浅谈数列通项的求法

张钰涵

摘  要：开展“问题解决”的数学研究，是数学素质教育的一个重要方面，数列在高考中占据重要的地位，具有较强的综合性，常常考查学生方程与化归的思想，以及数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。递推关系是一种数列的表示方法，利用递推关系和已知项可逐一求出数列的其他未知项，但运算量很大、耗时且容易发生错误。许多数列都是通过递推关系给出的，通过递推关系求数列通项的方法是高考与数学竞赛的重要课题，把握由递推关系求通项的处理方法，对学生未来发展将起到积极作用。

关键词：递推;数列;待定系数

数列作为特殊的函数，在高考、数学竞赛、强基计划等考试中占有重要地位。数列综合问题种类繁多，难度较大，解法通常具有一定的技巧性。其实要学好数列，必须抓到数列问题的敲门砖，即数列的通項。本文总结数列求通项的十种方法，通过举例的形式展现出来，以飨读者。

一、an+1=an+f（n），求an

例1. 在数列{an}中，an=an-1+■（n≥2），a1=1，求an。

解法  叠加法：∵an-an-1=■-■，∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=■-■+■-■+…+1-■+1=2-■。

解法运用了数学中常用的叠加法，该方法本身简单，但运算较复杂，不少学生会因为运算而出错。

二、an+1=an f（n），求an

例2. 在数列{an}中，an=■an-1（n≥2），a1=1，求an。

解法1  叠乘法：∵■=■，∴an=■×■×■×…×■×a1=■×■×■×…×■×■×1=■。

解法2  构造常数列：∵an=■an-1？圯（n+2）an=nan-1？圯（n+1）（n+2）an=n（n+1）an-1，∴{（n+1）（n+2）an}是常数列，∴（n+1）（n+2）an=（1+1）（1+2）a1，∴an=■。

解法1运用了叠乘的方法，同类型1一样，该解法运算较难;解法2利用构造常数列，比较简单。总之学生在做叠加、叠乘的运算时，适当地思考如何构造常数列，不但可以提高自己的思维水平，也能激发自己对数学的学习兴趣。

三、an+1=pan+q（p，q∈R，且p≠1），构造等比数列

例3. 在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1（n≥2），求an。

解  ∵an+1+1=2（an+1），∴{an+1}为等比数列，∴an+1=（a1+1）×2n-1=2n，∴an=2n-1。

该解法考查了学生的方程思想，在构造数列的过程中，必须借助于方程求得待定系数，该类型的数列必须化为等比数列，在构造的过程中必须强调恒等的概念，才可以求得待定系数。

四、an+1=pan+pn（p∈R，且p≠1），构造等差数列

例4. 在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n（n≥2），求an。

解  ∵an+1=2an+2n？圯■=■+■∴■为等差数列，∴an=n×2n-1。

这种数列只能化为等差数列，可以先让学生探究为什么不能化为等比数列，在新构造的数列中必须熟练掌握等差数列的通项公式。

五、an+1=pan+qn（p，q∈R，且p≠1，p≠q），构造等比数列

例5. 在数列{an}中，a1=1，an=2an-1+3n（n≥2），求an。

解  ∵an-3n+1=2（an-1-3n），∴{an-3n+1}为等比数列，∴an-3n+1=（a1-32）×2n-1=-2n+2，∴an=3n+1-2n+2。

该解法运用方程思想：先运用待定系数法求得新数列，然后熟练应用等比数列通项公式的求法来求解。

六、an=pan-1+pn+q（p，q∈R，且p≠1）

这种类型是类型3、4的衍生类型，配等差数列即可。

例6. 在数列{an}中，a1=5，an=3an-1+3n-1（n≥2），求an。

解  ∵an-■=3an-1-■+3n？圯■=■+1， ∴■为等差数列，∴■=■+（n-1）×1=n+■，∴an=3nn+■+■。

这类试题难度比较大，综合性强，先应用待定系数法，配成类型3，然后通过变形转化为类型4，充分利用类型3、4的方法求解，就是这种类型最好的解题模型。

七、an+1=pan+qn+m（p≠q且p≠1）

这种类型是类型3、5的衍生类型，配等比数列即可。

例7. 在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3n-1（n≥2），求an。

解  ∵an+1-1=2（an-1）+3n？圯an+1-1-3n+1=2（an-1-3n）， ∴{an-1-3n}为等比数列，∴an-1-3n=（a1-1-31）×2n-1=-3×2n-1，∴an=3n-3×2n-1+1。

该解法先构造成类型5的模式，应用方程思想，确定待定系数，然后构造成等比数列，通过新的等比数列得出结论，该类型题难度较大。

八、an+1=pan+kn+b，配等比数列

例8. 在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+2（n≥2），求an。

解  令an+1+（n+1）x+y=4（an+nx+y）？圯x=-1，y=■， ∴an+1-（n+1）+■=4an-n+■，∴an-n+■为等比数列，∴an=n-■+■×4n。

该解法先构造成等比数列，其中未知数要设二元，然后通过求解二元方程组得出新的等比数列，要求学生具有较强的运算能力。

九、an+1=pan+an2+bn+c，配等比数列

例9. 在数列{an}中，a1=2，an+1=4an+n2+n+1（n≥2），求an。

解  令an+1+（n+1）2x+（n+1）y+z=4（an+n2x+ny+z）？圯x=■，y=■，z=■，∴an+■n2+■n+■为等比数列，∴an+■n2+■n+■=2+■+■+■×4n-1。

该解法先构造等比数列，其中未知数要设三元，最后通过求解三元方程组得出新的等比数列，运算能力要求比较高，需具备较强的数据处理及数学运算的能力。

十、an+1=pan+qan-1（n≥2），运用方程思想配等比数列

例10. 在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=4an-3an-1（n≥2），求an。

解  an+1+xan=（4+x）（an+xan-1）？圯（4+x）x=-3？圯x2+4x+3=0？圯x1=-1，x2=-3，这两个x中任取一个值，不妨设x=-1，∴an+1-an=3（an-an-1），∴{an+1-an}为等比数列，∴an+1-an=（a2-a1）×3n-1=3n-1，运用类型1可得an=■。

（责任编辑：莫唯然）

参考文献：

[1]刘诗雄. 金牌之路竞赛辅导[M]. 西安：陕西师范大学出版社，2000：85-86.

[2]陈景润. 组合数学[M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012：80-81.

[3]张禾瑞. 近世代数基础[M]. 北京：高等教育出版社，2003：148-149.