基于学情，重构教材，打造有增量的“生长课”——《搭配（二）》磨课实践与反思

文|徐莹蓉 张连凤

俞正强老师将课分成“种子课”与“生长课”，提倡“种子课”要“莳也若子”，“生长课”要“置也若弃”。《搭配（二）》是一堂基于《搭配（一）》的“生长课”。“生长课”要让学生学有所获，必须精准定位学生的认知起点，了解学情、优化教材！

一、困惑的产生

（一）课堂扫描。

最初，笔者抱着“照搬教材例题”的错误观点，从教材中选取并改编了4个排列问题，供学生探究。这4道问题分别来自于教材例1原题、教材“练习二十二”第2题原题，以及第3题的简化改编题和原题，具体内容如下：

1.用0、1、3、5能组成多少个没有重复数字的两位数？

2.2、5、7、9能组成多少个个位是单数的两位数？

3.4个分类垃圾桶（有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾）摆成一排，“其他垃圾”放在最右边，这样的摆法一共有多少种？

4.4个分类垃圾桶（有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾）摆成一排，“其他垃圾”不能放在最左边，这样的摆法一共有多少种？

这4道题反馈前的正确率分别为80.49%、58.54%、90.24%和60.98%；反馈后的正确率分别为90.24%、85.37%、97.56%和78.05%。

（二）效果评估与成因分析。

总的来说，除了第4题，学生的探究过程较为轻松，积极性不高，而且课后作业正确率低。

1.学习增量小。

反馈前后，学生关于第1题的正确率增量不大。因为早在二年级的《数学作业本》中，学生已遇到过从含有0的3个数字中选2个数字的问题。第1题也是聚焦于排列问题中对于0的处理，所以不适合作为本课起点。

2.考查重点偏。

第2题，学生获得了明显的学习增量，但进步的原因是对“个位是单数”这句话有更准确和清晰的理解。但提升审题能力不适合作为本课重点。

3.难度梯度不合理。

直接从第1、2题的从4个数字中选2个数字的题型，飞跃到第3、4题的从4个元素中选m个元素的题型，难度跨度过大。第4题是从4个元素中选4个元素的题型，由于缺少铺垫，思维挑战过大，虽耗时10多分钟，但收效甚微。

4.与课后作业脱节。

学生的课后作业正确率较低，原因是课堂与课后的习题类型严重脱节。《数学作业本》以从n个元素中选3个元素的为重，与教材例题不太相符。

二、困惑的破解

（一）全面思考，定位目标。

1.看“历史”。

《搭配（二）》是以二年级上册的《搭配（一）》为基础的“生长课”。

两课的例题都是在求“取出2个数”的排列数，并体现有序思考、分类讨论、符号化的数学思想；但《搭配（二）》的例题是元素个数更多（4个），且有一定限制条件（有数字0）的排列问题。

2.看单元。

人教版小学数学三年级下册第八单元《数学广角》，共有3道例题。与其他例题比较，例1为求排列数问题，更强调关于元素位置的有序思考。

3.看习题。

教材中共有8道排列问题，数字题与情境题并重，从n个元素中选2个元素的最多。另外是4个元素的排列问题。而汇总《数学作业本》以及《课时特训》的28道排列问题，情境题比数字题多。从n个元素中选3个元素最多，占了一半；然后是从n个元素中选4个元素。可见，教材与教辅对问题的处理方式差异较大。

4.小结。

有序思考和分类讨论依然重要。更重要的是考虑并协调教材和教辅之间的差异，并精准定位本课的起点。

（二）前测：把握学情。

为了精准定位学生起点，笔者从教材、《数学作业本》《课时作业本》以及《专项卷》的经典习题中选取了较典型的8道题，并根据每道题获得的124个样本数据进行分析思考。

1.前测题内容与类型。

（1）无限制条件的排列问题。

①用1、3、5能组成哪些没有重复数字的两位数？

②用1、3、5能组成哪些没有重复数字的三位数？

③用1、3、5、7能组成哪些没有重复数字的两位数？

④用1、3、5、7能组成哪些没有重复数字的三位数？

（2）有限制条件的排列问题。

⑤用1、3、5、0能组成哪些没有重复数字的两位数？

⑥用2、1、3、5能组成多少个个位是单数的两位数？

⑦用1、2、3、4能组成哪些个位是3的四位数？

⑧用1、2、3、4能组成哪些3不在千位的四位数？

2.样本数据分析。

（1）旧知掌握程度高。

①②题的正确率为91%和87%。其中有序搭配的占了83%和87%。因此无需复习导入。

（2）例题挑战性不足。

③⑤题的正确率分别为81%和79%，87%和80%的学生做到有序排列。可见，有数字0的从4个数字中选2个数字问题挑战性不大，不适合作为本课的重点。

（3）有限制也不难。

⑥⑦题分别是个位是单数的从4个数字中选2个数字和某数一定要在某数位的从4个数字中选4个数字问题。⑥题的正确率为36%，48%的学生能做到有序排列。错因多是没有理解题意就下笔。2%的学生选择了更简便的个位固定法。⑦题的正确率是89%，90%的学生能做到有序排列。当从4个数字中选4个数字问题中固定了3的位置后，就相当于3个元素排列。可见，有条件的排列也不一定是思维难点。

（4）元素多则难有序。

⑧题的正确率为62%。只有5%的学生具有较强的分类意识和灵活处理问题的能力，能把3分别在百、十、个位分类考虑。但是大部分学生，虽然在千位固定做得很严谨，在百位进行第二次固定时则乱了套。④题的正确率为34%。但是做错的学生中有76%的学生做到了百位固定，大部分学生都错在未对十位进行二次固定。可见，“二次固定”才是学生的思维难点。

前测显示，“二次固定”才是学生的思维难点，需要放在课内共同学习解决。而4元素的排列问题难度太大，需要3元素排列问题做铺垫，而从4个元素中选3个元素问题因出现次数较少，可以不放入课堂。

（三）教学调整：适切实施。

1.重设重难点。

重设重点：根据条件有序排列。

重设难点：让学生掌握“二次固定”法来解决3～4个元素的排列问题，也让学生学会把情境问题转化为数字问题，渗透符号化思想。

2.调整例题类型。

笔者计划本课解决如下6个问题，最后一题根据课堂进度取舍。

（1）导入阶段的例题调整。

①用1、3、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？（4分钟）

此题用于复习“一次固定”方法。

（2）探究新知例题的调整。

②用1、2、3、5可以组成多少个没有重复数字的四位数？（10分钟）

③用0、1、3、5可以组成多少个没有重复数字的四位数？（6分钟）

通过反馈、对比学生的课堂作业，②题让学生理解到：当元素个数比较多时，需要使用“二次固定”，才能做到不重不漏。此次正确率比上次提高了40%，增量非常明显，可作为本课重难点的载体。③题一是为了巩固二次固定的思考方式，二是为了让学生探究如何处理数字0。

（3）变式与提高例题的调整。

④唐僧师徒4人坐在椅子上，如果唐僧的位置不变，其他人可以任意换位置，最多有多少种坐法？（3分钟）

⑤4个分类垃圾桶摆成一排，其中，“其他垃圾”桶不能摆在最左边，这样的摆法一共有多少种？（6分钟）

⑥把5块巧克力分给小丽、小明、小红，每人至少分1块，有多少种分法？（9分钟）

这3道题都是情境题，重点培养学生转化和符号化的意识。

④题可转化为固定十位的从4个数字中选3个数字数字题；⑤题中不能放在最左边的“其他垃圾”桶可以看成数字0，从而⑤题可转化成含有数字0的从4个数字中选3个数字数字题；⑥题是小朋友们分巧克力的问题，是一道多解法情境化的排列问题。学生可以直接用首位固定法解决；也可以先分类成（1，1，3）和（1，2，2）两种情况，再用首位固定法解决。

3.调整学习方式。

“二磨”时，课堂习题采用同桌合作学习与独立学习两者相结合的学习方式，并设计了《合作学习单》与《独立学习单》。

《合作学习单》上的题目为题①②和⑥；《独立学习单》上的题目为③④和⑤。

4.及时总结与板书。

在作为复习导入的第①题和突破本课重难点的第②题反馈结束后，都需要分别提炼方法并用板书展示，以升华认知。可以用填空的方式降低学生的表达难度。

三、结语

对于《搭配（二）》这样的“生长课”，学情至关重要。根据学情来重构教材，并匹配合理的探究活动，才是学生踮起脚尖能够到的“桃子”。自主探究与合作学习相结合，才能促使学生都参与到思考中来。

基于学情，重构教材，打造有增量的“生长课”。这样的“生长课”让教师思考多多，学生也收获满满。

（本文为“第十四届全国小学教学特色设计论文大赛”获奖作品）