VSI EWMA单边极差控制图设计

刘海博 宋向东

（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）

一、引言

控制图为统计质量控制过程作出了极大贡献，可以较为直观地观察过程是否稳定可控。1924年，Shewhart绘制出了第一张质量控制图，并以此命名为休哈特控制图[1]。后续各国学者在休哈特控制图的基础上演变出两类控制图：一是1954年Page提出的基于序贯概率比检验的CUSUM控制图[2]；二是1959年Robert通过赋予样本不同权重的EWMA控制图[3]。这两类控制图作为休哈特控制图的变体，均能很好地对中小偏移作出更快速地响应，在实际生产中均被广泛使用。以上所述的控制图均是以抽样区间、样本容量固定不变为前提的静态控制图，当控制样本接近控制限时，此时的监控过程已经大概率存在偏移，若仍按原来的抽样区间间隔或样本量进行监控，就不能及时预知生产过程的偏移变化，将会造成生产损失。基于可变抽样区间或可变样本容量的动态控制图也被越来越多的学者加以研究，且已有研究证明动态控制图在生产质量控制过程中表现更加合理[4-5]。

极差R控制图在传统控制图中一般用来取代标准差S控制图，以计算方便、简单而广受现场工作人员喜爱。在现有研究中，濮晓龙和汪洋等针对国家标准极差控制图中现有的问题，提出了非对称极差控制图[6]。张维铭提出了可变参数的中位数和极差控制图，通过计算平均链长比较二者的控制效率[7-9]。郭宝才和林双苗等提出带参数估计的极差控制图设计，对等尾控制图和无偏控制图加以讨论，利用Bootstrap方法对控制图的控制限加以修正，使修正图的条件受控平均链长高于目标值[10]。庄芳和郁淼淼等梳理了参数过程中常见的四类干扰项，从而比较不同EWMA控制图的运行效率及误差[11]。尚云艳以提高控制图对中小漂移的敏感度为目标，设计了基于似然比的变化样本容量的EWMA动态控制图[12]。

已有研究中，对于可变抽样区间条件下的EWMA单边极差图的研究仍然存在空白，本文在已有研究基础上设计了可变抽样区间条件下的EWMA单边极差图，以总体服从正态分布为假设前提，通过计算平均报警时间（ATS）来比较控制图效率。

二、VSI EWMA单边极差控制图描述

（一）极差相关统计量推导

设样本点 xi～N（μ，σ2），表示第 i点抽取的样本，均来自同一生产过程且相互独立，μ0、σ0分别为标准差的目标值，即受控过程下的均值和方差。对于极差图来说，仅需要考虑标准差的变化，记σ=cσ0，c为标准差的偏移系数。c=1时，认为过程无偏移；c≠1时，认为过程存在偏移。记 R=X（n）-X（1），其中 X（1），X（2），…，X（n）为顺序统计量。易推得极差R的分布函数FR（n）及概率密度函数fR（n）分别为：

其中，φ（·）和φ（·）分别为正态分布的概率密度函数和分布函数，由上述表达式我们可知，极差的分布函数和概率密度函数均与样本量n有关。其对应期望ER（n）和方差VarR（n）分别为：

值得注意的是，极差R的方差计算需要考虑X（1）与X（n）的相关性，以上均可通过MATLAB利用数值积分来计算结果。

（二）VSI EWMA单边极差控制图

EWMA控制图，即指数加权移动平均控制图，所有抽取的观测值都依赖于EWMA点，可以通过设置不同参数来规定不同程度的偏移。EWMA控制图的优点在于，它不仅考虑了当前的样本值，也考虑了历史观测值对现在的影响，最新的样本值占最大权重，历史观测值按相反次序以几何级数依次递减加权，所以对于连续生产过程中的中小偏移有较高的敏感度。记EWMA统计量为：

Zt=（1-λ）Zt-1+λ Rt

其中，λ为平滑参数，0<λ≤ 1；Rt为第 t个样本观测值的极差。对于Z0一般记为μ0，λ=1时即为常见的Shewhart控制图。

当过程可控时：

E（Z）=ER（n）=μR（n）

为计算方便，取t→∞，此时方差会收敛于渐进值，将其与单边极差控制图结合，可推得其上限UCL、上警戒限UWL为：

通常情况下取a=3，w=1。

对于常规控制图来说，通常需要同时控制图的上限UCL、下限LCL，但由极差的含义可知，极差R只能取正值，遂在此仅讨论单边极差图。由此，可将极差图分为警戒域I1，中心域I2，失控域I3：

I1=（UWL，UCL）

I2=（0，UWL）

I3=（UCL，+∞ ）

对于固定抽样区间控制图来说，样本点与样本点间的时间长度固定不变。可变抽样区间极差控制图的样本抽样区间则依赖于对应极差值。对可变抽样区间极差图应用有限个区间长度0

在固定样本容量情况下，如果第一次抽样样本点落入中心域I2，对于第二次抽样扩大抽样区间至s2以便节省成本；第一次抽样样本点落入警戒域I1，对于第二次抽样缩短样本区间至s1，以便更快响应异常；样本点落入失控域I3，及时报警。理论上来说，短抽样间隔s1越小越好，s1越小越能降低抽样时间；长抽样间隔s2越大越好，s2越大越能减少抽样次数，从而节约成本。

三、VSI EWMA单边极差图的平均链长

常规固定抽样区间控制图，通常以平均链长（ARL）作为控制图效率的评价标准，即在发出失控通知前所抽取的样本个数n；此时时间区间长度乘以发出失控通知前的样本数即从过程运行至发出预警所需平均时间。过程无偏移时，ARL越大越好；过程存在偏移时，ARL越小越好。与ARL经常搭配的一个控制评价标准为ATS，对于子组抽样为等时间间隔抽样时，设某子组发出失控信号为止所用时间为t，则其期望Et为ATS。过程无偏移时，ATS越大越好；过程存在偏移时，ATS越小越好。且在固定抽样间隔及样本容量时，ARL与ATS可以列出如下等式：

ATS（σ）=tARL（σ）

对于可变抽样区间控制图来说，子组抽样频率依赖于过程标准差，此时发出预警信号的时间便不再是样本数的常数倍，对于可变抽样区间控制图，其平均链长需要依赖于发预警信号前的样本数和时间。所以，这里以平均预警时间可变抽样区间作为动态控制图的评价标准[13]。在保证控制限不变时，可变抽样区间控制图并不影响样本点失控或预警的概率。记pi为落入Ii区域的概率，q为样本点落入失控域I3的概率，N为发出信号时所需样本数，易知N～Ge（q），T为发出信号时所需时间，ξi为抽取第i个样本之前的抽样区间，在过程未发生变化时，有：

因为s（Zt）是只受控制限内的样本点定义，所以ξi为s（Zt）的条件分布。为方便后续计算，这里给定一个默认前提，假设控制图起始点为0，且在过程开始时使用短的抽样区间s1。在过程均值为常数时，ξi独立且同分布，根据瓦尔德等式：

四、效率比较

要使可变抽样区间（VSI）控制图与固定抽样区间（FSI）控制图可比较，需要保证两个相同前提：一是抽样比相同，即在较长的固定时间间隔内，两方案的抽取样本总数相同；二是需要令其在无偏移情况时，即σ=σ0时，平均预警时间相同。也就是说，假设FSI控制图每隔一小时抽取一个样本点观测，即以一小时为单位时间，就要求FSI控制图的平均预警时间与发信号的平均样本数相等。对于设计的VSI控制图在无偏移情况下的E（ξi）为一个时间单位，此时才能保证两图可以通过ATS来对比控制效率。因而在接下来的VSI EWMA R图与FSI EWMA R图比较中，控制以上两个前提均相等。

给定n=5，a=3，w=1，固定抽样情况下选取抽样区间s=1，变抽样区间情况下选取s1=0.5，s2=1.5。以下为应用MATLAB软件随机模拟10000次的数值结果，分别计算了VSI EWMA单边极差控制图与FSI EWMA单边极差控制图的ATS。从模拟数据的对比中可以看到，控制平滑系数不变的情况下，随着偏移增大，VSI EWMA单边极差图相较于FSI EWMA单边极差图有着较快的响应速度。

表1 λ=0.1条件下VSI EWMA单边极差图与FSI EWMA单边极差图的ATS对比

表2 λ=0.2条件下VSI EWMA单边极差图与FSI EWMA单边极差图的ATS对比

表3 λ=0.3条件下VSI EWMA单边极差图与FSI EWMA单边极差图的ATS对比

表4 λ=0.4条件下VSI EWMA单边极差图与FSI EWMA单边极差图的ATS对比

表5 λ=0.5条件下VSI EWMA单边极差图与FSI EWMA单边极差图的ATS对比

五、结论

本文构造了VSI EWMA单边极差控制图，与传统FSI EWMA单边极差控制图对比后发现，在给定若干前提的情况下，随着标准差偏移系数c的增大，两图的ATS都有一定程度的减小，这与预想相同，即随着过程偏移愈发明显，控制图更容易检测出过程异常；若控制标准差偏移系数c一致，对比两图的ATS发现，VSI EWMA单边极差图的ATS更低，即在相同偏移情况下，VSI EWMA单边极差控制图的平均预警时间更低，可以更快发现过程异常，方便工作人员及时检测生产过程，从而在一定程度上减少抽样成本，为生产提效，因而有一定研究和推广意义。

本文在新控制图的设计上进行了有价值的研究，但由于本文设计的控制图所有参数较多，在后续的研究中，仍然有一定优化空间。如对于不同抽样区间的取值，在何种抽样区间组合下，可以使VSI EWMA单边极差控制图最优且效率最大化；结合控制图的推广来说，在何种条件组合下可以使该图的设计成本最低。这些都是后续可以研究、改进的方向。