学生的数学现实，我们读懂了吗？——兼评《角的初步认识》一课

文|张绍华 张冬梅（特级教师）

荷兰数学教育家弗赖登塔尔有一个重要的基本观点：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定的客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、运算方法、运算规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”。数学教育的任务就在于，随着学生所接触的客观世界的广泛程度，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际拥有的“数学现实”采取相应的方法予以丰富、扩展，从而使学生逐步提高所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围。

因此，我们在教学中，首先要洞悉学生个体的“数学现实”，并为学生制定“适合他的”将要达到的“数学现实”，当然，从已有“数学现实”到将要达到的“数学现实”，学生需要经历量身定制的数学活动。

“角的认识”是小学数学“图形与几何”领域中的重要知识，由于它高度的抽象性，增加了学生学习的难度。如角的概念、角的大小以及后面相关的角的度量，都是学生的学习难点。那么，关于“角”，学生的数学现实究竟是怎样的？我们应当确定的学生将要达到的数学现实是什么？更重要的是，开展怎样的数学活动可以帮助学生达到新的数学现实？肖畅老师的《以数学实验促概念理解》（简称设计一）和张文宜老师的《基于学生经验的概念教学》（简称设计二）为我们带来了许多启发与思考。

一、学生的数学现实中存在的问题

首先，两位教师为了读懂学生的数学现实，下足了功夫。学生关于“角”的数学现实，我们可以从三个常见现象看起：

现象一：指角的时候，往往只是指角的顶点，而不是角本身。

现象二：找角的时候，会认为弯弯的桌角、墙角等都是角。

现象三：认为角1比角2大，即使使用过活动角，也口口声声说角的大小与两条边张开的程度有关，但还是会有学生认为角1比角2大。

角1

角2

所谓读懂学生的数学现实，不仅仅是能够预测到学生会出现的各种问题，更重要的是为这些“问题”寻求“合理的解释”，即学生为什么会出现这些问题。

1.概念本质模糊。

前两个现象都与角的概念有关，现象一是概念表征出了问题。没有学生会说一个点就是一个角，但在实物上指角的时候，他们却只是指出了角的一部分——顶点。实物模型表征中，学生会忽视角的构成，但如果用图像表征，学生就会关照角的所有构成：顶点和两条边。

现象二是概念外延出了问题，在生活中，人们对于角的定义不同于数学中的角。我们有“牛角”“桌角”“角落”……这些外延的混入，导致学生对角抽象出错误的本质属性：有拐弯处或是聚拢趋向的都是角。

2.概念指向混淆。

现象三中，当学生说角1比角2大时，指向的不是两条边张开的程度，而是他们人为构造出的两个三角形或是扇形的面积大小。这个不难理解，特别是低年级的学生，他们平时所说的大小，通常都指向物体表面或平面图形的面积。

同样，当学生一边操作手中的活动角，一边说角的两边越张开，角就越大时，很可能这里的“角越大”指的是由于角的两边张开导致活动边扫过的“面积越大”，而并非两条边张开的程度。

也就是说，关于角的大小，有的学生指向的根本不是角的大小本身，而是他们在角的基础上构造出的面积大小，概念的指向错了，结果当然会错。

二、如何读懂学生的数学现实

当教师真正读懂了学生，就会有恰当的引导和帮助：肖老师侧重于构建良好的数学实验环境，让学生在充分、有效的数学实验活动中建立概念；张老师则侧重于用好学生的已有经验，让学生在不断的冲突、反思中修正概念。具体表现在以下几个方面。

1.关于角的定义。

（1）角不是一个点。

针对学生把角表征为顶点这一现象，设计一通过实验示范、操作达到修正的目的。在教学中，肖老师邀请一组同桌做实验示范：让学生亲自“摸摸这个角”，学生一定会说“尖尖的”。如果学生没有注意到边，教师也可以接过话“真的吗？我也来摸一摸”，然后很认真地一边摸一边说“嗯，这里尖尖的，两边直直的。”这样的语言和动作都在向学生传递一个信息：角不仅有顶点，还包括两条边。接下来学生在充分“摸一摸”“说一说”的过程中明晰了角的构成。

设计二则是通过表征转换引导学生修正概念。当学生指着角的顶点说“这是角”时，张老师说“好，我把它描下来。”当学生看到黑板上只留下了一个点，就会突然意识到，自己刚刚指的只是一个点，必须再有两条边，才是一个完整的角。学生在三角尺上指角，是实物模型表征，因为有实物“衬着”，学生意识不到自己的问题，当教师把这个“角”用图像表征在黑板上，并撤离了实物，学生便能清楚地看到“这只是一个点”。将学生的实物模型表征转换为图形表征，再用图形表征促使学生主动修正实物模型表征。

（2）“数学角”不等同于“生活角”。

学生的生活经验一定是先于数学经验的，他们收集了各种生活中的“角”，这些“角”有的也许不是数学意义上的角。如何帮助学生将“数学角”从“生活角”中剥离出来呢？两位教师都是让学生经历了收集各种正例的刺激模式（感知材料）→抽象出这些刺激模式的共同本质特征（形成概念）→用形成的概念辨析复杂的材料（运用概念）的过程。

可以看到，教师先让学生在提供的材料中描下各种角，因为是教师提供的材料，都是正例的刺激模式，避免了许多非本质属性的干扰。一句“它们有什么共同点吗？”引发了学生对角的本质属性的关注，他们发现这些图形“都有一个尖尖的点，两条直直的边”，从而初步建立了角的概念。接下来，让学生运用概念进行判断，先是判断图形，并且让学生说说“这个图形为什么不是角”，当学生说“它没有尖尖的顶点”“边不是直的”，就是在强化“角要有尖尖的点，两条直直的边”；然后是判断生活中的角，设计一中，肖老师还特别呈现了“墙角”组织学生辨析。学生每辨析一次，就是在运用一次，也是在强化一次角的概念，逐步将认知结构中的新旧概念分化，即“数学角”与“生活角”的剥离。

（3）关照定义的层级性。

从数学教学系统看，角的定义的呈现是有层级性的：

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由于受二年级学生的认知特点及已有知识的限制，只能从角的构成来定义“角”。两位教师都考虑到了学生认知的“直观性”特质：学生在生活中所看到的角多为平面图形的一部分，而非独立存在的。所以设计一中，让学生“找一找：你能从材料袋里的哪些物体面上找到角呢？用手中的框去框出找到的角”。设计二中，则是“（在白板上遮住三角形的一部分）现在你看到的是什么图形呢？”都是让学生从熟悉的材料中聚焦于对角的关注，给学生的学习提供了充分的经验支持。

但两位教师的定位又不仅限于眼前。我们来看几处细节：设计一中，“我先把刚才摸的尖尖的点画出来。再描两条直直的线，这个角就描好了。”设计二中，“教师示范：从点出发，摸向两条边”。这是在为四年级上学期教学“从一点引出的两条射线可以组成角”做渗透，学生在后面多次“摸”“描”的过程中，感知到角的形成过程。再比如，这两节课中，教师都提供了活动角、钟面（指针可以转动的）等学习材料，学生在动手操作过程中也能隐隐觉察到，边的旋转可以带来角的大小变化，可以形成不同的角，为后面“角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形”概念的形成积累数学经验。

2.关于角的大小。

（1）充分用好“角符号”。

角符号在许多教学中是被忽视的，被认为仅仅是个符号而已。一个小小的弧线直接指向了角的定义以及角大小的定义。如果我们把画角符号的过程用慢镜头记录下来，它是对“角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形”最简洁的描述；同时也是对角大小的最有力的印证。

两位教师第一次向学生呈现角符号时，都是隆重而认真地，一边用红笔画，一边介绍“我们还有专门的记号表示角”；学生判断角时，教师也提出：是角的就像这样用符号标出，这是在让学生用操作来强化角符号的内涵；到了最后，也是借助角符号帮助学生突破“角的大小与两边张开的程度有关”这一难点的：设计一中，角的边“变长了”，可是角符号纹丝不动，说明角的大小没有随着边的长短而变化；设计二中，学生清楚地看到，蓝色角比红色角的角符号还要“再多画些”，可见它比红色角大，虽然它的边“短些”。

（2）环环相扣，实现进阶。

针对学生误将角的大小理解为面的大小这一现实，两位教师设计了多个环节，逐步瓦解学生的错误认知，让学生真正理解角大小的内涵，实现思维的进阶。

环节一：比较两个角的大小。在这个环节中，特别强调：顶点对齐，一条边对齐，比什么？比剩下的另一条边，哪个角“在外面”（张开得更大些），哪个角就大。

环节二：把一个角变大（变小）。学生在“变”的过程中体会到，就是要把角的边再张开些或是合拢些。

这两个环节的目的是从正面让学生认识到，角的大小与两边张开的程度有关。（但并不代表学生就真的认识到了，因为前文已分析过，此时学生很可能认为边张开了，面也就大了，所以角就大了）

环节三：帮助学生彻底撇清角大小与边的长短之间的关系。设计一中的魔术，学生看到角的边在“伸长”，可是两条边张开的度像是被角符号“粘住”似的，没有任何变化。设计二中，学生一开始的“不统一意见”就已激发了思考的冲动，当课件演示将两个角的点、边重合，教师的一句“接下来到底比什么”以及角符号的描画过程都强有力地将学生对面积的关注聚焦到“两边张开的程度”上。

总之，读懂学生的数学现实，是数学教学的起点。感谢两位教师为我们提供了丰富的实践经验。