关于不定方程x2-pqy4=16的正整数解
2022-12-26管训贵潘小明
管训贵，潘小明
(泰州学院 数理学院，江苏 泰州 225300)
设p,q为奇素数，m为大于1的整数，满足q=p+2m。有一类典型的椭圆曲线是
y2=x(x+εp)(x+εq),ε∈{-1,1}
(1)
在确定式(1)的整数点时，曾分解出一种情形：
x=pqa2，x+εp=2spb2
x+εq=2sqc2，y=±2spqabc
此情形最终归结为讨论不定方程
的正整数解。当s=0,1时，此方程的讨论比较简单；而s=2时，则较为复杂。基于上述考虑，本文讨论不定方程
x2-pqy4=16，gcd(x,y)=1，x,y∈N*
(2)
的解。当然，式(2)也是不定方程的基本类型之一[1-3]。本文用初等方法对式(2)的解进行了探究，获得以下一般性的结果。
1 主要结论
定理设p,q为奇素数，m为大于1的整数，且q=p+2m。若不定方程
X2-pqY2=16，gcd(X,Y)=1，X,Y∈N*
u1≡3(mod 4)，v1≡2(mod 4)
或
u1≢3(mod 8)，v1≡4(mod 8)
或
u1≢7(mod 8)，v1≡0(mod 8)
则式(2)的解必满足
y2=un+(p+2m-1)vn，n≥0
根据定理直接可得：
推论1不定方程
x2-33y4=16，x,y∈N*
(3)
仅有解(x,y)=(7,1)和(92,4)。
推论2不定方程
x2-209y4=16，x,y∈N*
(4)
仅有解(x,y)=(15,1)。
推论3不定方程
x2-65y4=16，x,y∈N*
(5)
仅有解(x,y)=(9,1)和(516,8)。
2 一些引理
X2-DY2=M，M∈N*
(6)
(ⅰ)un+2=2aun+1-un，u0=1，u1=a；vn+2=2avn+1-vn，v0=0，v1=b。
(ⅲ)u-n=un，v-n=-vn。
(ⅴ)un+2km≡(-1)kun(modum)；vn+2km≡(-1)kvn(modum)。
引理4[5]设D>0且不是平方数，则不定方程
x2-Dy4=1
(7)
由引理4即得引理5。
引理5不定方程x2-33y4=1仅有正整数解(x,y)=(23,2)。
证明因为33≠1 785,28 560，且v2=23×23为非平方数，故由引理4知，该不定方程至多有一组正整数解。又由232-33×24=1知结论成立。证毕。
类似可证引理6。
引理6不定方程x2-65y4=1仅有正整数解(x,y)=(129,4)。
引理7[6]设p,q为不同的奇素数，若p≡3(mod 4)，q≡3(mod 4)，则不定方程x4-pqy2=1没有正整数解(x,y)。
引理8[7]设整数a>1，则不定方程
ax2-Dy4=1
(8)
引理9不定方程
x2-836y4=1
(9)
无正整数解(x,y)。
x+1=418r4，x-1=2s4
(10)
或
x+1=2s4，x-1=418r4
(11)
或
x+1=38r4，x-1=22s4
(12)
或
x+1=22s4，x-1=38r4
(13)
这里，s,r∈N*，gcd(s,r)=1，y=rs。
若式(10)成立，则得s4-209r4=-1。取模11，有s4≡-1(mod 11)，不可能。
若式(11)成立，则得s4-209r4=1。由于11≡3(mod 4)，19≡3(mod 4)，故由引理7知，不可能。
若式(13)成立，则得
11s4-19r4=1
(14)
vn=35xn+506yn
(15)
并且有序列：
xn+2=93 102xn+1-xn,x0=1,x1=46 551
yn+2=93 102yn+1-yn,y0=0,y1=3 220
(16)
利用式(16)对式(15)取模8，得v35≡5(mod 8)，即v35不是完全平方数。因此，式(14)无正整数解。证毕。
引理10不定方程
x2-209y4=1
(17)
无正整数解(x,y)。
x+1=1 672r4，x-1=2s4
(18)
或
x+1=2s4，x-1=1 672r4
(19)
或
x+1=418r4，x-1=8s4
(20)
或
x+1=8s4，x-1=418r4
(21)
或
x+1=152r4，x-1=22s4
(22)
或
x+1=22s4，x-1=152r4
(23)
或
x+1=88r4，x-1=38s4
(24)
或
x+1=38s4，x-1=88r4
(25)
这里，s,r∈N*，gcd(s,r)=1，y=2rs。
若式(18)成立，则得s4-836r4=-1。取模11，有s4≡-1(mod 11)，不可能。
若式(19)成立，则得s4-836r4=1。根据引理9知，不可能。
若式(20)成立，则得4s4-209r4=-1。取模11，有4s4≡-1(mod 11)，不可能。
若式(21)成立，则得4s4-209r4=1。取模4，有r4≡-1(mod 4)，不可能。
若式(23)成立，则得11s4-76r4=1。取模4，有s4≡-1(mod 4)，不可能。
若式(25)成立，则得19s4-44r4=1。取模4，有s4≡-1(mod 4)，不可能。
因此，式(17)无正整数解。证毕。
3 定理的证明
因为(p+2m-1)2-p(p+2m)·12=16，且不定方程
X2-pqY2=16,gcd(X,Y)=1,X,Y∈N*
(26)
仅有2个非结合类的解，所以根据引理2，式(26)的一般解可表示为
或
若式(2)有解，必有n，使得
y2=±(un+(p+2m-1)vn)
或
y2=±(un-(p+2m-1)vn)
=±(u-n+(p+2m-1)v-n)
当n≥0时，un+(p+2m-1)vn>0；当n<0时，un+(p+2m-1)vn<0。因此可归结为：
y2=un+(p+2m-1)vn，n≥0
(27)
或
y2=-un+(p+2m-1)vn，n>0
(28)
由引理3的(ⅰ)知：
un+2=2aun+1-un，u0=1，u1=a
(29)
vn+2=2avn+1-vn，v0=0，v1=b
(30)
当u1≡3(mod 4)，v1≡2(mod 4)时，对式(29)取模4，得剩余序列的周期为2：1,3，…；对式(30)取模4，得剩余序列的周期为2：0,2，…。此时，式(28)成为y2≡3(mod 4)，不可能。
当u1≡1(mod 8)，v1≡4(mod 8)时，对式(29)取模8，得剩余序列的周期为1：1,1，…；对式(30)取模8，得剩余序列的周期为2：0,4，…。此时，式(28)成为y2≡7,3(mod 8)，不可能。
当u1≡5(mod 8)，v1≡4(mod 8)时，对式(29)取模8，得剩余序列的周期为2：1,5，…；对式(30)取模8，得剩余序列的周期为2：0,4，…。此时式(28)成为y2≡7(mod 8)，不可能。
当u1≡7(mod 8)，v1≡4(mod 8)时，对式(29)取模8，得剩余序列的周期为2：1,7，…；对式(30)取模8，得剩余序列的周期为2：0,4，…。此时，式(28)成为y2≡7,5(mod 8)，不可能。
当u1≢7(mod 8)，v1≡0(mod 8)时，式(28)成为y2≡3,5,7(mod 8)，也不可能。
证毕。
4 推论的证明
先证推论1。若2|y，则有4|x。令x=4x1，y=2y1，则式(3)可化为
(31)
根据引理5，式(31)给出x1=23，y1=2。此时可得式(3)的解为(x,y)=(92,4)。
y2=un+7vn，n≥0
(32)
根据引理3，有
un+2=46un+1-un，u0=1，u1=23
(33)
vn+2=46vn+1-vn，v0=0，v1=4
(34)
v2n=2unvn
(35)
(36)
u-n=un，v-n=-vn
(37)
un+2km≡(-1)kun(modum)
vn+2km≡(-1)kvn(modum)
(38)
约定：下文中“T”表示取模所得剩余序列的周期。
利用式(33)和式(34)，对式(32)取模151，得T=8，且当n≡1,4,6,7(mod 8)时，y2≡51,150,71,146(mod 151)均为模151的平方非剩余，故排除，剩n≡0,2,3,5(mod 8)。
对式(32)取模7，得T=8，且当n≡3,5(mod 8)时，y2≡5(mod 7)为模7的平方非剩余，故排除，剩n≡0,2(mod 8)，即n≡0,2,8,10,16,18(mod 24)。
对式(32)取模433， 得T=24，且当n≡2,8,10(mod 24)时，y2≡180,344,231(mod 433)均为模433的平方非剩余，故排除，剩n≡0,16,18(mod 24)。
对式(32)取模1 153，得T=48，且当n≡16,40(mod 48)时，y2≡964,189(mod 1 153)均为模1 153的平方非剩余，故排除n≡16(mod 24)，剩n≡0,18(mod 24)，故n≡0(mod 6)。
若n≠0，可设n=2×3t(3k±1)(t≥1)，并取m=3t，则m≡3(mod 6)。
利用式(37)和式(38)，可将式(32)化为
y2≡±(u±2m+7v±2m)
≡±(u2m±7v2m)(modu3m)
(39)
矛盾。因此n=0。代入式(32)，得y=1。此时可得式(3)的解(x,y)=(7,1)。
综上，方程(3) 仅有解(x,y)=(7,1)和(92,4)。证毕。
再证推论2。若2|y，则有4|x。令x=4x1，y=2y1，则式(4)可化为
(40)
根据引理10，式(40)无正整数解，故此时式(4)无解。
y2=un+15vn，n≥0
(41)
根据引理3，有
un+2=93 102un+1-un，u0=1,u1=46 551
(42)
vn+2=93 102vn+1-vn，v0=0,v1=3 220
(43)
v2n=2unvn
(44)
un+2km≡(-1)kun(modum)
vn+2km≡(-1)kvn(modum)
(45)
利用式(42)和式(43)，对式(41)取模59，得T=4，且当n≡1,2(mod 4)时，y2≡38，58(mod 59)均为模59的平方非剩余，故排除，剩n≡0,3(mod 4)，即n≡0,3,4,7,8,11,12,15,16,19(mod 20)。
对式(41)取模41，得T=40，且当n≡3,23,8,28,12,32,16,36,19,39(mod 40)时，y2≡14,27,12,29,6,35,30,11,27,14(mod 41)均为模41的平方非剩余，故排除，剩n≡0,4,7,11,15(mod 20)。
对式(41)取模281，得T=40，且当n≡7,27,11,31,15,35(mod 40)时，y2≡21,260,104,177,278,3(mod 281)均为模281的平方非剩余，故排除n≡7,11,15(mod 20)，剩n≡0,4(mod 20)。
对式(41)取模601，得T=40，且当n≡4,24(mod 40)时，y2≡7,594(mod 601)均为模601的平方非剩余，故排除n≡4(mod 20)，剩n≡0(mod 20)。
利用式(45)，可将式(41)化为
y2≡±(u2m+15v2m)
≡±15v2m(modu2m)
(46)
考虑到2|m时，um≡1(mod 8)，u2m≡1(mod 8)。令2s‖vm，结合式(44)，则式(46)可化为
(47)
综上，方程(4)仅有解(x,y)=(15,1)。证毕。
最后证推论3。若2|y，则有4|x。令x=4x1，y=2y1，则式(5)可化为
(48)
根据引理6，式(48)给出x1=129，y1=4。此时可得式(5)的解为(x,y)=(516,8)。
y2=un+9vn，n≥0
(49)
根据引理3，有
un+2=258un+1-un,u0=1,u1=129
(50)
vn+2=258vn+1-vn,v0=0,v1=16
(51)
v2n=2unvn
(52)
(53)
u-n=un，v-n=-vn
(54)
un+2km≡(-1)kun(modum)
vn+2km≡(-1)kvn(modum)
(55)
利用式(50) 和式(51)，对式(49)取模29，得T=14，且当n≡1,2,3,5,6,8,9,10,12,13(mod 14)时，y2≡12,21,12,14,15,17,8,17,15,14(mod 29)均为模29的平方非剩余，故排除，剩n≡0,4,7,11(mod 14)，即n≡0,4,7,11,14,18,21,25(mod 28)。
对式(49)取模43，得T=4，且当n≡2,3(mod 4)时,y2≡42,28(mod 43)均为模43的平方非剩余，故排除n≡7,11,14,18(mod 28)，剩n≡0,4,21,25(mod 28)，即n≡0,4,21,25,28,32,49,53(mod 56)。
对式(49)取模503， 得T=56，且当n≡25,28,32,49(mod 56)时，y2≡248,502,358,93(mod 503)均为模503的平方非剩余，故排除，剩n≡0,4,21,53(mod 56)。
对式(49)取模4 817，得T=56，且当n≡4,21,53(mod 56)时，y2≡1 644,3 726,3 233(mod 4 817)均为模4 817的平方非剩余，故排除，剩n≡0(mod 56)，从而n≡0(mod 14)。
对式(49)取模37，得T=3，且当n≡1,2(mod 3)时，y2≡14,22(mod 37)均为模37的平方非剩余，故排除，剩n≡0(mod 3)。结合n≡0(mod 14)，可得n≡0(mod 42)。
(ⅰ)k≡1(mod 3)时，令
则m≡3(mod 12)。
利用式(55)，可将式(49)化为
y2≡±(u2m+9v2m)(modu3m)
(56)
(57)
(ⅱ)k≡-1(mod 3)时，令
则m≡9(mod 12)。
利用式(54)和式(55)，可将式(49)化为
y2≡±(u2m-9v2m)(modu3m)
(58)
(59)
(60)
因此n=0。代入式(49)得y=1。此时可得式(5)的解(x,y)=(9,1)。
综上，方程(5)仅有解(x,y)=(9,1)和(516,8)。证毕。
