关于不定方程x2-5y4=236

刘 杰

（三明医学科技职业学院人文教育学院，福建 三明 365000）

关于不定方程x2－Dy4=C(其中D，C为给定的整数，且D〉0为非平方数)曾有多人研究。设N(D，C)为方程x2－Dy4=C的正整数解的组数，文献[1]证明了以下几个结果：N(5，44)=1，(x，y)=(7,1)；N(5，11)=2，(x，y)=(4，1)和(56，5)；N(5，－44)=3，(x，y)=(6，2)，(19，3)和(181，9)。文献[2-4]证明了在y≡0(mod8)时，N(2，17)=0，N(2，41)=0，N(8，17)=0，N(2，97)=0。 文献[5-7]证明了 N(3，97)=1，(x，y)= (10，1)。 文献[8]证明了 N(3，397)=1，(x，y)=(20，1)。

本文利用递推序列、同余式和平方剩余的方法证明了不定方程x2－5y4=236仅有正整数解(x，y)=(271，11)。

1.定理及证明

仅有正整数解(x，y)=(271，11) 。

证明：首先考虑方程 x2－5y2=236，其全部整数解由以下6个结合类给出：

1.1 讨论结合类(2)(3)

因为两个结合类±(Xn+Yn)和±()是共轭的，而Yn=Y-n,

由于(Un+Yn)=(9+4)n，所以如果(1)式有解则应满足 y2=±(2Un+16Vn)(n∈Z)或 y2=±(2Un-16Vn)(n∈Z)。 但当 n≥0 时,2Un+16Vn〉0，n〈0 时，2Un+16Vn〈0；n〉0 时，2Un-16Vn〈0，n≤0 时，2Un-16Vn〉0。

因此(1)式的解可归结为：(ⅰ)Yn=y2=2Un+16Vn（n≥0）或 (ⅱ)Yn=y2=－2Un+16Vn(n〉0)

亦即只要证明 Yn=2Un+16Vn或 Yn=－2Un+16Vn是否是一个完全平方数。

可以验证以下3组关系式成立：Un+2km≡(-1)kUn(modUm),Vn+2km≡(-1)kVn(modUm) ③

情形(ⅰ)Yn=2Un+16Vn（n≥0）

由关系式①对{Yn}取模3得剩余类序列周期为 4，当 n≡0，3(mod4)时 Yn≡2(mod3),因为（2/3）=-1(其中(a/p)表示 jacobi符号)，所以 Yn不可能是一个平方数，从而使Yn=y2=2Un+16Vn无整数解，以下排除的数都是据计算 (a/p）=-1得出Yn不可能是一个平方数，从而使y无解。剩n≡1,2(mod4)等价于 n≡1,2,5,6(mod8)。 取模 7得剩余类序列周期为 8,当 n≡1,6(mod8)时 Yn≡5,3(mod7)使Yn不是一个平方数。

取模23得剩余类序列周期为8,当n≡5(mod8)时，Yn≡10(mod23)使 Yn不是一个平方数。剩 n≡2(mod8)等价于 n≡2，10(mod16),取模 1103得剩余类序列周期为 16，当 n≡2(mod16)时，Yn≡371(mod1103)使 Yn不是一个平方数,取模 47得剩余类序列周期为 16，当 n≡10(mod16)时，Yn≡30(mod47)使Yn不是一个平方数。所以此情形对所有n都使Yn不是一个平方数，从而y无解。

情形(ⅱ)Yn=y2=-2Un+16Vn(n〉0)

对 {Yn}取模3得剩余类序列周期为 4，当n≡2,3(mod4)时 Yn≡2(mod3),因 为 （2/3）=-1(其中(a/p)表示 jacobi符号)，所以 Yn不可能是一个平方数，从而使Yn=y2=-2Un+16Vn无整数解。剩n≡0,1(mod4)等价于 n≡0,1,4,5(mod8)，取模 7 得剩余类序列周期为 8，当 n≡0,5(mod8)时，Yn≡5,3(mod7)使 Yn不是一个平方数。剩 n≡1,4(mod8)等价于 n≡1,4,9,12(mod16),取模 47得剩余类序列周期为 16,当 n≡1,4(mod16)时,Yn≡46,20(mod47),取模1103得剩余类序列周期为16,当 n≡9(mod16)时 Yn≡1057(mod1103)使 Yn不是一个平方数。剩 n≡12(mod16)等价于 n≡12,28(mod32),取模3167得剩余类序列周期为 32,当n≡12(mod32)时,Yn≡2743(mod3167)使 Yn不 是按个平方数。取模2207得剩余类序列周期为32,当n≡28(mod32)时，Yn≡2086(mod2207)使 Yn不是一个平方数。由以上所证此情形对所有n都使Yn不是一个平方数，从而y无解。

1.2 讨论结合类(4)(5)

如果(1)式有解则应满足 y2=±(5Un+19Vn)(n∈Z)或 y2=±(5Un-19Vn)(n∈Z)， 但当 n≥0时,5Un+19Vn〉0,n〈0 时 5Un+19Vn〈0；n〉0 时 5Un-19Vn〈0,n≤0 时,5Un-19Vn〉0,

因此 (1)式的解可归结为：(ⅰ)Yn=y2=5Un+19Vn（n≥0）或(ⅱ)Yn=y2=-5Un+19Vn(n〉0)。

情形(ⅰ)Yn=5Un+19Vn（n≥0）

由关系式①对 {Yn}取模3得剩余类序列周期为 4，当 n≡0，3(mod4)时，Yn≡2(mod3),得出 Yn不可能是一个平方数，从而使y无解。剩n≡1,2(mod4)等价于 n≡1,2,5,6,9,10(mod12)。 取模 17得剩余类序列周期为 12,当n≡2,6,9(mod12)时,Yn≡14,5,12(mod17)，取模107得剩余类序列周期为 12，当 n≡5(mod12)时，Yn≡31(mod107)使 Yn不是一个平方数。剩下n≡1,10(mod12),等价于n≡1,10,13,22(mod24)。取模7得剩余类序列周期为24,当 n ≡10,13(mod24)时 ,Yn≡3,5(mod7)， 取 模103681得剩余类序列周期为24， 当n≡22(mod24)时 ，Yn≡103118(mod103681)使 Yn不 是 一个平方数，从而剩下n≡1(mod24)。

又由前剩n≡1,2(mod4)等价于n≡1,2,5,6,9,10,13,14,17,18(mod20)。取模41得剩余类序列周期为 20,当 n≡6,17,18(mod20)时有 Yn≡30,11,24(mod41),取模2521得剩余类序列周期为20,当n≡2,13,14(mod20)时有 Yn≡2173,1343,1137(mod2521),取模61得剩余类序列周期为20,当n≡9(mod20)时有Yn≡30(mod61)使Yn不是一个平方数。剩下n≡1,5,10(mod20)等价于 n≡1,5,10,21,25,30(mod40)。取模 7得剩余类序列周期为 40,当n≡5(mod40)时有 Yn≡5(mod7),取模 23得剩余类序列周期为 40,当 n≡10,21(mod40)时有 Yn≡11,17(mod23),取模 241得剩余类序列周期为40,当 n≡25(mod40)时有 Yn≡234(mod241)使 Yn不是一个平方数。剩下n≡1,30(mod40)等价于n≡1,30,41,70(mod80)。取模47得剩余类序列周期为80,当 n≡41,70(mod80)时有 Yn≡20,46(mod47),取模1103得剩余类序列周期为80,当n≡30(mod80)时有 Yn≡540(mod1103),使 Yn不是一个平方数。剩下n≡1(mod80)结合前面 n≡1(mod24)则n≡1(mod120)才使Yn可能是一个平方数。

当 n≡1(mod120)，x≠1 时，设 n＝1＋2×3×5×2t×k(k≡1(mod2),t≥2）

令 m=15×2t，由关系式②、③

k≡3(mod4)时

由于 U2m≡1(mod8),设 2s|Vm,则

对U2m取模271，得剩余类序列周期为45。按m的取法 2m≡15,30(mod45),此时有 U2m≡135(mod271)。 由于(135/271)=-1 与（y2/U2m）=1 矛盾,所以这时Yn不是一个平方数，使y2=5Un+19Vn无解。当n=1时，得到y=11,从而得(1)式的一组正整数解（x,y）=(271,11)。

情形(ⅱ)Yn=-5Un+19Vn(n〉0)

对{Yn}取模3得剩余类序列周期为4，当n≡2,3(mod4)时，Yn≡2(mod3),Yn不可能是一个平方数，从而使Yn=y2=-2Un+16Vn无整数解。剩n≡0,1(mod4)等价于 n≡0,1,4,5(mod8)，取模 7得剩余类序列周期为 8,当 n≡1(mod8)时，Yn≡3(mod7),取模23得剩余类序列周期为 8,当 n≡4,5(mod8)时，Yn≡5,15(mod23)。 剩 n≡0(mod8)等价于 n≡0,8(mod16)，取模7得剩余类序列周期为8,当n≡1(mod8)时，Yn≡3(mod7),取模23得剩余类序列周期为8,当n≡4,5(mod8)时，Yn≡5,15(mod23)，所以此情形对所有的n均使Yn不是一个平方数，从而y无解。

1.3 讨论结合类(6)(7)

如果(1)式有解则应满足 y2=±(11Un+29Vn)(n∈Z)或 y2=±(11Un-29Vn)(n∈Z)。 但当 n≥0 时,11Un+29Vn〉0,n〈0 时 11Un+29Vn〈0；n〉0 时 11Un-29Vn〈0,n≤0 时,11Un-29Vn〉0。

因此 (1)式的解可归结为：(ⅰ)Yn=y2=11Un+29Vn（n≥0）或(ⅱ)Yn=y2=-11Un+29Vn(n〉0)

情形(ⅰ)Yn=11Un+29Vn（n≥0）

对{Yn}取模8得剩余类序列周期为2，当n≡0,1(mod2)时，Yn≡3,7(mod8),为模 8 的平方非剩余。故此情形无解。

情形(ⅱ)Yn=y2=-11Un+29Vn(n〉0)

对{Yn}取模8得剩余类序列周期为4，当n≡0,2(mod4)时，Yn≡5(mod8),为模 8的平方非剩余。取模3得剩余类序列周期为4，当n≡1(mod4)时，Yn≡2(mod3),为模 3的平方非剩余，剩下 n≡3(mod4),等价于n≡3,7(mod8)。取模7得剩余类序列周期为 8,当 n≡3(mod8)时，Yn≡5(mod7)。 取模 23得剩余类序列周期为 8,当 n≡7(mod8)时，Yn≡15(mod23),此情形对所有的n均使Yn不是一个平方数,从而y无解。

通过以上的讨论知(1)式只有正整数解（x,y）=(271,11),证毕。