真问题引领 大空间探索——以《用字母表示数》教学为例

文|赵劲松

【课前思考】

本课是学生从算术领域向代数领域的第一次跨越，再次研究这节经典课例，源于两个方面的思考。

1.内容方面，这节课究竟要学什么？

从字母表示数的历史发展来看，最初表示的是单词的缩写，后来用字母表示未知数，而用字母表示概括性的任意数则是最后一个阶段才出现。课前调查了一部分学生：字母可以表示什么数？多数学生回答的是“未知数”，显然这一层意义是距离学生最近的。所以，笔者将本课的学习内容定为两个方面四个知识点：用字母表示数，这个“数”包括未知数和任意数；用字母式表示数量关系，也表示结果，这是学生比较难以理解的地方。

2.形式方面，学生需要怎样的学习？

苏教版教材例题的编排，例1和例2均是以几道算式为铺垫，再过渡到写出含有字母的式子。

笔者认为，这样编排有如下问题：其一，这种呈现方式与学生的表达习惯有冲突，学生更习惯于用“数”来表示量，这里算式的出现对他们来说是突兀的；其二，窄化了学生创造的空间，在一定程度上回避了其他可能出现的表示方法；其三，也不利于学生理解字母式也表示一个数。学生所需要的学习，不应该是这种填空式的学习。

从教学的方式来看，大多是教师精心设计好每一个细节，将教学内容逐步抛出来。比如这位教师的教学：

教师用小棒在黑板上摆三角形。

师：老师摆了——

生：1个三角形。

师：用了几根小棒？

生：用了3根小棒。

师：继续看，老师摆了——

生：2个三角形，用6根小棒。

师：6是怎么算出来的？

生：2×3=6。

师：我们继续摆。（边摆边让学生说出三角形的个数和计算小棒根数的算式，摆出4个三角形）

师：这样摆，你们觉得有意思吗？

生：没意思。因为你接下去就会摆第5个、第6个。

师：能摆完吗？

生：不能。

师：摆不完，怎么办？

生：用省略号。

师：（板书：……）同学们，一个省略号，就把所有没摆出来的情况都包括进去了。这就是把复杂的事情——

生：变简单。

师：这么一来，我想到了一个问题。

出示：摆（ ）个三角形用小棒的根数是（ ）×3。

师：你们觉得难吗？

生：不难。

师：说不难，有时也——（难），说难有时也——（不难）。动笔填一填吧，看看谁填得水平高。

学生填空，教师依次展示、交流四位学生的作业，其中第四位学生是用字母表示的。

这段教学配上教师精心设计的语言，让课堂显得很细腻，还有点哲理的味道。但从学生的角度来思考，有三个问题：一是学生根本就不知道这节课要学习的内容到底是什么；二是学生走的每一小步都是在教师的牵引之下，缺少学习的空间；第三，并不是每个学生都经历了用字母表示的过程，多数学生只是看到了最终的结果。

理想的课堂，应该让学生看见学习的全貌，全员经历学习的全过程，如此，学习才能够真实而深刻地发生。

综合上述分析，我将本课的教学目标定位如下：

1.经历探索用字母表示数的过程，了解用字母可以表示未知数和任意数，含有字母的式子可以表示结果和数量关系。

2.经历提出问题和解决问题的全过程，培养提问意识；感受数学的抽象性和概括性，发展符号意识。

【教学过程】

一、问题聚焦

师：这节课我们要学习的内容是《用字母表示数》（板书课题），见过吗？

生：我知道方程里有字母，代表未知数。

生：我知道运算律里面有字母，比如a+b=b+a。

生：周长、面积公式里有字母，比如S=a×b。

师：对今天的内容，还有好奇的地方吗？

生：怎样用字母表示数？

生：字母能表示什么数？

生：为什么用字母表示数？

生：用字母表示数有什么好处？

生：字母表示的数是固定的吗？

师：（表扬所有提出问题的学生）这些问题里，有没有可以合并的？

生：第3个和第4个可以合并，第2个和第5个也有联系。

二、素材研究

师：我们先来看这个问题，用字母能表示什么数呢？

生：能表示未知数。

师：你们都听过未知数吗？

生：听过，就是不知道的数。

师：怎样用字母表示未知数，此外字母还能表示什么数呢？老师给大家带来了三袋小棒（出示：第一个袋子是透明的，后两个袋子是不透明的），还带来一些小棒用来摆三角形（示范摆出3个）。下面我们利用这些素材，完成填空（出示《学习单》），同时思考黑板上的三个问题。

学生独立完成《学习单》，教师巡视，了解学生的答题情况。

三、对话释疑

1.小组交流。

师：接下来是小组交流的时间，由小组长安排发言的顺序，每个人都要讲一讲你填了什么，为什么这么填。发言要让别人听明白，同学发言后要有回应——同意、补充或质疑。

四人小组进行交流，教师参与小组活动，了解学生的想法。

2.全班交流。

活动一：我会做记录。

师：我们先来交流任务一，哪个小组代表来汇报你们的想法？

生：（边说边写）第一个袋子里能看到有4根，就写“4”，第二个袋子看不到有几根，就用字母x表示，第三个袋子里比第二个袋子里少3根，就用x-3来表示。

师：大家给他一些回应。

生：第一袋我们填的是一样的，第二袋和第三袋我写的都是s。

生：我填的第二袋有x根，第三袋有y根。

生：第二袋我写的是7，第三袋比第二袋少3根，就是4根。

师：有三位同学是用字母表示后两袋的数量，第四位同学用的是数字，你们有什么看法？

生：我不同意用数字表示后两袋的数量，你又看不见。第一袋可以用数字4表示，因为那个是已经知道的。

生：我也不同意用数字来表示后面两袋的根数。因为这是未知数，不能用数字来表示，所以要用字母来表示。

生：我想问一个问题，为什么能用字母表示数？

师：你问的是我们黑板上记录的第三个问题吗？

生：不是，我的意思是，未知数不能用数字表示，为什么就可以用字母表示？

生：因为字母是不固定的，没有说是几，所以可以用来表示未知数。

师：体会一下，有道理吗？我们换个角度思考，如果不用字母表示，还有其他表示方法吗？

生：我们以前曾经用图形来表示过不知道的数。

生：可以用“若干”来表示。

师：是的，其实字母和我们的汉字、图形一样，都是符号，这些符号本身并不表示某个确定的数，所以我们就用来表示这个不知道的未知数。相比较，你们喜欢哪一种，为什么？

生：字母，因为好写。

师：同样用字母表示，你能评价一下刚才三位同学的表示方法吗？

生：第二位同学两袋都用s不合适，因为两袋不同，如果都写s的话，就表示两袋同样多了。

生：我比较喜欢第三位同学的，两袋分别是x和y，简单，而且表示了不同的数。

生：我认为第一种表示最好，因为能一眼看出两袋的关系。

师：现在我们把图拿走，体会一下这两种记录：第二袋有x根，第三袋有y根；第二袋有x根，第三袋有（x-3）根。

生：还是后一种好，更清楚。

生：我总觉得不对劲，我们是要表示一个数，但这是一个式子啊？

师：对啊，x-3这个式子的结果是多少呢？

生：这个结果也是一个未知数，可以用y来表示。

生：那不如直接用y表示了！

师：其实，x-3不仅能表示出数量关系，这个式子本身也表示计算的结果，x-3的结果就是x-3。

活动二：我会举例子。

生：（边说边写）摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用6根小棒，小棒的数量永远是三角形数量的3倍，摆3个三角形用9根小棒。

师：为什么不写了？

生：太多了，都一样。

师：那就回答第二个问题，用一个例子把所有的例子都表示出来。

生：我写的是“摆1个三角形用3根小棒”。

师：其他同学有什么回应？

生：这个例子怎么能代表所有的例子呢？

生：因为都一样，我觉得这个可以作代表，其他的都是在这个基础上计算的。

生：那你这个没有把2个三角形表示出来啊。

师：这个例子能表示2个三角形吗？

生：不能。因为1是一个数，只能表示一个具体的例子。

生：可以改成字母。用a表示三角形个数，因为小棒根数是三角形个数的3倍，所以用a×3表示小棒的根数。

生：这样就相对应了。

生：因为三角形是未知数，所以个数用字母表示，三倍就再乘以3。

师：你们是在解释a×3表示小棒根数的合理性。那么，这个a把所有的情况都表示出来了吗？

生：都表示出来了。可以是1，也可以是2、3……

师：a×3把相应的情况也都表示出来了吗？

生：也表示出来了，a是1的时候，a×3是3；a是2的时候，a×3是6……

师：用一个模糊的字母，把所有具体的情况都表示出来了。刚才有同学说，这里表示的还是未知数，比较一下，这里的字母表示和刚才的一样吗？

生：第一个例子是一个字母代表一个数，第二个例子是一个字母代表很多数。

生：前面只表示一个数，后面表示无限种。

师：前面的看不见，是未知数，但我们知道它就表示一个固定的数；后面的就不表示某一个具体的数，所以，我们可以称它为任意数。当然，在这里也不是绝对的任意，比如它不可以是———

生：小数、分数、负数。

师：这里它应该是任意——

生：任意自然数。

师：刚才我们重点研究的是用字母可以表示哪些数。我们来梳理一下课前的问题。你还能回答哪些？

生：为什么用字母表示？因为不知道的、不具体的数用数字表示不了，可以用字母表示。

生：我知道用字母表示数，有的是固定的，有的是不固定的。

生：袋子里的小棒是固定的，后面是不固定的。

师：好不好奇袋子里有几根小棒？我们来看看第3袋吧。（打开袋子）

生：2根。

师：也就是x-3=2，那我们就知道了——

生：x是5。

师：所以，这里的x表示的是一个固定的数。

生：怎么用字母表示数？其中一个用字母表示后，另一个要根据关系来写式子。

师：真好，看来我们所学习的所有的数量关系，加减乘除，字母式都可以使用字母，把字母和数同等对待，进行列式就可以了。

师：对于a×3，还有要补充的吗？

生：可以在前面写3，后面写a。

（课件出示简写规则，学生阅读规则）

师：对照规则，我们来试着简写几道式子（略）。

四、拓展延伸

师：对这个简写规则，你有什么问题吗？

生：为什么要把数写在字母的前面？

生：为什么要把乘号写成一个点或省略？

生：我发现简写只是针对含有字母的乘法，为什么呢？

生：2个a相乘，为什么要把2写小一点放在右上角？

师：大家提的问题都很棒！学习规则，不仅要会用，还要知道制定规则的理由。这些问题就留给大家课后研究。

【课后思考】

《用字母表示数》是一节经典课，有过很多经典的案例，之所以重新研究这节课，源于我们教学观念的改变——从关注知识，到关注学生。

首先，我希望能给学生提问的机会，进而让学生有提问的意识。提问，意味着思考，意味着明确知道了学习的对象，而对提问的梳理则意味着清晰了学习的方向，看见了学习的全貌。

用字母表示什么数？怎么用字母表示数？为什么用字母表示数？这三个问题在我的预设之内，而课堂上学生追问的“字母怎么就能用来表示未知数”，这是我预料之外的“真问题”，它指向的是人类认知并运用字母表示数的发端：字母与汉字或其他的文字一样，就是一个符号而已。但是今天的字母所指代的不是抽象的量，而是一个具体的数，就是第二袋中的小棒根数，这实际上就是数学史上对字母表示数的第二阶段认识。所以，学生的这个问题很真实，很有价值，因为这是一个跨阶段的认识。

课堂中设计的两个学习活动分别指向了未知数与任意数，而学生对未知数与任意数的混淆是这节课体现出的另一个真问题。在学生的认知里，字母表示的都是未知数，很正常，因为这又是一次认知的跨越。历经数代的发展之后，字母才用来概括地表达任意数。

第三个活动是规则的学习，对于规则，不仅要理解和掌握，还应该有着对规则的追问：为什么制定这样的规则？学生正是在一次次提问中，实现了对所学内容的深刻理解。

其次，我希望能给学生一个全员经历学习全过程的机会。

学习真正的发生一定是建立在“自主建构”的基础上。如何自主建构？“大空间”探索便是很好的路径。这里的大空间是指学习的自主、自足和自由。为此，在这节课上，我构建了学习时间的长度，给学生4分钟的自学时间和6分钟的小组对话时间，让学生经历完整的解决问题的过程，并进行充分的表达与交流；构建了学习空间任务的宽度，一次性把学习任务呈现在学生面前，尝试解决；构建了学习空间的纯净度，以尽可能少的提示，给学生充分地思维的自由。

最后，我希望课堂的底色是真实的，不掩饰、不粉饰。教师是真实的，不担心提前剧透，敢于让学生说出自己已经知道的；尊重学生的问题，敢于将学生的困惑呈现在课堂上进行讨论。学生是真实的，敢于发表自己真实的想法，哪怕和其他同学都不一样；敢于提出自己真正的困惑，哪怕答案已经呈现。没有真实，提问将失去价值，也必将失去深度的问题和真正的探索。