大问题、“再认识”与大观念

摘 要：无论是数学课程改革的深入发展，或是日常的数学教学活动，都应很好地发挥问题的引领作用。由此引向做好数学教学的两个关键：“再认识”与大观念的渗透和指导。“再认识”即数学的认识大多应有不断深化和优化的过程，应贯穿全部的数学教学活动；大观念则对学生的深度学习具有重要影响，应在教学中予以渗透。

关键词：大问题；大观念；课程改革；再认识；字母的引入

一、从数学课程标准的修订，看问题意识的重要性

就数学教育的新近发展而言，最重要的一件事，显然是经过再次修订的数学课程标准，即《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022版课标》）的颁发与实施。以下是苏明强教授关于这一工作的简要总结：“‘四基和‘四能保持不变，体现了课程标准的继承，核心素养贯穿课程标准的始终，体现了课程标准的发展。”修订工作强调继承与发展当然没错，这很好地体现了相关人士的“目标意识”。但是，如果我们既未对先前的工作作出认真的总结与反思，特别是未弄清存在的问题与不足并有针对性地作出更深入的研究和改进，而只是不加分析地全盘继承，又未能很好地弄清我们为什么应以核心素养作为修订工作的主要指导思想，而只是满足于新旧思想的简单组合，乃至词语的简单转换，如将先前的核心概念直接改为核心素养，并满足于“三会”这样一个新概念的创造，实质上仍然局限于已有的概念框架，更未能从理论角度作出深入分析和审视，那么，所说的“继承和发展”显然就不能被看成真正的进步。而且如果我们认定经过这样的加工就可构建起一个“以‘三会为核心，层层递进的课程目标”，一个“基于核心素养的数学课程目标体系”，这就会产生很大的疑问了。

例如，我们应当认真思考的一个问题是：“四基”中所谓的基本活动经验是否对于数学学习具有特别的重要性，乃至其是否与数学基础知识、数学基本技能、基本数学思想具有同样的重要性？再者，我们应如何去看待“数学的眼光”“数学的语言”与“数学的思维”之间的重要联系，乃至将三者看成数学教育的终极目标，也即是否所有学生，不管他们将来会从事什么工作，都应很好地做到所说的“三会”？

就总体而言，这清楚地表明了增强问题意识的重要性，特别是，我们应通过对已有工作的总结和反思发现存在的问题与不足之处，并有针对性地开展研究，积极地进行教学实践，才能取得真正的进步。我们在此还应特别关注数学教育的各个大问题。例如，除去已提及的数学教育目标，我们显然也应高度重视课程内容的取舍与安排。以下就从后一角度对数学课程标准的修订工作作出进一步的分析评论。

具体地说，《2022版课标》的一个重要变化，是将原来归属于小学数学的负数（负数只出现在第三学段 “综合与实践” 的一个主题活动中）和方程等内容重新移回了初中。就现实而言，初中生的课业负担应当比小学生重得多，在这种情况下，我们又将负数等内容重新移回初中，这岂不进一步加重了中学生的课业负担！

当然，面对上述质疑，我们或许可以提出这样一个辩护：这些内容原本就属于中学，现从中学“下放”到了小学，只是作为新一轮数学课程改革的一个具体措施。但在笔者看来，这也就更清楚地表明了对相关做法的合理性作出深入分析的重要性。因为，我们在这方面已经历了多次反复：只要一讲改革，就会将负数、方程等内容下放到小学，并声称这是“数学教育现代化的必然要求”；然而，随着时间的推移，特别是课程改革的起伏，又往往出现相反的变化……当然，将负数、方程等内容移回初中不应被看成纯粹的“倒退”。但是，除去简单地作出决定以外，我们显然还应清楚地说明作出这一决定的原因，特别是说明，所说的“下放”与“回归”究竟各有什么优点与不足，什么又是我们在当前作出再次“回归”这一决定的主要原因。应当强调的是，这不仅直接关系到广大一线教师在课程改革中的主体地位，即能否摆脱“无奈地接受”这样一种完全被动的状态，而且与我们能否彻底改变这样一个长期存在的弊病密切相关，即我们如何能够有效地防止与纠正课程改革中常见的“钟摆现象”，这样来回摇摆而不知所以，会让我们不断重复过去的错误，却看不到真正的进步！

在此还可对课程内容的组织方式作简要分析，弄清我们究竟应对代数（算术）和几何的相关内容采取混合编排，还是单独编排的方式。当然，更广义地说，这还涉及“统计与概率”和“综合与实践”的相关内容。

具体地说，尽管《2022版课标》在这方面没有作出很大变动，而是沿用了新一轮课程改革以来一直采用的混合编排的方式，但由于事实上存在两种不同的编排方式，即所谓的“合”或“分”，因此，为了切实提高自身在这一方面的自觉性，我们显然也应深入地去思考现在所采取的方式究竟有什么优点，又有什么局限性或不足之处。

由此我们还可清楚地认识到：课程标准的实施不应唯一地采取“由上至下”的运作模式，特别是，不应要求一线教师无条件地接受，乃至不培训、不实施，恰恰相反，我们应当更加尊重教师在课程改革中的主体地位，从而在培训中对课程标准修订作出介绍的同时，就不仅应当清楚地说明相关做法的依据，也应坦率地指明存在的问题与可能的局限性，还应通过提出适当的问题促使广大教师密切联系自己的教学实践，积极地开展研究，这样不仅能对课程标准的进一步修订及相关理论思想的检验发挥积极的作用，也能更有效地促进教师的专业成长。

上面的主张显然在很多方面也是同样适用的。例如，除“强调发挥情境设计与问题提出对学生主动参与教学活动的促进作用，使学生在活动中逐步发展核心素养”外，我们也应认真思考“情境设计”是否也有一定的局限性，在教学中应如何防止与克服，或者说，应当如何更好地处理“情境设计”与“去情境”之间的关系？再则，我们在当前应当特别重视这样一个问题，即如何处理“做数学”与“学数学（特别是，促进学生思维发展）”之间的关系？后者在不同的阶段可以说具有不同的内容或重点：就小学而言，这主要是指我们应当如何处理好“动手”与“动脑”之间的关系；就中学而言，则主要涉及对“题海战术”的深入批判，以及认识片面强调“数学应用”的局限性。由于对整体性教学与结构化教学的突出强调正是《2022版课标》的又一重要特征，所以，我们对这样一个问题应予以特别的重视：强调整体性教学是意味着我们必须引入一种新的教学模式或教材编写模式，还是应当更加重视整体性观念的指导与渗透？整体性观念的主要涵义是什么？我们在教学实践中如何才能很好地对其进行指导与渗透？

上面所提到的问题，有不少可以说存在已久，但始终没有得到很好的解决，从而也就更清楚地表明了深入开展研究的重要性。在笔者看来，这就是“课程改革进入了深水区”的一个重要标志，特别是，我们当前面临的一些大问题涉及的主要不是具体的方法或技能，而是更深层次的认识或观念，从而对此往往也就很难作出绝对的“对”或“错”的判断；进而，人们更可能因此而产生这样的错误认识：这些问题过于“高大上”，与日常教学工作没有什么直接联系，无论抓与不抓都不会有什么差别。恰恰相反，正因为这些问题所涉及的都是深层次观念，因此，如果缺乏自觉性的话，我们就很可能在不知不觉中陷入认识的误区，也就会对实际工作产生潜在而又十分消极的影响。相信读者由以下两节的讨论可对此有更清楚的认识，因为，它们所涉及的都是深层次的观念或认识，也就是所谓的“再认识”对于数学学习和教学究竟有怎样的重要性？什么又可被看成数学中引入字母的主要作用，如何更好地认识并正确把握其中的大观念？

二、数学教学和学习中的“再认识”

俞正强老师在《如何把握小学数学中的“再认识”》一文中提出的一个主要论点是：“小学数学中的‘再认识只有小数、分数和平均数这样三个情况。”这一说法有一定道理，因为，如果对教材标题进行检索的话，直接以“……的再认识”为标题的内容就只有这样三处。但在笔者看来，这恰又十分清楚地表明了深入认识“再认识”在数学学习和教学中重要地位的重要性。

具体地说，现今数学教育领域中对于“再认识”的强调集中体现了这样的认识：数学的认识在大多数情况下都不是一次就可得到并完成的，而是有一个逐步发展的过程，后者又不应被归结为知识、技能或活动经验的简单积累，而主要是一个不断深化和优化的过程，特别是，相对于由少到多、由简单到复杂而言，我们应更加重视化多为少、化复杂为简单，后者主要就是“再认识”的结果，包括比较与分析、总结与反思、优化与综合等。

显然，依据以上认识我们也就可以立即看出上述引言和如下论述的局限性：“为什么小学数学的‘再认识只有小数、分数和平均数？因为有的概念一次便认识到位了，而小数、分数、平均数的内涵比较丰富，对其的认识一节课无法完成。”事实上，即使人们在很多方面的最初认识并没有明显的错误，大多数数学概念的认识仍有一个不断发展和深化的过程，也即完全离不开所谓的“再认识”。

例如，学生对于数的认识，显然就有一个不断发展与深化的过程，而这又不只是指其外延的不断扩展（引入了更多的“新数”），还包括我们对于数及其运算的内涵或特征、性质的进一步认识。例如，随着学习的深入，我们显然就应将学生的注意力由对各个具体数量关系的认识引向对更深层次规律（如加法的交换律等）的认识，由局部性认识过渡到整体性乃至结构性认识（如数系的开放性与一致性），特别是集中于层次的分析与区分（例如，相对于加法而言，乘法在运算上就应被看成具有更高的层次。另外，也要看到加法与减法、乘法与除法之间的互逆关系等）。

在此我们还应特别强调拓宽视野的重要性，因为，这会促使人们从新的、不同的角度或通过对照、比较等方法，更深入地进行分析和思考，从而也就十分有益于人们认识的深化，特别是，由局部性认识过渡到整体性认识。

总之，我们应当明确肯定“再认识”对于数学学习的特殊重要性，并将这一思想很好地贯穿于全部的教学活动，而不应只是在某些特定的场合才想到这样一点；我们还应努力提升学生对于“再认识”的自觉性，将此看成学会学习的一个十分重要的涵义。

当然，作为这方面的具体工作，我们应十分重视针对教学内容、学生实际情况和教学情境的分析研究，并注意防止与纠正各种简单化的认识。下文就联系以下论点对此作出具体的分析：小数、分数与平均数的再认识“代表了人类认识世界的三种基本样式：由表及里，有了认识的深刻性；由一及二，有了认识的完整性；由正到反，有了认识的全面性。”

笔者以为，“小数的再认识”的一个更重要的意义，是我们应超越“小数代表了一种新的数”这一初步的认识，从更宽广的视角去分析思考，特别是，应帮助学生很好地认识数系的发展性与整体性。具体地说，正与自然数计数单位十、百、千、万等的引入类似，小数计数单位十分之一、百分之一、千分之一或0.1、0.01、0.001等的引入，显然也可被看成直接反映了实际度量工作的需要（精确的定量描述），两者的唯一区别则是我们在此已将关注点由“很大很大的量”转移到了“很小很小的量”。再者，通过小数的引入我们可以帮助学生很好地认识数系的开放性及这样一个重要的事实：正是实际的需要在这方面发挥了主要的作用。

进而，我们显然也可从同一角度去理解以下的事实，即在小数以后为什么又要引入分数，乃至更多的“新数”？值得指出的是，这可被看成通过拓宽视野促进认识发展与深化的一个很好的实例。例如，无论就小数或分数的引入而言，我们都应当认真地去思考：新引入的数与已有的数之间存在什么样的关系？

但是，所说的由一至多（二）的变化又非分数的认识所特有，而是有更大的普遍性。例如，即使就最简单的自然数而言，人们的认识也经历了同样的发展过程，尽管教材中对此没有特别强调。具体地说，倍数的概念显然就代表了自然数的另外一种涵义，即两个独立量之间的一种关系。

也正因此，分数的教学就应很好地落实这样一个目标，即我们不仅应当帮助学生认识分数涵义的多重性，还应将此看成发展学生关于数的认识的又一重要契机，特别是，更深刻地认识各种不同的数之间的内在联系与统一性，如分数与自然数、小数之间的联系，自然数和分数的多重涵义，等等。

还应强调的是，上述分析也为这方面的进一步工作指明了努力的方向：由于自然数和分数都涉及了两个量之间的关系，只是所采取的视角有所不同，即我们究竟是用两者中较小的那个数、还是较大的数作为度量（比较）的单位（当然，通过引入分数我们可对此作出推广，即不再局限于两者之间存在直接的倍数关系这一特殊情况），因此，一个十分合理的发展是，除去这两个量以外，我们还可引入第三个量作为比较的基础，这事实上也就是度量单位（计数单位）的主要作用。当然，我们在此又应更加重视这样一个可能的发展，即在很多情况下我们还可引入另一更加合适的数作为比较单位——显然，按照这一分析，比的引入也就十分自然了。

容易想到，这也就是比的概念为何会被广泛应用的主要原因，特别是，正如很多有经验的教师都已注意到的，应用比的概念我们可以较容易地解决很多较复杂的算术应用题。当然，就我们目前的论题而言，这更清楚地表明了：“分数的再认识”只是相关认识不断发展与深化过程中的一个阶段或环节。

最后，依据上述分析我们显然也可引出这样一个结论：就分数认识的发展而言，我们不仅应当十分重视由一到多（二）的变化，也应高度重视由多到一的变化。当然，相对于先前的单一性认识而言，后者又应被看成一种“重构”的工作，即意味着我们已达到了更大的认识深度：由多到一中的“一”应被看成“一种包含有丰富的多样性的‘一、一种整合意义上的‘一，一种具有极大可变性与灵活性的‘一、一种处于不停的流动或变化中的‘一。”

也正因此，就数的认识而言，我们不应过分强调如何能将所有的数（自然数、小数等）统一成某一种数（分数），乃至将其看成所有的数的共同本质，而应更加注重各种数内在的联系和统一性，包括如何能依据具体的情况和需要在各种不同的数或不同的解释之间作出必要的转换。

在笔者看来，这就是“分数的再认识”最重要的一个涵义。

第三，对于“平均数的认识”，俞正强老师的基本看法是：“从平均数的初步认识到平均数的再认识，是从长处到短处的认识，是一个由正到反的过程”，通过这一过程我们可很好体会到学会全面看问题的重要性。笔者以为，我们应将善于由正到反思考问题看成一种重要的思维品质，并通过自己的教学努力提高学生在这一方面的自觉性，也即帮助他们逐步地养成从正反两个方面看待问题的良好习惯。当然，后一目标的实现必然有一个较长的过程，正因为此，我们就应将这一思维习惯的培养很好地贯穿于数学教学的全部过程，而不应期望仅仅通过某一特定内容的教学就能实现这样一个目标。

综上可见，我们就应明确肯定“再认识”对于数学学习和教学活动的特殊重要性，并将这一思想很好地贯穿于全部的数学教学活动。

三、数学中引入字母的意义——大观念渗透的一个实例

上述实例给予我们的一个重要启示是，大问题往往与大观念密切相关，大观念在很多时候可以为大问题的解决直接提供思路。也正因此，我们应特别重视大观念，不仅应当以此指导相关内容的教学，还应很好地防止与纠正各种可能的错误或片面性认识。

以“字母的引入”为例，读者即可对此有更好的认识。具体地说，“用字母表示数”正是俞正强老师的另一篇文章的直接主题，他对这一论题的重要性做了这样的说明：“这是小学数学十分经典的课，是代数学习的一节起初课。”按照俞正强老师的分析，这还可被看成“种子课”的一个实例，即“属于知识脉络中处于起点或节点的课”。

俞正强老师指出，就这一内容的教学而言，以下是一种常见的教学过程。

材料：__只青蛙__ 张嘴__只眼睛__条腿。

任务一：谁能用这个框架来说这个顺口溜？

学生完成： 1 只青蛙 1 张嘴 2 只眼睛 4 条腿；2 只青蛙 2 张嘴 4 只眼睛 8 条腿；3 只青蛙 3 张嘴 6 只眼睛 12 条腿。

任务二：这样说得完吗？数那么多，谁能一次把全部的数都说完？

学生完成： a 只青蛙 a 张嘴 2a 只眼睛 4a 条腿。

达成认识：a表示所有数。

结论：用字母表示更简洁。

现在的问题是：上述教学设计是否也有一定的局限性，特别是，学生的理解是否可能存在一定的偏差？

在这一方面我们可清楚地看到经验的重要性：有经验的教师往往能够针对学生可能出现的错误采取一定的预防措施，从而防止其发生。在俞正强老师看来，这清楚地表明了切实抓好这样两项基本措施的重要性：“用例题讲清知识，用练习纠正错误”，特别是，借助适当的练习我们即可发现学生理解上的困难与错误，从而采取适当措施予以补救。

就当前的论题而言，以下是两种常见的错误：

错误一： a 只青蛙 a 张嘴 a 只眼睛 a 条腿；

错误二： a 只青蛙 b 张嘴 c 只眼睛 d 条腿。

当然，除去直接纠错以外，我们还应认真地去思考学生为什么会出现这样的错误。

俞正强老师指出，学生的上述解答涉及了字母用法的三个理解：

理解一：确定的数用数字表示，不确定的数用字母表示。

理解二：不同的对象用不同的字母来表示。

理解三：两个对象有联系时，其中一个对象用字母式表示。

在俞正强老师看来，出现上述错误的主要原因是，部分学生仅仅达到了“理解一”，而未能达到“理解二”和“理解三”。他认为，这可被看成“皮毛学习”的一个实例，从而也就十分清楚地表明了深度学习的重要性，也即我们应当帮助学生达到“内在的理解”。

但是，在上述三个理解之间是否存在一种层次的关系？再者，如果认定“种子课”的作用主要是为后继学习打好必要的基础，那么，我们在此显然要进一步去思考：作为代数学习的“种子课”，应帮助学生初步地建立起一种什么样的观念？特别是，应如何把握算术学习与代数学习之间的主要区别，又应如何帮助学生很好实现由前者向后者的重要转变？

还应强调的是，对于算术与代数之间的主要区别事实上也有两种不同的看法：（1）集中于研究对象的扩展，也即由数扩展到了字母（式），并希望通过这一途径我们可更有效地解决问题，也即更有效地求解各种算术应用题；（2）突出观念的转变，也即由操作性观念向结构性观念的转变，这也就是指，我们在此已不再唯一关注如何能够通过适当计算求得相应的未知数，而应更加重视各个数量（包括已知数与未知数，以及用字母表示的数）之间关系的分析。

显然，按照后一种理解，引入字母最重要的一个作用，是代表了由特殊上升到一般，如由2+3=3+2、1+4=4+1等过渡到了a+b=b+a；代数学习的又一重要特征是，与数一样，我们也应将由字母与数组成的“式”看成数学研究的直接对象，并应按照一定的法则具体去从事式的运算或变形。

从历史的角度看，这就是人们为什么将法国数学家韦达看成代数学创建者的主要原因：正是韦达最早明确地提出了这样一个思想——我们可以用字母表示已知量和未知量，并对此进行纯形式的操作（他称为“逼真算法”），这也就是指，我们可以摆脱问题的具体内容，并从纯形式的角度总结出相应的算法。也正是在同样的意义上，人们提出，应对缩写意义上的符号与操作意义上的符号作出清楚的区分，并应将后者看成数学符号的本质。

由此可见，就我们当前的论题而言，即使学生已经很好地建立起了上述三个认识（“理解一”至“理解三”），但如果其认识始终停留于“字母代表了一个不确定性的数”这样一个层面，就仍然不能被看成已在由算术向代数学习的转变上跨出了实质性的一步。因此，我们在教学中应当切实避免陷入这样一个认识误区，即只是因为我们所面对的是不确定的数（如装在信封中的粉笔的数量，因为看不到，因此无法确定），所以就只能引入字母来表示，把字母的引入看成纯粹的无奈之举。恰恰相反，我们从一开始就应帮助学生很好地树立起这样一个观念：字母在数学中的引入主要是为了方便更高层次的抽象，即由特殊向一般的过渡。代数与算术的又一主要区别是，除去各种具体的数，我们在代数中也应将字母和式看成真正的数学对象，并按照一定的法则对其进行具体的操作或变形，而不应将其始终看成是一个临时的“替代者”，也即不应集中于如何能够通过适当计算求得它们的值，或如何将不确定的数转化为确定的数。

特殊地，依据上述分析我们显然也就可以清楚地看出以下教学设计的不足之处，即十分容易导致“只有不确定的数才用字母表示”这样一个错误的理解：

材料：两个信封，一盒粉笔。

问题一：（将信封给学生看）信封里什么也没有，可以用哪个数字表示？答：0。

问题二：（往信封里放进1支粉笔）现在信封里的粉笔数可以用数字几表示？答：1。

问题三：（倒空信封，往里面放3支粉笔）现在信封里的粉笔数可以用数字几表示？答：3。

问题四：（躲在桌子下面，往信封里放粉笔）现在信封里的粉笔数可以用数字几表示？答：5、6、7、8……

问题五：为什么现在有这么多种可能？前后发生什么事了？答：看见与没看见

问题六：为什么没有同学说0呢？除了确定不是0，还能确定什么？

结论：在这种情况下，我们就说信封内的数有a支。

还应强调的是，这里所说的代数思维可被看成一个典型的大观念。进而，无论就“种子课”或一般的数学课而言，我们又都应当以相应的大观念作为重要的指导思想，帮助学生逐步树立起相应的观念，尽管这必然有一个较长的过程，包括必要的强化、一定的反复与再认识。

进而，也只有在所说的意义上，我们才能真正地谈及所谓的深度教学，并清楚地认识以下说法的错误性：“种子的特质在于学生的理解完全来自学生的生活体验。”当然，由此我们还可引出这样一个更重要的结论：如果我们的教师未能做好深度教学，我们的学生显然也就不可能做好深度学习。再者，如果教师的认识有较大的局限性，就必然会对学生的学习造成一定的消极影响，特别是，如果相关内容的教学确可被看成“种子课”的话。

例如，只需稍作了解，我们就可发现乘法公式是初中数学学习的一个难点，主要原因之一就是学生未能很好地弄清数学中引入字母的意义。例如，有不少学生就很难理解我们为什么可以对公式中的字母，如a2+2ab+b2=（a+b）2中的a和b，赋予不同的数值（甚至将每个b换成2b等），而这又是学生能否掌握配方法的关键。

更一般地说，这也正是我们为什么应当积极倡导“高观点指导下的数学教学”的主要原因，而不只是满足于对学生在学习中可能出现的各种错误的事先预防与事后补救，同时，我们可以更好地理解为什么应积极地去提倡深度教学。因为，只有这样，我们的教学才可能取得真正的进步！

再者，如前面已提及的，无论是这里所说的“高观点指导下的数学教学”，还是“数学学习中的再认识”，都是我们如何能够真正做好数学教学的关键性环节或方面。当然，对于后者的具体涵义我们又应作出更加全面、更加深入的研究，后者也可被看成充分发挥问题引领作用的又一途径，特别是，为了促进课程改革的深入发展，我们决不应满足于已有工作的简单梳理与概念组合，而应很好地弄清什么是数学教育的基本问题，我们在这方面的认识这些年来究竟又有哪些进步，还有什么不足。建议广大一线教师也能对此作出自己的总结和反思，从而就可通过自觉的努力取得更大的进步！

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（郑毓信，教授，博士生导师，南京大学哲学系，邮编：210008）