操作中找联系，梳理中悟本质

摘 要：《立体图形的表面积和体积（复习）》是六年级的一节总复习课。复习课既要巩固学生已学的知识与方法，又要优化他们的认知结构，帮助他们感悟数学思想方法。因此，复习立体图形时要基于联系的观点，在图形的运动和变化中探索面与体的关系，帮助学生全面、系统地理解与掌握立体图形表面积和体积计算方法。

关键词：《立体图形的表面积和体积（复习）》；自主梳理；认知结构

【教学内容】

苏教版小学数学六年级下册第94—95页。

【课前思考】

苏教版教材对“立体图形”的编排有层次、有梯度：学生在第一学段初步认识实际物体和几何图形，在第二学段了解立体图形的特征，学习立体图形表面积和体积的计算方法，并初步探究图形间的关系。但在实际教学中，存在“就题论题、蜻蜓点水”的现象，导致学生缺少多途径循证、多元化表征的机会，无法建立起知识之间的联系，对立体图形知识点的理解呈散点化、单一化，对表面积和体积计算方法的运用较为形式化。因此，复习课要基于联系的观点，通过引导学生梳理立体图形的特征、立体图形表面积和体积计算公式等，渗透线、面、体之间的联系，帮助学生全面、系统地理解与掌握立体图形的核心知识，搭建立体图形知识框架。

【教学目标】

1.在观察、操作、想象、交流等活动中，丰富对立体图形的认识，理清它们之间的联系和区别，体验三维立体图形与二维平面图形之间的相互转化，发展空间观念和极限思想。

2.在自主探索、合作交流等过程中系统地复习立体图形知识，积累研究问题的经验，增强学好数学的信心，渗透事物是相互联系、发展变化的辩证思想。

【教学过程】

一、自主梳理，引发思考

课前学生完成“研究学习单”（如下页图1）。

二、交流展示，理清脉络

（一）小组交流，回顾整理

师：同学们，今天这节课，我们来复习立体图形的表面积和体积。课前，大家已经通过“研究学习单”进行了回顾和整理，下面请同学们根据活动要求，在小组内交流。

出示活动要求：（1）组员有序交流，介绍立体图形的特征、立体图形表面积和体积的计算方法，并做好补充或完善，准备全班汇报；（2）在整理与反思的过程中，会产生一些新的发现或疑问，与小组成员进行探讨，并尝试解决。

（二）全班交流，梳理整合

师：我们学习的这些立体图形，它们都有什么特征？它们之间又有哪些联系和区别？

师：你们会计算这些立体图形的表面积和体积吗？怎么算呢？

师：长方体、正方体和圆柱的表面积计算方法虽然不同，但它们之间有什么相似的地方呢？结合展开图想一想，和同桌说一说你的发现。

师：长方体的体积公式是怎样推导出来的呢？你能画图向全班同学解释一下吗？圆柱的体积公式又是怎样推导出来的？计算圆锥体积时为什么要乘三分之一？

[设计意图：复习不是对单个知识点的重复教学，而是对学生已有学习方法和知识的精准概括和结构化整理，需关注学生对复习内容的深层次理解。因此，笔者设计了指向“探索图形之间联系”的活动，先通过列举立体图形的表面积公式，帮助学生将脑海中的知识有序提取出来；再在交流、对比、补充的过程中，帮助学生明晰表面积计算方法的相通之处，形成结构化的数学思维；最后，让学生回忆、整理立体图形的体积公式，将点状的知识串联成线，构建立体图形的体积计算方法体系。]

三、操作想象，沟通面与体的联系

（一）研究立体图形的表面积

师：上课前，我们思考了“一张长方形纸可以‘做出哪些立体图形”，接下来，我们交流一下。

预设1：“卷”的方法。

师：（出示图2）这是两个“缺底”的圆柱，它们的表面积有什么关系？你会对比吗？

预设2：“折”的方法。

师：（出示图3）这两个“缺底”的长方体的侧面积有什么关系？你是怎样比的？

师：折出来的长方体与原本的长方形纸有什么联系？

师：还有其他的折法吗？什么样的长方形纸能折成正方体？

师：将长方形纸的一条边分成四份，可以折出长方体，那分成三份会折出什么图形？分成五份呢？八份呢？十二份呢？继续不停地分下去，折成的立体图形会接近什么图形？

师：这些立体图形有一个统一的名称，叫作直柱体。它们的侧面积都等于长方形纸的面积，可以用底面周“长×高”计算。

预设3：“转”的方法

师：（出示图4）将同一张纸绕不同的边旋转，得到两个圆柱，它们的侧面积相等吗？

师：同一张纸，转出来的圆柱形状不同，侧面积却相等，这是为什么呢？

师：还能怎样旋转？怎样旋转体积最大？

师：如果将这张纸沿对角线剪开，得到直角三角形，旋转这个三角形会得到怎样的图形？

师：旋转后得到的圆锥，和刚才的圆柱之间有什么联系？

[设计意图：这一环节侧重通过操作帮助学生理解立体图形侧面积概念，梳理各种立体图形侧面积计算方法之间的联系。通过“卷”，帮助学生明晰侧面积的概念和计算方法；通过“折”，帮助学生理解侧面积等于“底面周长×高”，统一侧面积的计算公式；通过“转”，加深学生对圆柱侧面积计算公式的理解。从“卷”到“折”再到“转”，学生逐步探索，在操作中了解立体图形与平面图形之间的关系，沟通不同立体图形表面积的计算公式，优化认知结构。]

（二）研究立体图形的体积

师：（出示长方形从下向上平移的动态过程）将长方形从下向上平移，平移留下的痕迹也是立体图形。我们可以在头脑中想象一下，平移留下的痕迹是什么图形？（出示正方形、圆形从下向上平移的动态过程）将正方形、圆从下向上平移，分别会形成什么立体图形呢？

师：如果将三角形、梯形、正五边形为从下向上平移，平移留下的痕迹又会形成什么样的立体图形呢？这些通过平移得到的立体图形与平面图形之间有什么联系？

师：如果将正八边形、正十二边形向上平移，这个发现依然成立吗？它们的体积应该怎么算？

师：继续想下去，当被平移的正多边形的边数无限增多，我们会得到什么样的立体图形？

师：通过研究，我们发现这些直柱体的体积都可以用“底面积×高”来计算。在刚才的交流与分享中，我们又一次感受到了二维平面图形和三维立体图形之间的联系。这也说明，解决问题时，我们要用联系的眼光去分析。

[设计意图：该环节意在引导学生从运动变化的角度复习立体图形。学生通过想象平移留下的痕迹，感受立体图形底面积不变的情况下，体积的大小与高有关。在此基础上，学生通过平移，在想象中了解立体图形的特征，透过变化的表象去深究事物的本质，猜想、探究直柱体体积的计算方法。最后，通过问题“当被平移的正多边形的边数无限增多，我们会得到什么样的立体图形”，引导学生体会极限思想，逐步扩展认知结构。]

四、精选练习，巩固应用

全班交流推荐好题，分析解题策略。

师：立体图形在生活中有很多应用。你知道这些现象应用了立体图形的什么特征吗？

课件出示：（1）为什么牛奶盒是长方体，可乐瓶却是圆柱呢？（2）有关立体图形的表面积（侧面积）的实际问题中，有哪些典型的物体（比如通风管、金鱼缸）？可以怎么分类呢？（3）为什么要将快递盒拆开存放呢？（4）餐巾纸的包装有圆柱和长方体两种，它们之间有联系吗？

师：你在生活中还观察到了什么，爱思考的同学课后可以单独研究，也可以小组合作研究。

[设计意图：复习课的练习需要帮助学生深刻理解问题的本质，完善认知结构，获得自主复习的策略。课前的“好题推荐”，让学生分享他们认为的“好题”，意在让“不同学生得到不同的发展”，让推荐者和被推荐者都能在复习过程中有新的收获、新的认识，增加课的“厚度”；课后的“课题研究”，让学生带着观察的眼光、思辨的精神走出课堂，探索立体图形在生活中的应用，增加课的“长度”。这样的学习才是具有生长性的。]

（魏俊晨，江苏省南京玄武外国语学校附属小学，邮编：210009）