关于不定方程x2-8y4=M(M=17,41,73,89,97)*

管训贵

(泰州学院 数理学院，江苏 泰州 225300)

1 引言及主要结论

设d,k为给定的整数，且d>0为非平方数，k≠0.N(d,k)表示不定方程

x2-dy4=k

(1)

的正整数解的个数.

1983年，Tzanakis[1]对不定方程(1)进行了系统研究，证明了

定理1a)N(2,17)=0，在y≡0(mod 8)时；b)N(2,41)=0，在y≡0(mod 8)时；

c)N(2,73)=0，在2|y且y≢0(mod 3)时；d)N(2,89)=0，在y≡0(mod 16)时；

e)N(2,97)=0，在y≡0(mod 8)时.

定理2a)N(8,17)=0，在y≡0(mod 8)时；b)N(8,41)=0，在y≡0(mod 4)时；

c)N(8,73)=0，在2|y且y≢0(mod 3)时；d)N(8,89)=0，在2|y且y≢0(mod 5)时；

e)N(2,97)=0，在y≡0(mod 4)时.

2020年，管训贵[2]运用初等方法完全解决了定理1，即证明了

定理3i)N(2,17)=2，(x,y)=(7,2)，(23,4)；ii)N(2,41)=0；iii)N(2,73)=0；iv)N(2,89)=2，(x,y)=(11,2)，(91,8)；v)N(2,97)=0.

可是，定理2至今尚未得到改进.本文仍用初等方法，获得

定理4i)N(8,17)=1，(x,y)=(5,1)；ii)N(8,41)=3，(x,y)=(7,1)，(13,2)，(71,5)；iii)N(8,73)=1，(x,y)=(9,1)；iv)N(8,89)=1，(x,y)=(283,10)；v)N(8,97)=1 ，(x,y)=(15,2).

2 定理4的证明

为便于下文应用，我们先列出Pell方程U2-8V2=1的递推序列和数论性质：

un+2=6un+1-un，u0=1，u1=3；

(2)

vn+2=6vn+1-vn，v0=0，v1=1；

(3)

un+r=unur+8vnvr，vn+r=unvr+vnur；

(4)

(5)

u-n=un，v-n=-vn;

(6)

(7)

un+2km≡(-1)kun(modum)；vn+2km≡(-1)kvn(modum).

(8)

下面证明定理4.

i) 设相应的不定方程为

x2-8y4=17.

(9)

易知，方程X2-8Y2=17的一般解可由以下2个非结合类给出：

或

若方程(9)有整数解，则必有n，使得

y2=±(un+5vn)，或y2=±(un-5vn)=±(u-n+5v-n).

当n≥0时，un+5vn>0；当n<0时，un+5vn<0.因此可归结为

y2=un+5vn，n≥0；

(10)

或

y2=-un+5vn，n>0.

(11)

先讨论式(10).文中用T表示取模所得剩余序列的周期.

利用(2)和(3)对式(10)取模5，得T=6，且当n≡1,2,4,5(mod 6)时，un+5vn≡3,2,2,3(mod 5)均为模5的平方非剩余，故排除，剩n≡0，3(mod 6)，即n≡0，3,6,9(mod 12).

对式(10)取模11，得T=12，且当n≡3,6(mod 12)时，un+5vn≡10(mod 11)为模11的平方非剩余，故排除，剩n≡0，9(mod 12)，即n≡0，9,12,21(mod 24).

对式(10)取模1153，得T=24，且当n≡9,21(mod 24)时，un+5vn≡76，1077(mod 1153)均为模1153的平方非剩余，故排除，剩n≡0，12(mod 24)，即n≡0(mod 12).

若n≠0，则可设n=2×2t(2k+1)(t≥1，k≥0).令m=2t，则m≡1,2(mod 3),故2m≡2,4(mod 6).

由式(10)和式(8)，可知

y2≡±(u2m+5v2m)≡±5v2m(modu2m).

(12)

考虑到2|m时，um≡1(mod 8)，u2m≡1(mod 8)，令2s‖vm，则由式(12)结合式(5)可得

(13)

再讨论式(11).

利用(2)和(3)对式(11)取模5，得T=6，且当n≡1,2,4,5(mod 6)时，-un+5vn≡2,3,3,2(mod 5)均为模5的平方非剩余，故排除，剩n≡0，3(mod 6)，即n≡0，3,6,9(mod 12).

对式(11)取模11，得T=12，且当n≡0,3(mod 12)时，-un+5vn≡10(mod 11)为模11的平方非剩余，故排除，剩n≡6，9(mod 12)，即n≡6，9,18,21(mod 24).

对式(11)取模1153，得T=24，且当n≡6,9,18,21(mod 24)时，-un+5vn≡60,274，1093,879(mod 1153)均为模1153的平方非剩余，故排除.因此式(11)不成立.

综上，方程(9)仅有正整数解(x,y)=(5,1).证毕.

ii) 设相应的不定方程为

x2-8y4=41.

(14)

易知，方程X2-8Y2=41的一般解可由以下两个非结合类给出：

或

若方程(14)有整数解，则必有n,使得

y2=un+7vn，n≥0；

(15)

或

y2=-un+7vn，n>0.

(16)

先讨论式(15).

利用(2)和(3)对式(15)取模3，得T=4，且当n≡2,3(mod 4)时，un+7vn≡2(mod 3)为模3的平方非剩余，故排除，剩n≡0,1(mod 4)，即n≡0,1,4,5(mod 8).

对式(15)取模17，得T=8，且当n≡1,5(mod 8)时，un+7vn≡10,7(mod 17)均为模17的平方非剩余，故排除，剩n≡0,4(mod 8)，即n≡0(mod 4).

若n≠0，则可设n=2×2t(2k+1)(t≥1，k≥0).取m=2t，则m≡1,2(mod 3)，故2m≡2,1(mod 3).

由式(15)和式(8)，可知

y2≡±(u2m+7v2m)≡±7v2m(modu2m).

(17)

考虑到2|m时，um≡1(mod 8)，u2m≡1(mod 8)，令2s‖vm，则结合式(17)、式(5)可得

(18)

再讨论式(16).

利用(2)和(3)对式(16)取模3，得T=4，且当n≡0,3(mod 4)时，-un+7vn≡2(mod 3)为模3的平方非剩余,故排除,剩n≡1,2(mod 4),即n≡1,2,5,6,9,10(mod 12).

对式(16)取模11，得T=12，且当n≡5,9,10(mod 12)时，-un+7vn≡10,8,7(mod 11)均为模11的平方非剩余,故排除,剩n≡1,2,6(mod 12).

对式(16)取模7，得T=3，且当n≡0(mod 3)时，-un+7vn≡6(mod 7)为模7的平方非剩余,故排除n≡6(mod 12)，剩n≡1,2(mod 12)，即n≡1,2,13,14,25,26,37,38,49，50(mod 60).

对式(16)取模59，得T=20，且当n≡13,14,6,17,9(mod 20)时，-un+7vn≡31,34,58,10,10(mod 59)均为模59的平方非剩余,故排除n≡13,14,26,37,49(mod 60)，剩n≡1,2,25,38,50(mod 60).

对式(16)取模601，得T=60，且当n≡38,50(mod 60)时，-un+7vn≡580,548(mod 601)均为模601的平方非剩余,故排除,剩n≡1,2,25(mod 60).显然，n≡25(mod 60)等价于n≡25,85,145(mod 180).

对式(16)取模2699，得T=180，且当n≡25,145(mod 180)时，-un+7vn≡756，1053(mod 2699)均为模2699的平方非剩余,故排除；又对式(16)取模199，得T=9，且当n≡4(mod 9)时，-un+7vn≡55(mod 199)为模199的平方非剩余，故排除n≡85(mod 180).最后剩n≡1,2(mod 60).

若n≡1(mod 60)且n≠1，则令n=1+2×3×5×2t(2k+1)(t≥1，k≥0)，并取

式(16)结合式(4)和式(8)得

y2=-un+7vn≡±(-u1+2m+7v1+2m)≡±13v2m(modu2m).

(19)

考虑到2|m时，um≡1(mod 8)，u2m≡1(mod 8)，令2s‖vm，则式(19)结合式(5)可得

(20)

对于n≡2(mod 60)且n≠2，令n=2+2×3×5×2t(2k+1)(t≥1，k≥0)，并取

则m≡1,8,16,23,22,9,12,26,19,10,20,15(mod 35)，故2m≡2,16,32,11,9,18,24,17,3,20,5,30(mod 35).

式(16)结合式(4)和式(8)得

y2=-un+7vn≡±(-u2+2m+7v2+2m)≡±71v2m(modu2m).

(21)

考虑到2|m时，um≡1(mod 8)，u2m≡1(mod 8)，令2s‖vm，则式(21)结合式(5)可得

(22)

综上，方程(14)仅有正整数解(x,y)=(7,1)，(13,2)和(71,5).证毕.

iii) 设相应的不定方程为

x2-8y4=73.

(23)

易知，方程X2-8Y2=73的一般解可由以下两个非结合类给出：

或

若方程(23)有整数解，则必有n，使得

y2=un+9vn，n≥0；

(24)

或

y2=-un+9vn，n>0.

(25)

先讨论式(24).

利用(2)和(3)对式(24)取模17，得T=8，且当n≡1,2,3,5,6,7(mod 8)时，un+9vn≡12,3,6,5,14,11(mod 17)均为模17的平方非剩余，故排除，剩n≡0,4(mod 8);再对式(24)取模8，得T=8，且当n≡4(mod 8)时，un+9vn≡5(mod 8)为模8的平方非剩余，故排除，剩n≡0(mod 8).

对式(24)取模5，得T=6，且当n≡1,4(mod 6)时，un+9vn≡2,3(mod 5)均为模5的平方非剩余，故排除，剩n≡0,2,3,5(mod 6).由于2|n，所以n≡0,2(mod 6)，即n≡0,2,6,8(mod 12).又4|n，故n≡0,8(mod 12)，即n≡0,8,12,20,24,32(mod 36).

对式(24)取模179，得T=36，且当n≡12,24(mod 36)时，un+9vn≡167,11(mod 179)均为模179的平方非剩余，故排除；对式(24)取模199，得T=9，且当n≡2,5(mod 9)时，un+9vn≡71,134(mod 199)均为模199的平方非剩余，故排除n≡20,32(mod 36)，剩n≡0,8(mod 36)，即n≡0,8,36,44(mod 72).

对式(24)取模1009，得T=72，且当n≡8,44(mod 72)时，un+9vn≡770,239(mod 1009)均为模1009的平方非剩余，故排除，剩n≡0,36(mod 72)，即n≡0(mod 36).

对式(24)取模79，得T=13，且当n≡1,2,4,6(mod 13)时，un+9vn≡12,71,43,48(mod 79)均为模79的平方非剩余，故排除；再对式(24)取模599，得T=13，且当n≡3,5,7,8,10,11,12(mod 13)时，un+9vn≡414,287,359,449,383,562,593(mod 599)均为模599的平方非剩余，故排除，剩n≡0,9(mod 13)，即n≡0,9,13,22,26,35(mod 39).

由于3|n，所以n≡0,9(mod 39).

对式(24)取模313，得T=39，且当n≡9(mod 39)时，un+9vn≡168(mod 313)为模313的平方非剩余，故排除，剩n≡0(mod 39).结合n≡0(mod 36)得n≡0(mod 468)，当然就有n≡0(mod 78).

式(24)结合式(6)和式(8)可得

y2=un+9vn≡±(u±2m+9v±2m)≡±(u2m±9v2m)(modu3m).

(26)

(27)

再讨论式(25).

利用(2)和(3)对式(25)取模7，得T=3，且当n≡0,1(mod 3)时，-un+9vn≡6(mod 7)为模7的平方非剩余，故排除，剩n≡2(mod 3)，即n≡2,5(mod 6).再对式(25)取模5，得T=6，且当n≡2,5(mod 6)时，-un+9vn≡2，3(mod 5)均为模5的平方非剩余，故排除.因此式(25)不成立.

综上，方程(23)仅有正整数解(x,y)=(9,1).证毕.

iv) 设相应的不定方程为

x2-8y4=89.

(28)

易知，方程X2-8Y2=89的一般解可由以下两个非结合类给出：

或

若方程(28)有整数解，则必有n,使得

y2=2un+11vn，n≥0

(29)

或

y2=-2un+11vn，n>0.

(30)

先讨论式(29).

利用(2)和(3)对式(29)取模3，得T=4，且当n≡0,1(mod 4)时，2un+11vn≡2(mod 3)为模3的平方非剩余，故排除，剩n≡2,3(mod 4)，即n≡2,3,6,7(mod 8).

对式(29)取模8，得T=8,且当n≡3,7(mod 8)时,2un+11vn≡7,3(mod 8)均为模8的平方非剩余，故排除，剩n≡2,6(mod 8)，即n≡2(mod 4)，从而n≡2,6,10(mod 12).

对式(29)取模5,得T=6,且当n≡0,4(mod 6)时,2un+11vn≡2,3(mod 5)均为模5的平方非剩余,故排除n≡6,10(mod 12),剩n≡2(mod 12),即n≡2,14,26,38,50(mod 60).

对式(29)取模601，得T=60，且当n≡14,26,50(mod 60)时，2un+11vn≡159,489,219(mod 601)均为模601的平方非剩余,故排除，剩n≡2,38(mod 60).

对式(29)取模29，得T=10，且当n≡8(mod 10)时，2un+11vn≡26(mod 29)为模29的平方非剩余,故排除n≡38(mod 60)，剩n≡2(mod 60)，即n≡2,62,122(mod 180).

对式(29)取模24121，得T=180，且当n≡62,122(mod 180)时，2un+11vn≡23454,567(mod 24121)均为模24121的平方非剩余,故排除，剩n≡2(mod 180).

若n≠2，则令n=2+2×32×5×2t(2k+1)(t≥1，k≥0)，并取

式(29)结合式(4)和式(8)得

y2=2un+11vn≡±(2u2+2m+11v2+2m)≡±283v2m(modu2m).

(31)

考虑到2|m时，um≡1(mod 8)，u2m≡1(mod 8)，令2s‖vm，则由式(31)结合式(5)可得

(32)

对{un}取模283，得T=284.根据m的取法，同时注意到{2t}取模284的T=35，有表1.

表1 u2m取模283时的数据

续表

再讨论式(30).

利用(2)和(3)对式(30)取模7，得T=3，且当n≡0,1(mod 3)时，-2un+11vn≡5(mod 7)为模7的平方非剩余，故排除，剩n≡2(mod 3)，即n≡2,5(mod 6).再对式(30)取模5，得T=6，且当n≡2,5(mod 6)时，-2un+11vn≡2，3(mod 5)均为模5的平方非剩余，故排除.因此式(30)不成立.

综上，方程(28)仅有正整数解(x,y)=(283,10).证毕.

v) 设相应的不定方程为

x2-8y4=97.

(33)

易知，方程X2-8Y2=97的一般解可由以下两个非结合类给出：

或

若方程(33)有整数解，则必有n,使得

y2=3un+13vn，n≥0

(34)

或

y2=-3un+13vn，n>0.

(35)

先讨论式(34).

利用(2)和(3)对式(34)取模7，得T=3，且当n≡0,2(mod 3)时，3un+13vn≡3(mod 7)为模7的平方非剩余，故排除，剩n≡1(mod 3)，即n≡1,4(mod 6).再对式(34)取模5，得T=6，且当n≡1,4(mod 6)时，3un+13vn≡2,3(mod 5)均为模5的平方非剩余，故排除.因此式(34)不成立.

再讨论式(35).

利用(2)和(3)对式(35)取模17，得T=8，且当n≡0,2,3,4,6,7(mod 8)时，-3un+13vn≡14,10,5,3,7,12(mod 17)均为模17的平方非剩余，故排除，剩n≡1,5(mod 8)，即n≡1(mod 4).这等价于n≡1,5,9,13,17(mod 20).

对式(35)取模19，得T=20，且当n≡5,9,13,17(mod 20)时，-3un+13vn≡10,3,13,8(mod 19)均为模19的平方非剩余，故排除，剩n≡1(mod 20).

式(35)结合式(4)和式(8)得

y2=-3un+13vn≡±(-3u1+2m+13v1+2m)≡±15v2m(modu2m).

(36)

考虑到2|m时，um≡1(mod 8)，u2m≡1(mod 8)，令2s‖vm，则式(36)结合式(5)可得

(37)

综上，方程(33)仅有正整数解(x,y)=(15,2).证毕.