HPM视角下高中数学概念教学策略的探讨

黎天萍

摘  要：HPM是带入数学史于课堂教学中，引导学生以历史角度分析数学问题，追溯数学问题的历史演变、问题结构与数学实际应用等方面的方法。这要求高中数学教师以这种方法进行课堂教学，带领学生了解及探索数学知识的意义，帮助其扩展整个数学知识系统，并逐渐完善数学知识。可以说，教师从HPM视角展开高中数学概念教学策略，并坚持学生本位，针对概念构建知识系统，对于提升学生的辩证思维有很大的促进作用。对此，本文以HPM为切入点，将其融于高中数学的概念教学中，提出一些数学应用策略。

关键词：HPM;高中数学;概念教学

一、HPM融合高中数学概念教学的意义

（一）何为HPM

HPM是指数学教育与数学史间的关系说明，其最早出现于20世纪70年代，是数学史和数学教学关系国际研究小组的英文缩写。一般情况下，面向数学史和数学关系领域的研究当作HPM。HPM的研究目标即为借助于应用数学史，提升数学的教育水平。同样的，HPM关注的领域则是多元化、多学科交叉、多方法认识的过程，发生数学法和数学史、学生困难和数学史、数学教学和数学的原始文本之间的关系等。很多数学教科书，仅仅是在教材上展现知识间的逻辑关系，并没有深入展开数学概念、证明原理等内容的形成及其背后的文化背景。对此，创新教学方法，帮助学生从“史”的角度掌握基本概念，对进一步提升学生的数学概念应用有重要的作用。

（二）数学史与数学教学方法相结合的教学价值

第一，提供了直接的历史信息，有利于开发数学的社会文化背景，并通过一定的教学手段使学生了解数学史维度下数学的应用方式。从“史”找到数学概念发生的根，即为发生教学法，同时其也常常作为HPM框架下的教学方法。如在课堂上展示趣味性的数学史故事;导入数学史片段，增强数学概念的关联性;将数学史中的某一时间段作为课堂延伸的一部分，促使学生主动探究其生成结果等等。第二，因为数学史是架构高等数学和中学数学的一个纽带。从这一点上可以看出，数学史应该是教师必备的知识能力之一，掌握“数学史是数学教学”指南的技能，进而才能更好地从数学概念的生成本质入手，让学生在理解概念的基础上学会应用数学，而不是一味地接受并僵化套用。可以说，将数学史带入高中数学概念教学过程中，为数学课堂教学提供了新活力，利于学生理解和掌握数学概念，从而更好地应用概念于数学问题的解决中，融会贯通并迁移到其他学科学习中。

二、HPM视角下高中数学概念教学策略

（一）高中数学概念应用教学设计及反馈

创设概念教学情境，如教师以多媒体方式呈现矿泉水瓶随处可见，这些水瓶的实际容量相同，设计尺寸也基本相似，这样设计是否存在一定的规律？教师通过展示图片引导学生继续探究：在矿泉水瓶的设计理念中，一定要考虑到材料成本问题，也就是怎样设计瓶身才能节省材料。我们了解到矿泉水瓶材料成本与其瓶身表面积有直接关系。对此能够发现一个数学问题，暂且将矿泉水瓶外观视为圆柱形，这样便于分析问题和解决问题。“具有相同体积的圆柱体，其半径和高度应取值多少，才能实现最小面积的目标？”除非是将水平剪开，分别计算各个面积，并进行加总，但是这一操作并不具有普遍性。对此，教师应该引入导数概念并对此类问题提出解决方案。

探究过程：接近圆柱形的矿泉水瓶的高度大约是半径的四倍，与实际测量结果不同。这时教师应引导学生测量瓶身各个部分的厚度，可以借助易拉罐进行测量与计算。分析结果：应用HPM能够简化问题的解决过程，促使学生能够理解概念，并能够将其应用于生活实际问题的解决。常规解题思路难以解决这类问题，对此，将HPM方法与概念教学相结合，并创设问题情境，若学生在解决问题过程中发现了新的问题，可以引导学生利用瓶身半径与高度之间比例关系问题，促使学生继续思考，带动其自主探究问题，并找到答案。学生掌握解决一个问题的方法，而不是直接获取答案，在很大程度上提升了课堂教学质量，学生对问题的理解与概念应用也较好。当然，教师也应该注意到，教师应用HPM教学方法，应该分析问题探究难度是否适合HPM教学方法;学生认知特点和数学基础;教学阶段的特殊性，如高三授课则不适用这种教学方法。在高一、高二讲授新课时，教师可适当地设计概念教学过程，促使学生在理解概念的基础上，能够在解决问题过程中灵活应用概念，并能够理解深层次的概念。总之，对于高中抽象概念教学，教师应合理选择HPM教学方法支持课堂探究活动，这一活动的设计理解主要倾向于利用HPM解题思想。

（二）“概念进化”的教学过程

针对高中教材棱柱概念的陈述“有两个面相互平行，其他的面是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，这些面所围成的多面体即为棱柱”。高中这一概念与初中相关概念相比，其概念抽象程度更高，文字表述简洁但是难于直接理解和应用，如果理解偏差，则会出现概念应用的错误。教师PPT展示如下几个命题：

第一个命题：有两个面相互平行，其余面均为等腰梯形的多面体是棱台;

第二个命题：以直角梯形作为腰的所在直线，经过旋转得到旋转体是圆台;

第三个命题：其中一个面是多边形，其他的面是三角形的几何体是棱锥。

以上几个命题，其中是正确命题的数量有几个？

教师带领学生从概念角度对这一问题进行分析：按照多面体定义对上述命题进行判断，可采用概念判断法或举反例方式加以判断第一个、第二个、第三个均不是。

反思过程：否定之后，教师应该让学生尝试说出否定的原因，此时学生难以找到错误的细微之处。教师可以通过数学史的小案例，如历史上的数学家也出现过同样的判断错误，因此……

回归到概念教学本身：数学史中的数学家对棱柱定义提出了不同的想法，也犯过类似的错误，并指出他们的错误出处。概念教学中，教师提出这种例子，使学生了解到概念理解或应用错误的原因，进而避免下次继续犯错。同样的，教师也可列举数学史专著，从概念的历史发展脉络角度，带领学生梳理概念间的关系及差别，从“史”的角度理解多面体、多边形等概念，并进行对比分析。

三、结语

总而言之，HPM并不是一种教学形式，而是一种利于数学概念教学的一种“史”学教学理念。对此，教师切不可将概念生成的“历史”进行简单地梳理，要结合概念本质及应用问题构建概念间的横纵向联系，促使学生在活动式教学中了解概念的生成过程，理解并学会应用，这样才能更进一步应用数学概念。对此，数学史与高中数学概念教学相融合，不仅仅是“史”的介绍，而且也要引导学生对数学史知识进行再创造。

（责任编辑：向志莉）

参考文献：

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[4]王晓莲. 论核心素养视角下高中数学概念教学途径[A]∥2020年“基于核心素养的课堂教学改革”研讨会论文集[C]. 教育部基础教育课程改革研究中心，2020：2.