引进表征工具 导向高阶思维——《搭小正方体中的学问》教学思考与实践

文|娄煜鹏

人教版五年级下册第166页总复习中有这样一道题——

下面3个图形都是由棱长1cm的小正方体摆成的。

（1）下面的图形是聪聪从上面看到的。它们分别是从哪个图形的上面看到的？将序号写在括号中。

（2）①、②、③的体积分别是多少？①的体积是③的体积的几分之几？

（3）如果要把①、②、③分别继续补搭成一个大正方体，每个图形至少还需要多少个小正方体？

（4）你还能提出其他数学问题并解答吗？

题目以小正方体搭成的图形为线索，串起了“图形与几何”领域内观察物体、计算体积和表面积等多个知识点。但实践发现，多数学生对此题有畏烦和畏难的情绪。课堂上，如果只由部分优秀学生或者教师来讲述与核对一遍答案，则不能真正引发学生的数学思考和共鸣，失去了练习的价值。

通过与新思维教研人员进行交流，笔者了解到儿童的抽象思维尚不成熟，心力资源有限，在他们展开推理和想象的过程中，常常需要借助各种图像、笔记等具体表征，使自己对图形关系和数量关系的分析看得见、可反思，从而突破难点、升级问题解决的能力。教研员推荐了张天孝老师主编的《新思维儿童数学》（5B）第82、83页《立方体堆砌》一课以供参考。

在书中，笔者看到了一种“带数字的俯视图”，激发了灵感。再教学时，尝试引进“带数字的俯视图”作为表征和交流的工具，帮助学生展开该图形问题的分析和解决过程，着重训练立体与平面的转换，发展空间观念；体会图形与数字的沟通，积累情境问题数学化、数字化的经验。

一、对比感悟，认识工具

1.新旧比较，了解工具内涵。

（1）课件先后出示。

师：同学们，老师用一些小正方体搭了一个图形。这是聪聪画的俯视图（出示如上左图），这是明明画的俯视图（出示如上右图）。看到这两幅俯视图，你有什么想说的吗？

生：第一幅是平面的，第二幅是立体的。

师：此话怎讲？

生：因为看第二幅我能知道每一个平面位置上有几块小正方体。

师：谁听懂了？

生：他的意思是，从明明画的图中不仅可以知道一个面上的正方体是怎么摆的，还知道每个正方体下面或者上面叠搭了几个。

教师引导集体想象根据如上右图可能得到的立体图形，如：

（2）学生活动：尝试用数字俯视图记录立体图形。

师：你能像明明这样，记录一下这个图形的俯视图像吗？

学生自主填写，指名校对，如：

2.双向联系，巩固基本技能。

出示：

师：刚才大家都说带数字的俯视图能确定立体图形，那你能从上面三幅带数字的俯视图中找到与它们对应的立体图形吗？你是怎么找的？

（在集体交流的基础上，完成连线。对个别有争议的图像，实物搭建，观察验证）

【设计意图：将教材中通用的、学生比较熟悉的俯视图与“带数字的俯视图”同时呈现，方便学生比较异同，很快理解新工具的表征方法。另一方面，将带数字的俯视图和立体图形建立双向联系，在具体应用中进一步体会工具承载的图形信息。课一开始，干脆利落地落实工具，为接下来学生自主思考和解决问题打下基础。】

二、多维思考，拓展算法

1.计算体积，交流方法。

师：这个图形是由棱长1cm的小正方体摆成的，请你用喜欢的方法计算它的体积。

（学生独立思考、计算——教师呈现典型作品，组织交流）

生：我是通过数个数的方式计算的。第一层有3个，第二层有7个，一共有3+7=10（个）。已知1个小正方体的体积是1cm3，那么这个图形的体积就是10cm3。

师：你的体积概念很清楚，谁还有不同的方法？

生：可以画一个“带数字的俯视图”，你们看——

把上面的数字都加起来：2×3＋1×4=10。

师：他的意思大家明白吗？我们来检查一下。为什么俯视图上的数字相加就可以得出体积？

生：俯视图中的数字之和等于小正方体的总数。

师：你能用自己的语言概括一下求组合图形体积的方法吗？

【设计意图：鼓励学生说出求图形体积的不同想法，体会方法的多样及各自的特色。初步感受到使用新的记录方式，可以将立体图形转化成平面图形，将几何求体积的问题转化成算术求总和的问题。】

2.补搭图形，探寻方法。

师：一张俯视图，使立体图形变成了平面数表。如果要将这个立体图形继续补搭成一个大正方体，至少还需要多少个小正方体？你能解决吗？你会用什么方法来帮助自己思考呢？

（学生独立思考、计算，教师呈现典型作品，组织交流）

生：（指着立体图）从图中我可以知道至少拼搭成棱长是4的正方体。那么这时一共用到4×4×4=64个正方体，所以还需要64-10=54个正方体。

生：我没有听得太懂。

生：你们看，现在的图形我们画下来是——

生：那么要搭成一个最接近的大正方体就是——

师：大家能看懂这些“带数字的俯视图”吗？依照俯视图，你能想象、生成立体图吗？

师：你现在能根据这两幅“带数字的俯视图”再来算一算吗？

生：4×4×4－10＝54（个）。只要把两幅带数字的俯视图上的数字之和相减就行了。

师：谢谢这位同学，这个小老师当得好！解决了这个问题，你有什么想说的吗？

生：可以用带数字的俯视图记录信息，帮助我们解决问题。

【设计意图：以数字俯视图为抓手，帮助更多学生生成正确的、可把握的空间图像，切实发展更多学生的空间观念。特别是在研究补搭成大正方体问题的过程中，学生较为深刻地感受到引进和借力表征工具的重要性，积累了空间想象的经验，感悟到几何和算术的关联，发展几何直观与推理能力。】

3.算表面积，总结公式。

师：计算体积我们可以这样多角度地思考，那对于求表面积的问题，大家是不是也会有新思路呢？

（1）出示：请计算下图的表面积（含底面）。

方法一：

生：我发现图中相对的面的面积是一样的，所以表面积＝（5＋5＋3）×2＝26（cm2）。

师：相对的面积一样吗？我们来验证一下。

（课件演示该立体图形分别从上下、左右、前后方向观察得到的面）

师：这类图形的表面积该如何计算？

生：表面积＝（上面面积＋正面面积+侧面面积）×2。

师：看来，这样的图形，只要观察3个面的面积，就能求它的表面积了。有不一样的方法吗？

方法二：

生：我画了一个图——

师：这几列都只有1，那就选1；但第二列既有2又有1，为什么选2呢？

生：因为这个“2”的意思是正面看过去，这一列可以看到2个面，2个面就有2个面的面积。

师：原来这里的数字不是数字，是带着图形的信息的！（呈现立体图形，集体观看，确认从正面看到的几个面）

生：每一列最大的数代表每一列看到的面数。

师：请继续计算。

生：继续算侧面看到的面积。我从右边观察，能看到3个，分别是第一行最大的2和第二行的1。左边和右边一样。

生：和刚才一样，也要用最大的数。

师：谁能完整地再来说说这位同学的计算方法？

生：先算上面，即图像本身的正方形个数：5。再看正面，用每一列最大数相加：1+2+1+1=5。再看右面，同样逐列最大数相加：1+2=3。所以总的表面积是：（5+5+3）×2=26（cm2）。

师：比较这两种方法，你有什么想说的？

生：我觉得都很方便。

生：我看立体眼晕，看俯视图计算适合我。

生：对俯视图上的数字，有时要想一下对应的立体图形。不然容易选错。

（2）巩固练习。

出示：看图计算立体图形的表面积。

学生独立计算，交流校对：

【设计意图：面向全体学生先交流看立体原图计算的方法，明确前后、上下、左右面之间的关系，理解只要知道上、前、右3个面的面积就能计算图形的表面积。再交流“带数字的俯视图”计算表面积的方法，过程中教师适时追问“为什么选这个数字？”“数字表示什么意思？”在平面与立体之间，图形与数字之间来回穿梭、对照，确保算法是空间想象的实体化、概括化，空间想象是算法的源动力。】

三、回顾反思，总结提升

师：这节课你有什么收获吗？能给这节课取个课题吗？还有什么疑惑吗？

生：有“带数字的俯视图”，那有没有“带数字的正视图”，或者“带数字的侧视图”呢？

生：是不是所有“带数字的俯视图”都能用那个公式来计算表面积呢？

生：“带数字的俯视图”还能解决哪些问题呢？

出示下图：

师：问题提得很好！这里有一幅图，请仔细观察，然后同桌尝试，分别利用立体图像和俯视图示计算它的表面积，看看有什么特别的地方吗？

同桌合作——集体交流：

师：谁能来解释一下？

生：有的面凹进去了，有的面藏起来了。

师：谁能上来把他们说的“藏起来的面”指出来？

师：那你们有什么想补充说的吗？

生：看来我们刚才总结出计算表面积的公式有一定的局限性。

生：对于有缺口的图形问题，我们还得进一步研究。

生：俯视图上数字带的信息怎么才能完全体现立体图形的信息？

【设计意图：回顾整节课，聊聊收获，体现学生对本课的实际理解水平，同时，突出本课的重点，加深学生的学习印象。最后出示了一幅“有缺”的立体图形，引发学生认知冲突，课堂再掀高潮，培养学生思维的批判性和缜密性，也激励学生的问题意识和研究兴趣，将课堂学习延伸到课后。】