着眼素养导向培养建模能力

钱宜锋

[摘  要] 结合温州中考第24题，阐述如何基于素养导向，创造性地使用教材进行建模的全过程. 该题考查学生的建模能力，不过分依赖模型结果的应用，有利于学生建模素养的培育.

[关键词] 中考压轴题;素养导向;函数建模;目标意识

数学建模作为初中数学核心素养之一，是指初中学生对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识构建、优化模型，进而解决问题的整个过程. 但目前，能有效地考查初中学生此类素养培养情况的题目较少，且偏重考查模型的应用能力，忽视模型的建构和优化过程. 下面以2019年浙江省温州市中考试题第24题为例，简要地谈谈该题是如何引领学生在动点问题中建构、优化匀速运动等数学模型，以提高初中学生建构复合模型的能力，为提升初中学生数学核心素养奠定良好的基础.

试题呈现

（2019年浙江温州卷第24题）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连接OE.动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q向终点Q匀速运动，它们同时到达终点.

（1）求点B的坐标和OE的长.

（2）设Q为（m，n），当=tan∠EOF时，求点Q的坐标.

（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合.

①延长AD交直线BC于点Q，当点Q在线段QQ上时，设QQ=s，AP=t，求s关于t的函数表达式.

②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长.

试题“特色”解读

1. 聚焦核心知识，内容紧密关联

本题涉及大量的初中数学核心知识点，有正方形的性质、勾股定理、三角形相似（全等）、解直角三角形、函数的表达式、方程（组）、代数式变形等，能全面地考查初中学生的初中数学核心知识掌握情况.

该题图形的原形取材于教材，通过“∠EOF的正切值与点Q的横、纵坐标（m，n）的数量关系，确定终点Q的位置”的巧妙设置，对前、后设问进行紧密关联，能促进学生建立系统性的逻辑推理能力.

2. 考查核心素养，培养目标意识

命题人将平面直角坐标系中斜放的直角三角形作为本试题背景，意图考查学生的几何直观、运算能力（利用勾股定理、面积法直接求的值，或利用“K”型图把边的比值进行显性转化）、推理能力和模型思想.

此外，该题的解题目标明确，使得学生可通过围绕此目标，初步构建所需的基本图形或模型，进而发掘隐含条件，从而提高解题效率，使学生有更多的时间来攻克其他难题.

3. 考查建模过程，完善解题途径

本题第（3）问的①小问对学生自主建模过程进行了全面检验. 其巧妙之处在于动点不知从何处来，速度为多少，要确定s关于t的函数类型，先要了解两个变量之间的变化规律，依此确定函数类型. 在确定函数类型之后，学生可从待定系数法、两个变量（s，t）之间的数量关系等多个角度入手，求得函数表达式. 这一整个过程，可被视为浓缩的函数建模过程——不仅涉及函数类型的确定过程，而且还有函数表达式的求解.

试题多解

1. 第（2）问的多解过程

解法1  如图2，设DE交CO于点N，作EM⊥OC于点M，则EM∥CD，由△CDN≌△MEN，易得CN=MN=1，EN=.由EN·OF=ON·EM，得OF==.

由勾股定理得EF=，所以tan∠EOF=，=×=.又因为n=-m+4，所以Q为（6，1）.

解法2  如图3，过点E作EH⊥x轴于点H，CG⊥EH于点G，连接DO，S=S-S-S-S=12，DE=2，所以OF=. 又因OE=2，由勾股定理得EF=，所以tan∠EOF=，以下同解法1（略）.

解法1，2分析：由于点Q在直线y= -x+4上，因此要求点Q的坐标，只需另找m与n的数量关系，进而只需知道tan∠EOF的值. 在Rt△OFE中易得OE的长，因此还需求OF（或FE）的长，而由OF的值的确定，自然联想到用面积法寻找等量关系.

因此，求解本题的关键是利用面积法得到OF的长. 本题着重考查了学生的几何直观及复杂运算能力的核心素养.

解法3 如图4，设EF為x，因为DE=2，OD=4，OE=2，由OF2=OD2-DF2=OE2-EF2得（4）2-（2-x）2=（2）2-x2，解得x=，由勾股定理得OF=，所以tan∠EOF=，以下同解法1（略）.

解法3分析：要求点Q的坐标，只需知道tan∠EOF的值，在Rt△OFE中易得OE的长，因此还需求FE（或OF）的长，而由EF的值的确定，自然联想到用勾股定理寻找等量关系.

因此，求解本题的关键是利用勾股定理得到EF的长. 本题着重考查了学生利用勾股定理解决问题的能力.

解法4  如图5（“K”型1），过点F作FH⊥y轴于点H，EI⊥FH于点I，直线DE（FE）的表达式为：y=-x+3，所以直线OF的表达式为：y=4x. 联立方程

y=-x+3，

y=4x，解得F

，. 由△HOF∽△IFE，得tan∠EOF===. 以下同解法1（略）.

解法5  如图6（“K”型2），作FK⊥x轴于点K，JE⊥FK于点J，由直线DE和直线OF联立方程，求出F

，

，所以FK=，EJ=. 由于△EFJ∽△FOK得tan∠EOF===，以下同解法1（略）.

解法4，5分析：要求点Q的坐标，只需知道tan∠EOF的值，即需要知道的值，进而转化为对应边的比值，而由求对应边的比值，自然联想到通过构造“K”型图，利用直角三角形相似性质求解.

因此，求解本题的关键是利用构造的“K”型图把边的比值进行显性转化. 这种通过“切割、构造”含已知数量关系的基本图形，寻找图形之间显性关系的问题解决过程，就是引领学生关注建构、优化基本图形模型的过程. 这对学生几何直观的应用提出了较高层次的要求，达到了考查学生几何直观的应用意识的目的.

解法6  如图7，过点O作OM⊥OE交DE于点M，直线OE的表达式为：y=x，直线OM的表达式为y=-2x，联立方程

y=-x+3，

y=-2x，解得M

-

，. 由勾股定理得OM=所以tan∠EOF=tan∠1= ==，以下同解法1（略）.

解法7  如圖8，作DG⊥OE于点G，延长DA，EO交于点H，易得∠EOF=∠1，∠2=∠3，直线OE的表达式为y=x，H（-4，-2），DH=4+2=6，tan∠2=tan∠3=，所以HG==，DG=. 所以EG=4-=. 所以tan∠EOF=tan∠1===，以下同解法1（略）.

解法8  如图9，过点E作EG⊥OB于点G，过点F作FH⊥EG于点H，因为∠OGE=∠OFE=90°，所以F，O，G，E四点共圆. 所以∠FOE=∠FGE.由直线DE和直线OF联立方程，求出F

，

，所以FH=4-=，HG=y=. 所以tan∠FOE=tan∠FGE==.以下同解法1（略）.

解法6，7，8分析：要求点Q的坐标，只需知道tan∠EOF的值，进而需要知道相等角的正切值，而由求相等角的正切值，自然联想到通过构造“K”型图（或辅助圆），利用同角的余角相等（或同弧所对的圆周角相等）找到相等角的正切值.

因此，求解本题的关键是利用构造的“K”型图（或辅助圆）把角的正切值进行显性转化. 这种通过基本图形“构造”还原，显化图形之间角的正切值关系的解法，为建构、优化基本图形指明方向，能有效考查学生的几何直观能力.

2. 第（3）问①小问的多解过程

解法1  因为动点P，Q同时做匀速运动，所以s关于t成一次函数关系. 设s=kt+b，将t=2，

s=2和t=4，

s=5 代入得

2k+b=2，

4k+b=5，解得

k=

，

b=-，所以s=t-.

解法1分析：要确定s关于t的函数表达式，先要确定函数的类型，由动点P，Q同时做匀速运动，可知该函数为一次函数类型，要确定该函数的表达式需要两组独立的关于s，t的数据，根据第（2）问所求的点Q坐标，易获得所需的数据. 求解本题的关键是利用已知条件动点P，Q的运动特征确定函数类型，这种通过两个变量之间关系确定函数类型的考查，直击对函数的本质意义的理解.

解法2  当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，可知，当点P从AO中点运动到点O时，点Q从C运动到Q，所以CQ=CQ=3，QQ=. 所以===，于是有=，即s=t-.

解法3  设从起点到任意时刻运动时间为a，从起点到终点运动时间为b，s=-，t=，化简得s=t-.

解法2，3分析：要确定s关于t的函数表达式，只需找到变量s，t之间的数量关系的等式，由动点P，Q均匀速运动及时间相同，可知动点P，Q的速度比等于路程比（或点P，Q的路程=速度×时间），因此易获得s，t之间的数量关系的等式. 求解本题的关键是利用动点P，Q的运动规律找到变量s，t之间的关系，这种通过数量关系确定表达式的方法能更好地完善求函数表达式的途径.

教学建议

1. 核心素养导向，引导教学转向

在选取教材图形作为本题原形时，应基于该图形所承载的考查核心素养（直观想象、运算能力、逻辑推理、数学建模等）的功能，考虑评价其反拨教学的作用. 这就要求命题人要把以“知识立意”“能力立意”的教育转为以“知识为基、能力为重、素养导向”的素养教育.

学生通过解决具有素养导向的创新情景的综合性问题，能有效地融会不同知识. 此外，以素养为导向的创新情景，有利于激发学生创造性地思考问题、解决问题.

2. 活用基本图形，培养目标意识

基于以上解法可知，通过围绕明确的解题目标，活用基本图形（如三角形全等、三角形外接圆、“K”型图、新矩形等），使得本题的解法丰富多样，思维容易形成. 此外，由于此题还考查了复杂运算的能力，这就对初中学生的运算能力提出了较高的要求. 若学生还没达到相应的要求，将导致其不能熟练驾驭复杂运算、基本图形. 因此，在平时教学中，教师要重视解题目标的确立和基本图形的形成过程. 通过经历解决问题全过程，积累为目标而运算的经验，为培养良好的解题目标意识奠定基础.

3. 积累函数建模经验

本题强化对一次函数刻画匀速运动模型的考查，精确描述运动问题需要确定出发点、终点，运动速度、时间等关键要素. 本题创新之处在于可直接利用的信息非常有限，一是两个变量（s，t）做匀速运动，二是已知终点位置. 因此平时教学应展示运动全过程，从两个变量的变化规律、数量关系入手，助力学生确定函数类型、表达式. 这一整个过程就是有效地积累函数建模经验的过程.

总之，压轴题常承载着核心素养导向，突出数学思想方法. 课本练习题的创新应用也许能成为以核心素养为导向的一大新的应用方向.