学观，创造性地使用教材，而不是按部就班“教教材”. 从过去的“一纲一本”到现在的“一标多本”，虽然教材均按照知识逻辑、学生心理特点等进行编排，但在知识内容、编排方式等方面也是各具特色. 本文选取人民教育、湖南教育和江苏凤凰教育三个出版社出版的高中数学新教材（简称人教A版、湘教版和苏教版）中有关“幂指对”函数的章节，整体比较如表1所示.

由表1，三版教材的“幂指对”函数内容分别涉及2章、1章、3章. 人教A版中幂函数与指数、对数函数隶属不同章节，没有更好地突出“幂指对”函数内容的完整性;湘教版将其作为一个单元整体讨论，虽关注到单元知识的完整性，但单元课时量相对较多;苏教版将指数与对数、“幂指对”函数的概念与性质及其应用分为三个独立的單元，且三个单元分别属于教材的第四章、第六章和第八章，内容并不连续. 考虑知识的连续性和完整性，以及单元的课时量，本文研究的“幂指对”函数单元内容包括：指数幂及其运算，对数及其运算，“幂指对”函数的概念、图像和性质.

在编排顺序上，三版教材均是“幂函数—指数函数—对数函数”，不同的是指数幂和对数的教学顺序. 其中人教A版将幂函数作为一般函数概念与性质的下位学习，以此为基础研究其他函数. 故幂函数的学习安排在指数幂之前，虽然考虑到《课标》只要求通过五个特殊的幂函数图像理解它们的变化规律，且图像的形成过程也不需要有理数指数幂的概念，但严格来说不符合知识的逻辑性[2]. 而其余两个版本都是先学习指数幂，再学习幂函数. 本文从整体上考虑指数幂和对数及其之间的关系是“幂指对”函数的研究基础，故在单元教学顺序上先研究指数幂和对数的概念及其运算，再研究“幂指对”函数的概念、图像和性质，单元知识结构如图1所示.

理解数学是教好数学的前提，不仅要理解知识内容，还要挖掘其中渗透的育人价值，但仅从单个知识点理解数学很难全面而深入地发现其中蕴含的育人价值. 下面以单元知识内容为载体，从单元知识内容的本质、蕴含的数学思想方法、渗透的数学核心素养等角度具体分析.

1. 单元知识内容的本质

本单元内容是以幂、指数和对数为研究对象，先研究其运算性质，再研究“幂指对”函数概念、图像和性质，代数运算贯穿整个研究过程.

“幂指对”函数作为描述增长或衰退现象的三种基本数学模型，从乘方及其逆运算（开方运算和对数运算）发展而来，同时也是沟通乘法、除法、乘方与加法、减法、乘法等基本数学运算的桥梁. 基于此，从代数运算的角度看本单元的教学内容，整体按照“运算—背景—概念—图像—性质”的顺序建立相应的研究体系.

2. 蕴含的数学思想方法

本单元的核心内容是先用运动变化的观点描述客观世界中的变量关系和规律，再抽象出函数概念，类比一般函数的研究方法探究其图像与性质，然后借此分析和解决实际问题等过程，蕴含着数形结合、类比和函数思想. 在具体的教学内容中，如整数指数幂到有理数指数幂，再到无理数指数幂的推广，蕴含着逼近和极限思想;“幂指对”函数的概念、性质的归纳过程，渗透着从特殊到一般的思想;利用换底公式将不同底的对数转化为自然对数或常用对数，体现着转化化归的思想等. 因此，本单元以数形结合、类比和函数思想为主，转化化归、特殊到一般、逼近和极限思想等为辅.

3. 渗透的数学核心素养

单元知识为载体、数学思想方法为桥梁是落实数学核心素养、切实发挥数学育人价值的支撑点. 本单元类比一般函数的研究方法，研究特殊的“幂指对”函数，从一般到特殊，发展演绎推理能力;在“幂指对”函数的概念、图像和性质的探究过程中，则从特殊到一般，发展合情推理能力. 一般到特殊，再从特殊到一般，重点提升学生的逻辑推理素养. 通过具体的实例得到函数关系式，并对其进行归纳、概括，抽象出“幂指对”函数的概念;借助具体函数的图像归纳、性质概括等过程，能有效提升学生的数学抽象素养. 指数幂和对数的运算研究，以及利用此运算研究函数图像和性质等过程，是发展学生数学运算素养的重要媒介.

[?]全面了解学生的认知基础，预设单元教学的重难点

从知识整体结构来看，本单元主要包括运算（指数幂、对数）和函数（“幂指对”）两方面的内容，即指数和对数的概念、运算性质，以及“幂指对”函数的概念、图像与性质是本单元的教学重点. 下面分别从这两方面分析学生已有的认知结构，以及需通过单元学习达到的目标，根据两者的差距预设本单元学习过程中学生可能遇到的困难.

（1）从运算内容来看，学生已经学过实数、整数指数幂等相关知识. 在研究指数幂运算性质的过程中，需要明确扩充的原则是使“指数幂运算性质成立”，再借助平方根、立方根等知识研究有理数指数幂，类比有理数逼近无理数的过程，将有理数指数幂扩充到实数指数幂. 此过程中，有理数指数幂可以看成n次方根，扩充过程中有实际意义支撑，相对容易理解. 而实数指数幂的扩充，虽然可以类比有理数拓展到无理数的过程，但无理数的产生有实际数学背景支撑，而无理数指数幂则很难有实际数学背景，所以对无理数指数幂扩充过程的理解，学生可能存在一定的困难.

（2）从函数内容来看，《课标》指出“可以帮助学生学会用函数图像和代数运算的方法研究这些函数的性质”，即从定性和定量两个角度进行研究. 初中阶段，学生学习了从定性（直观感知图像）的角度认识具体函数（如一次、二次、反比例等函数）的性质;高中阶段，学生学习了一般函数的概念和性质，“幂指对”函数作为一般函数的下位学习，遵循一般到特殊的研究方法，能更好地帮助学生理解和记忆. 但在实际问题抽象几个函数关系式，归纳概括“幂指对”函数的概念，以及根据特殊的函数图像归纳一般性质的探索过程中，学生不易发现“变化中的不变性”，故此过程对学生来说存在一定的难度. 再者，“幂指对”函数特殊的代数背景决定了代数运算的方法贯穿整个研究过程，而从代数运算角度发现并严格验证“幂指对”函数蕴含的规律也是学生认知经验中较为缺乏的.

[?]全面把握《课标》，分析单元教学目标，整体设计单元教学过程

单元教学目标的设置不仅与单元教学内容的分析有关，也和学情、教材内容等要素有密切联系. 本文借助《课标》设置“学习目标+内容要求+学业要求”的结构分析单元教学目标，以“了解”“理解”“掌握”“运用”等行为动词划分水平层次[3]. 单元教学目标的分析是整体设计单元教学过程的必备基础. 当然，在教学的具体实施过程中还需要将单元目标具体化、可操作化到课时教学目标，再依据课时教学目标设计课时教学[4]. 但本文只是从整体上设计单元教学过程，因此没有涉及课时教学目标及过程的分析.

1. 单元教学目标的确定

依据课程标准对本单元的要求，确定“幂指对”函数的单元教学目标为：

（1）借助根式的概念认识有理数指数幂的拓展过程;类比有理数逼近无理数的过程，用有理数指数幂逼近无理数指数幂;了解指数幂的拓展过程，并掌握其运算性质.

（2）借助指数幂运算理解对数概念及其运算性质，知道换底公式能将任意底的对数转化为自然对数或常用对数，体会转化化归思想方法.

（3）通过具体实例，画出函数y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y=x的图像，理解它们的变化规律，了解幂函数. 通过对幂函数的研究，体会从“背景—概念—图像—性质”研究具体函数的方法.

（4）通过具体实例，了解指数函数的背景，理解其概念，并借助描点法或计算工具画出特殊指数函数的图像，探索并理解指数函数的性质，进一步体会研究具体函数的一般思路和数形结合思想方法，提升数学抽象和直观想象素养.

（5）通过具体实例，了解对数函数的概念，并借助描点法或计算工具画出特殊对数函数的图像;类比研究指数函数的过程探索并了解对数函数的性质，以此解决一些实际问题，体会数学的应用价值.

（6）通过比较同底数的指数函数和对数函数，知道它们互为反函数.

2. 基于代数运算的“幂指对”函数单元教学过程

乘方即n个相同因数的积的运算，其结果叫做幂，如23=8，符号抽象化为AB=C（A>0，且A≠1）. 如图2所示，本单元正是以乘方运算AB=C（A>0，且A≠1）为脚手架，从运算（指数幂、对数）和函数（幂指对）两个阶段构建教学过程，其中运算又作为函数阶段的知识基础.

（1）第一阶段（运算）.

在乘方运算AB=C（A>0，且A≠1）中，给定三个量中的两个，那么等式AB=C成为关于另一个量（未知量）的方程，具体可得三个方程：①23=x;②x3=8;③2x=8. 其中方程①是已学过的乘方运算，方程②和③则是乘方运算的逆运算（开方运算和对数运算）. 在此以方程②和③为基础，构建指数幂、对数及其运算性质的学习过程.

從方程②出发，先研究n次根式，以此将整数指数幂推广到有理数指数幂，研究有理数指数幂的运算性质;根据有理数指数幂及其运算性质推导有理数指数幂的基本不等式：对于任意两个有理数r>s，当正数a>1（或0as（或ar

①对于任意的正数a和正数u，若a>1（或01（或0

②对于任意的正数a和负数u，若a>1（或01）.

以此分析有理数指数幂和无理数指数幂的推广过程，既帮助学生了解指数幂的拓展过程，掌握其运算性质，也为研究幂函数和指数函数做必要的知识准备.

从方程③出发，将符号化问题抽象为一般问题：在等式ax=b（a>0，且a≠1）中，已知a，b，如何求x？以此定义与方程中x对应的数，并用logab表示. 该过程从“乘方运算的逆运算”“对应”和“数的表示”三个角度分析了对数概念，揭示了对数概念的本质;借助指数式与对数式的互化关系，可以根据指数的运算性质探究并推导对数的运算性质，再根据对数的运算性质和“化繁为简”的思想推导对数的换底公式.

（2）第二阶段（函数）.

在等式AB=C（A>0，且A≠1）中，如果只确定三个量中的一个为a，那么等式AB=C成为关于另外两个量（未知量）的关系式. 若将两个未知量分别看成自变量x或因变量y，则可得六个关系式：①y=ax;②ay=x;③y=xa;④ya=x;⑤xy=a;⑥yx=a. 对自变量x和常量a的范围加以限制，使得六个关系式都满足高中所学的函数定义.

首先，从它们之间的关系来看，①式和②式、③式和④式、⑤式和⑥式在形式上互为反函数（注意自变量x和常量a的取值范围）. 但《课标》只要求知道对数函数和指数函数互为反函数，即①式和②式互为反函数，对其他情况则无具体要求. 事实上，借助反函数关系也不失为一个理解函数图像和性质的好方法，但高中学段重点研究的是具有基础性作用的指数函数和对数函数，故对其他函数关系不作要求.

其次，从各自关系式出发，有：①式、②式分别对应着两种不同的函数模型（指数、对数函数）;④式可以转化为y=x，即③式和④式对应着一种函数模型（幂函数）;⑤式利用对数及其换底公式可以转化为y=，⑥式可以转化为y=a，两式均是复合函数. 为此，本单元将研究①式、②式以及③式和④式两式对应的三个函数模型. 正是这样的代数背景决定了可以用代数运算的方法研究它们. 而当a=-1，a=1或a=2时，③式是学生接触过的函数，故先研究这一函数模型，可为其他函数的研究提供过程、思路以及方法上的指导.

其一，对于幂函数而言，通过观察五个特殊幂函数的图像归纳概括其性质后，可借助幂运算基本不等式验证幂函数的性质. 对于一般的非零实数α，幂函数y=xα在x>0时才有意义，且对于在（-∞，0）有定义的幂函数，根据其奇偶性，也只需要研究x>0的图像和性质即可，故对于幂函数y=xα主要关心其在x>0时的图像和性质.

①对任意的α>0和两正数a>b，有0α=0，1α=1，aα>bα，可知当α>0时，幂函数图像恒过（0，0）和（1，1）两点，在（0，+∞）有意义且递增.

②对任意的α<0和两正数a>b，有aα

其二，对于指数函数y=ax（a>0，且a≠1）和对数函数y=logax（a>0，且a≠1）而言，利用代数运算也可得到函数的性质，以及函数图像之间的一些关系.

①根据指数幂和对数的定义可得指数、对数函数的定义域和值域.

②由a0=1，log1=0可知指数函数图像恒过（0，1），对数函数图像恒过（1，0）.

③由幂运算基本不等式可得：对任意的a>1和r>s，有ar>as;对任意的a<1和r>s，有ar1时，指数函数y=ax在（-∞，+∞）上单调递增;当0

④由a-x=，可知函数y=ax与函数y=的图像关于y轴对称.

⑤由y=ax可得x=logay，设（r，s）是y=ax图像上的一点，则有s=ar，r=logas，即（r，s）关于直线y=x对称的点（s，r）在函数y=logax的图像上;反之也对. 以此利用指数函数和对数函数互为反函数的关系研究对数函数的图像和性质.

[?]结束语

“幂指对”函数单元内容按照“运算—背景—概念—图像—性质”的路径安排学习，突出了运算在函数研究中的基础性作用，让学生形成关注定性方法的同时，更要从定量的角度认识具体函数性质的严谨思维习惯. 按照函数研究的一般方法，“幂指对”函数单元应包括函数应用这一内容，即整体上呈现“总—分—总”的结构，但考虑到单元课时量，将函数应用作为另一单元内容，呈现的则是“总—分”的结构. 本单元内容按“先给‘森林，再见‘树木”的思路设计，首先通过乘方运算AB=C（A>0，且A≠1）中的两个量或一个量的确定，引出指数幂和对数的运算以及“幂指对”函数模型，让学生整体感知本单元的知识结构，即先见“森林”;其次根据“幂指对”函数单元的整体結构，根据指数幂与对数、指数幂与幂函数和指数函数、对数与对数函数、指数函数与对数函数等知识之间的联系组织并安排教学，感知整体与局部以及局部间的关系，即根据“森林”再见“树木”. 通过这样的方式构建“幂指对”函数单元教学，能更好地实现“整体大于局部之和”的效果.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]  章建跃. 用函数图象和代数运算的方法研究“幂指对”函数[J]. 数学通报，2020，59（10）：1-11.

[3]  章建跃. 数学学科核心素养导向的“单元—课时”教学设计[J]. 中学数学教学参考，2020（13）：5-12.

[4]  刘春艳. 聚焦核心素养的单元教学设计——以高中“平面向量的运算”单元为例[J].数学通报，2020，59（07）：49-53.