立足整体，凸显转化思想

摘 要：《三角形的面积》一课，在图形面积计算教学中起着“承上启下”的重要作用。教学时应立足整体，有意识地将长方形、正方形、平行四边形、三角形以及未来将要学习的图形面积计算联系起来，以转化思想为核心，深化学生对图形面积计算的认识，发展学生的空间观念和推理意识。

关键词：《三角形的面积》；整体视角；转化思想

【教学内容】

苏教版小学数学五年级上册第9—10页。

【课前思考】

《三角形的面积》是在学生掌握了长方形、正方形、平行四边形面积计算公式以及三角形特征的基础上学习的。纵观《多边形的面积》单元，《三角形的面积》一课在其中起着“承上启下”的作用——“上承”平行四边形面积计算公式推导中所使用的转化思想，学生需再次经历将新的图形转化成熟悉的图形并计算面积的过程；“下启”其他图形的面积计算公式推导过程，学生需经历多样化的转化过程，领悟其中的数学思想。

图形的面积计算公式在平面图形面积知识体系中并非零散而孤立的，转化思想是沟通彼此的桥梁。因此，教学《三角形的面积》应立足整体，渗透多边形面积计算的一般方法和数学思想，引导学生以整体视角去思考平面图形的面积计算方法，将已经学过的长方形、正方形、平行四边形和正在学习的三角形以及未来将要学习的梯形、圆等平面图形的面积计算公式看作一个整体，完善认知结构，发展空间观念和推理意识。

【教学目标】

1.经历三角形面积计算公式的推导过程，能正确计算三角形的面积。

2.经历观察、猜想、分析、比较、推理等数学活动，体会转化思想，初步发展空间观念和推理意识。

3.经历合作探索三角形面积计算公式的过程，获得积极的学习体验，增强学习的兴趣和信心。

【教学过程】

一、回顾引入，唤醒转化意识

师：我们已经学习了哪些平面图形的面积计算公式？

师：长方形和正方形是特殊的平行四边形，它们的面积计算可以用一个统一的公式表示吗？

师：（板书：S=ah）还记得我们是怎么推导出平行四边形面积计算公式的吗？

师：（出示动态转化过程）在平行四边形面积计算公式的推导过程中，我们用到了一种非常重要的数学思想——转化，把平行四边形的面积转化为长方形来计算。

[设计意图：平行四边形面积计算公式的推导过程为学生研究三角形面积计算公式积累了重要经验。因此，课始引导学生回顾将平行四边形转化成长方形的过程，梳理原图形和转化后图形的各部分关系，唤醒转化意识，理解转化的内涵，为之后推导三角形面积计算公式提供思维和方法的支持。]

二、主动探究，理解和运用转化思想

（一）观察猜想

师：有了这些宝贵的经验，我们可以继续探究其他图形的面积计算公式。今天，我们就一起来研究三角形的面积。

师：（出示图1）观察这个三角形，其内部的虚线格边长为1cm，你能想办法求出它的面积吗？

师：结合我们之前的经验，是否也可以把三角形转化成已知的图形来求面积？

师：想一想，三角形可以转化成什么已知的图形？怎样转化？

学生各抒己见，猜想把三角形转化成长方形或平行四边形的方式。

师：大家的想法都很不错。我们到底能不能成功地将三角形转化成长方形或平行四边形呢？转化后的图形和原三角形又有着怎样的关系？这些问题需要我们进一步操作探究。

[设计意图：学生通过观察和猜想等方法来求三角形的面积，有的学生会想到“数格子”，但由于这里的格子并不都是整格或半格，不能十分准确地求出三角形的面积，学生自然会结合转化经验，思考“如何把三角形转化成已知的图形求面积”，并产生多种转化的思路和方案，为接下来的探究提供方向和依据。]

（二）探索多样化的剪拼方法

师：请大家同桌合作，借助学具进行剪拼，也可以直接在空白处画一画示意图进行探究。（出示图2）操作后完成这张探究单。

学生合作探究，自主思考，记录想法。

师：（出示用两个三角形拼成平行四边形的探究单）你把三角形转化成了什么图形？原来的三角形和转化后的图形有什么联系？

师：我们从中得出结论，“三角形的面积=底×高÷2”。

师：用两个完全相同的三角形拼平行四边形有几种方法？（学生回答后出示图3）将两个相同的三角形拼成三种平行四边形，拼法不同，平行四边形的底和高变化了，得到的结论有变化吗？为什么？

师：底变化了，对应的高也变化了。三角形有三组对应的底和高，三角形的面积也就可以有三种算法。看来，在计算三角形的面积时要注意选择对应的底和高。

师：我们用了两个完全相同的锐角三角形进行了探究，是不是只有锐角三角形才能拼成平行四边形？

师：用两个完全相同的三角形除了可以拼成平行四边形（长方形），还可以拼成什么图形？

师：拼成这些形状对解决我们今天的问题有帮助吗？

师：在转化时，我们要明确方向，将未知的转化成已知的，将陌生的转化成熟悉的。

[设计意图：笔者课前了解到，学生具有“两个完全相同的三角形可以拼成平行四边形（长方形）”的认知基础，并可以从一种三角形推广到任意三角形。因此，本节课将教学重点放在了对“两个完全相同的三角形拼三种不同的平行四边形”的思考上，引发学生对三角形“三组对应的底和高”的关注。为了让学生能关注到这种不同并拼出不同的平行四边形，图1三角形的三条边为三种不同的颜色。]

师：（出示用两个三角形剪拼成长方形的探究单）说说你们的探究思考，剪拼的过程中要注意什么？

师：（出示图4）这种方法和用两个三角形拼成平行四边形有什么相同的地方？有什么不同呢？

师：之前，我们探究了把两个完全相同的三角形转化成平行四边形或长方形，只用一个三角形可以转化成我们熟悉的图形吗？（出示用一个三角形剪拼成平行四边形或长方形的探究单）能说说转化后的平行四边形和原三角形的关系吗？

师：（出示图5）从中我们可以得出：三角形的面积=底×（高÷2）。

师：还有不同的方法吗？（出示图6）根据这种方法，我们可以得出结论：三角形的面积=（底÷2）×高。

[设计意图：三角形内部印有格子线，给学生提供思路的同时，也方便了学生的剪拼活动（可以沿着线剪开）。在用一个三角形剪拼平行四边形时，学生得出的结论往往和图形的摆放位置有关。因此，要在多样化的生成中关注方法的典型性。最后一种方法（图6）学生较难想到，教师可相机在前一种剪拼方法（图5）反馈后，直接出示图6，引导学生思考这种方法（图6）的合理性。]

（三）比较概括

师：我们通过把三角形转化成平行四边形或长方形，探究发现三角形的面积的确和它的底和高有关，并且通过不同的方法，得到了一些结论。

出示：（1）三角形的面积=底×高÷2；（2）三角形的面积=（底÷2）×高；（3）三角形的面积=底×（高÷2）。

师：观察比较这三个结论，你有什么发现？

师：这里的三个公式从算法上看，是可以互相转化的，它们的本质是相同的。我们可以用一个算式来表示三角形的面积计算公式——三角形的面积=底×高÷2，如果用字母来表示就是S=ah÷2。

师：同学们，刚才我们通过操作有了什么重要的发现？我们是怎么发现的？

[设计意图：通过不同的转化操作，学生得到了看似不同的结论，但这只是形式上的不同，在比较、推理后，学生就能够清楚地发现三个公式的共通点，并用一个公式概括出来。在此过程中，学生丰富了对“÷2”的认识，强化了对“÷2”的本质的体验，能在解决实际问题的过程中有效减少漏掉“÷2”的情况。]

（四）课外延伸

师：我国古代数学名著《九章算术》中记载了一些常见图形的面积计算方法。著名数学家刘徽在注文中还用“以盈补虚”的方法加以说明。（出示教材“你知道吗？”）如果用这个方法转化三角形，你能想象出转化后的图形吗？（课件动态演示，如图7）同学们，你能看出这是把三角形转化成了什么图形吗？原三角形和转化后的图形又有什么关系呢？

[设计意图：引入《九章算术》中图形面积计算方法，可以加深学生对数学文化的感悟，拓展思维，增强民族自信心与自豪感。教学时出示相关的动态演示，可以帮助学生直观理解转化后图形与原三角形的关系，再次体会推导方法的多样性，加深学生对转化思想的理解和运用。]

三、联结沟通，丰富转化经验

师：（出示图8）已知这两个平行四边形底是6cm，高4cm，你能算出阴影部分的面积吗？

师：这两个三角形的面积和平行四边形有什么关系？

师：等底等高的三角形和平行四边形面积有什么关系？（出示图9）除了从面积公式得出结论，你能从图9看出来吗？

师：（出示图10）你能用刚才得出的结论计算阴影三角形的面积吗？

师：老师给大家准备了一张方格纸，每个方格的边长为1cm，你能在上面再画几个面积是12cm2的三角形吗？说说你们是怎么画的。

学生交流画法后，教师出示图11。

师：等底等高的三角形，可能形状不同，但面积都相同。

师：（出示图12）这是刚才一位同学画的三角形，现在我把它的底缩短2cm，再把上方的顶点“打开”，“张开”2cm，三角形变成了什么图形？

师：梯形和三角形之间也是有联系的，梯形的面积又会和什么有关？计算公式是什么呢？大胆地猜一猜，我们下节课继续探究。

[设计意图：练习部分，笔者用联系的观点将知识进行了结构化处理。一是将“三角形的面积是和它等底等高的平行四边形的面积的一半”从操作活动中单独抽离出来，使之不仅成为三角形面积计算公式的推导过程，也成为学生可以直接运用的经验规律；二是让学生在画三角形的活动中，进一步体会三角形底和高的对应，并直观地将等底等高的三角形与平行四边形建立联系，引导学生发现等底等高的三角形的形状可能不同，但面积都相等；三是沟通图形的面积计算，延伸转化思想，发展学生的模型意识，为学生的未来学习埋下继续探究的种子。]

（金怡婷，江苏省吴江经济技术开发区江陵实验小学教育集团，邮编：215217）