论瓜豆模型解题方法研究

陈琴

[摘  要] 最值问题是初中数学研究的热点之一，涵盖知识点广，形式多样，解题灵活，综合性强，是学生的一个难点. 研究者结合目前学生学情和考试需要，综合平时做题经验和资料的查询，得到了最值问题中找运动轨迹问题“瓜豆模型”的解决办法，主要解决了从动点运动轨迹与主动点运动轨迹的关系，以及如何找到从动点的运动轨迹等问题.

[关键词] 瓜豆模型;最值问题;解题方法

瓜豆模型，就是通过找规律，把这一类问题抽象、简化成一种具有代表性的基本图形. 瓜豆模型的好处在于多一种解题思路，解题时形成条件反射，看到这个基本图形就联想到解题策略. 瓜豆模型对解题者的思维要求较高. 文章将提出解决瓜豆问题的思路和方法，不过不同的问题基本上有不同的解题技巧，而要运用这些方法、技巧，要求解题者具有较强的洞察力和数学机智，并能灵活运用各种方法.

文章将讨论一类动点的运动轨迹问题. 对于此类试题，一般先描述动点P，但最终问题却是求另一个动点Q，当然，P，Q之间存在某种联系. 解题的常规思路为：从P点出发探讨Q点的运动轨迹. 其中动点轨迹的基本类型为圆或圆弧型、线段或直线型. 为了便于区分动点P，Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”. 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆. 对于瓜豆问题，“种”圆得圆，“种”线得线，“种”的是哪种运动轨迹，得到的就是哪种运动轨迹，这就是“瓜豆模型”.

知识储备

1. 两点确定一条直线.

2. 圆的定义.

3. 旋转的定义、旋转三要素、旋转的性质.

4. 掌握中位线、手拉手全等、“A”型相似、手拉手相似、位似等知识.

模型條件

1. 两动点有主、从关系，有一定点.

2. 从动点与主动点到定点的距离之比为定值.

3. 从动点与主动点到定点连线的夹角等于定值.

模型结论

从动点与主动点的运动轨迹一样.

模型

（一）模型1：动点的运动轨迹为直线或线段

1. 两动点与定点在同一条直线上

（1）（特殊情况）如图1所示，A为定点，点P是直线BC上一动点，连接AP，取AP的中点Q，点P在直线BC上运动时，点Q的运动轨迹是一条直线.

图2所示，分别过点A和点Q向直线BC作垂线，垂足分别为M，N. 在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即点Q到直线BC的距离是定值. 故点Q的运动轨迹是过AM中点且平行于BC的一条直线.

（2）（一般情况）如图3所示，A为定点，P是直线BC上一动点，连接AP，在AP上取一点Q，使QA ∶ PA=n，当点P在直线BC上运动时，点Q的运动轨迹是一条直线.

模型分析 如图4所示，分别过点A和点Q向BC作垂线，垂足分别为M，N. 在运动过程中，由QA ∶ PA=n，得QN=（1-n）AM，即点Q到直线BC的距离是定值. 故点Q的运动轨迹是过AM上一点Q，满足QN=（1-n）AM且平行于BC的一条直线.

模型结论 ①从动点运动轨迹直线的确定：过定点A作定线BC的垂线，垂足为M，在垂线段AM上取一点Q，使得QM=（1-n）AM，过点Q 作定线BC的平行线，则此直线为从动点的运动轨迹. ②若点P的运动轨迹为线段P1P2，可以直接取线段P1P2的两个端点得到对应的Q的位置Q1，Q2，则点Q的运动轨迹为线段Q1Q2，且Q1Q2 ∶ P1P2=n，Q1Q2∥P1P2 .

2. 两动点与定点不在同一条直线上

（1）（特殊情况）如图5所示，A为定点，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，点Q的运动轨迹是一条直线.

模型分析 如图6所示，在直线BC上任取两点P1，P2，连接AP1，AP2，朝同一方向绕着点A同时旋转AP1，AP2，得到AQ1，AQ2，且旋转角为90°，作直线Q1Q2. 由手拉手全等模型可得P1P2=Q1Q2，且Q1Q2⊥BC. 因为P1，P2是任取的，所以当点P在直线BC上运动时，点Q在直线Q1Q2上运动. 所以点Q的运动轨迹是一条直线，且该直线与BC垂直.

（2） （一般情况）如图7所示，A为定点，∠PAQ为定角α且AQ ∶ AP=n（定值），当点P在直线BC上运动时，点Q的运动轨迹是一条直线.

模型分析 如图8所示，在直线BC上任取两点P1，P2，连接AP1，AP2，朝同一方向绕着点A同时旋转AP1，AP2，旋转角为α，再缩放得到P1，P2两点的对应点Q1，Q2，使AQ1 ∶ AP1=n，AQ2 ∶ AP2=n. 作直线Q1Q2. 由手拉手相似模型可得Q1Q2 ∶ P1P2=n，且直线Q1Q2与直线BC的夹角为定角α.因为P1，P2是任取的，所以当点P在直线BC上运动时，点Q在直线Q1Q2上运动. 所以点Q的运动轨迹为一条直线，且这条直线与直线BC的夹角为定角α.

模型结论 ①找点Q的方法：在直线BC上取一点P（此时找特殊点），旋转对象为主动点P，旋转中心为定点A，旋转方向为主动点绕着定点旋转到从动点方向，旋转角为定角，再缩放得到AQ，使得AQ ∶ AP=n. ②直线Q1Q2与直线BC的夹角为定角α. ③若点P的运动轨迹为线段P1P2，可以直接取线段P1P2的两个端点，得到对应的两个点Q的位置Q1，Q2，则点Q的运动轨迹为线段Q1Q2，且Q1Q2 ∶ P1P2=n. ④添辅助线的方法：旋转与缩放. ⑤说明：为了方便，旋转角有两个，我们统一选择小的那个旋转角，从主动点到从动点有两个方向，我们统一选择小的旋转角方向;这里，旋转与缩放的顺序可以调换.

（二）模型二：动点运动轨迹为圆或圆弧

1. 两动点与定点在同一条直线上

（1）（特殊情况）如图9所示，P是☉O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP的中点. 当点P在☉O上运动时，点Q的运动轨迹是一个圆.

模型分析 如图10所示，连接AO，取AO的中点M，又点Q为AP的中点，所以MQ=OP. 因为OP是定值，所以QM是定值. 所以点Q的运动轨迹是以点M为圆心、OP的长为半径的圆. 点Q的运动轨迹相当于是点P的运动轨迹成比例缩放.

（2）（一般情况）如图11所示，P是☉O上一个动点，A为定点，连接AP，在AP上取一点Q，使得QA ∶ PA=n. 当点P在☉O上运动时，点Q的运动轨迹是一个圆.

模型分析 如图12所示，连接AO，在AO上取点M，使得MA ∶ OA=n. 因为QA ∶ PA=n，所以QM ∶ PO=n. 因为PO是定值，所以QM是定值. 所以点Q的运动轨迹是以M为圆心、n·PO的长为半径的圆. 点Q的运动轨迹相当于是点P的运动轨迹成比例缩放.

模型结论 ①如何找从动点运动轨迹的圆心和半径？圆心：连接定点A与圆心O，在AO上取一点M，使得MA ∶ OA=n，点M即为圆心. 半径：MQ=nOP. ②若点P的运动轨迹为圆（圆弧），则点Q的运动轨迹也为圆（圆弧）. 若运动轨迹为圆弧，则两弧长满足：lQ ∶ lP=n. ③点Q的运动轨迹相当于是点P的运动轨迹成比例缩放.

2. 两动点与定点不在同一条直线上

（1）（特殊情况）如图13所示，P是☉O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，则当点P在☉O上运动时，点Q的运动轨迹是一个圆.

模型分析 如图14所示，将点O绕点A向主动点（P）绕着定点（A）旋转到从动点（Q）的方向旋转90°后得到点M，连接AM，QM，AO，OP，可得△APO≌△AQM，于是PO=MQ. 因為O为定点，所以M为定点;因为OP为定长，所以MQ为定长. 所以点Q的运动轨迹是以点M为圆心、OP的长为半径的圆. 点Q的运动轨迹相当于是点P的运动轨迹绕点A旋转90°后得到的.

（2）（一般情况）如图15所示，P是☉O上一个动点，A为定点，连接AP，作∠PAQ=α且AQ ∶ AP=n，则当点P在☉O上运动时，点Q的运动轨迹是一个圆.

模型分析 如图16所示，将点O绕点A向主动点（P）绕着定点（A）旋转到从动点（Q）的方向旋转α，再缩放得到点O的对应点M，使AM ∶ AO=n. 连接AM，QM，AO，OP，则△APO∽△AQM，MQ ∶ PO=n. 因为O为定点，所以M为定点;因为OP为定长，所以MQ为定长. 所以点Q的运动轨迹是以M为圆心、n·PO的长为半径的圆. 点Q的运动轨迹相当于是点P的运动轨迹旋转后成比例缩放.

模型结论 ①如何找从动点运动轨迹的圆心和半径？旋转对象为圆心O，旋转中心为定点A，旋转方向为主动点绕着定点旋转到从动点的方向，旋转角为定角，再缩放AO，得到AM，使AM ∶ AO=n，从而得到从动点运动轨迹的圆心M. 又由MQ ∶ PO=n，可算出从动点运动轨迹的圆的半径MQ. ②从动点的轨迹相当于是主动点的轨迹旋转后成比例缩放（也可以是成比例缩放后旋转）. ③若点P的运动轨迹为圆（圆弧），则点Q的运动轨迹也为圆（圆弧）. 若运动轨迹为圆弧，则两弧长满足lQ ∶ lP =n. ④添辅助线的方法：旋转与缩放. ⑤说明：为了方便，旋转角有两个，我们统一选择小的那个旋转角，从主动点到从动点有两个方向，我们统一选择小的旋转角方向;这里，旋转与缩放的顺序可以调换.

轨迹之其他图形

在平时的教学中，我们常见的瓜豆模型运动轨迹为圆、圆弧、直线、线段，当然，瓜豆模型的运动轨迹不仅限于这些. 瓜豆模型的运动轨迹还有折线段、双曲线、抛物线等. 下面用两个例子说明瓜豆模型运动轨迹的其他两种类型.

例1 如图17所示，在反比例函数y= -的图像上有一动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，第一象限内有一点C满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在一函数的图像上运动. 若tan∠CAB=2，求点C所在函数图像的解析式.

解析 如图18所示，分别过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接OC. 易证△AMO∽△ONC，因为tan∠CAB=2，所以OC=2OA. 所以CN=2OM，ON=2AM. 所以ON·CN=4AM·OM=8. 所以点C的运动轨迹为双曲线. 又点C在第一象限，所以k=8. 所以点C所在函数图像的解析式为y=.

例2 如图19所示，已知A（-1，1），B（-1，4），C（-5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角三角形OPQ. 当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的运动轨迹形成的封闭图形的面积为_______.

解析 由△OPQ是等腰直角三角形，可知点Q的运动轨迹与点P的运动轨迹形状相同. 因为OP ∶ OQ= ∶ 1，所以点P的运动轨迹图形与点Q的运动轨迹图形的相似比为 ∶ 1. 所以它们的面积比为2 ∶ 1. 又△ABC的面积为×3×4=6，故点Q的运动轨迹形成的封闭图形的面积为3.

文章的瓜豆模型解决了瓜豆模型中的基本问题，与瓜豆模型相关的其他广泛应用还要进一步研究，比如等腰三角形的存在性问题、直角三角形的存在性问题、等腰直角三角形的存在性问题、胡不归问题等与瓜豆模型的联系. 在研究利用瓜豆模型解题的过程中，笔者深刻地体会到，在平时的教育教学中，教师应多思考、多提问，这样才能获得更多的优秀办法，让学生在理解知识、做题时事半功倍. 对教师而言，多搞研究可以提高教师的教育、教学水平，提高原创试题的质量. 接下来，笔者要研究的问题是如何向学生讲授此模型.

在日常教学中，很多教师是想教会学生方法（规律），但教学实践却往往忽视了教他们怎样去探索这个方法（规律）. 方法对提高成绩固然有用，但探索方法的过程对培养学生的思维更为有利. 虽然有可能学生花费很多时间在探索方面时，短期内很难提高分数，但长期训练，对提高他们的学习能力、思考问题的能力大有益处. 因此，怎样讲授此模型是教师后续研究的重点. 在平时的教学中，教师应思考如何引导学生抽象、探究、总结、归纳出一般模型，如何培养学生提出问题、思考问题、解决问题的能力，最终让学生大胆探索、突破常规、积极创新.