走进复合图形，深度探索思考

周银生

[摘  要] 复合图形问题在中考中十分常见，问题图像通常将众多几何要素融合在一起，造成线条错综复杂. 问题解析需要把握特性，提取模型，利用知识定理转化. 同时该类问题的解法不一，可从不同视角切入. 下面结合一道中考题开展解法探究，并提出相应的建议.

[关键词] 复合图形;动态;模型;最值

几何压轴题往往图形丰富、结构复杂，涉及众多的几何模型，从不同视角分析可以获得不同的结论，下面深入探究2021年重庆市B卷的几何综合题.

走进考题

考题  （2021年重庆市B卷第26题）在等边三角形ABC中，已知AB=6，BD⊥AC，垂足为D，E是AB边上的一点，F为直线BD上的一点，连接EF.

（1）将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG.

①如图1所示，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长;

②如图2所示，点E不与点A和B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH=BF;

（2）如图3所示，当E为AB中点时，M为BE中点，点N在边AC上，且DN=2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积.

命题点评  本题目为典型的以图形变换为背景的中考动态压轴题，考题共设三问，问题逐步推进，首先确定特殊情形，递进到探索变化中的不变关系，然后深入探究变化中的最值. 问题充分体现了“变中有定”、“变中有最”的几何动态理念. 同时采用阶梯式的设问方式，能够考查学生的基础知识，也能考查学生的综合能力，可起到选拔学生的效果.

解题探究

考题三问的图形各自独立，又具有一定的联系，解题探究建议采用分步突破的策略，立足问题图形，把握考点，探索解题思路.

第一步——把握特殊状态

第（1）题的①问设定点E与点B重合，属于特殊情形，整个图形的结构是确定的，不含动点，则图形中的几何要素均可求出. 要求DG的长，通常将目标线段放置在直角三角形中，通过解直角三角形的方式来求得. 因此可连接AG，构造Rt△ADG.

连接AG，如图4所示，将DG放置在△ADG中，由题意可得∠ABD=∠CBD=30°，则∠BCF=∠ACF=30°，∠CBG=90°，故CG垂直平分线段AB，从而可得AG=BG=2. 同时可证△CBG≌△CAG，则∠DAG=90°，即△ADG为直角三角形，又知AD=3，由勾股定理可得DG=.

评析  该问属于确定性分析题，属于动态图形的特殊状态. 上述解法的核心是“三线合一”和解Rt△ADG，即根据等边三角形性质推导角度关系，利用“三线合一”定理实现“等角”向“垂直”的转化，进而识别图形中的直角三角形，借助勾股定理来破解.

第二步——探索变化规律

第（1）题的②问为一般状态，图中涉及了几何变换，解析时需要识别或构造基本图形，通过线段转化来证明其中隐含的不变关系.

过点F分别作AB和BC的垂线，设垂足分别为K和T，如图5所示，可证Rt△BFK≌Rt△BFT，由全等性质可得FK=FT，BK=BT. 又知∠EFH=∠KFT=120°，可得∠EFK=∠HFT，从而可证Rt△EFK≌Rt△HFT，则可推得EK=HT，所以BE+BH=（BK-EK）+（BT+HT）=2BT=2BF·cos30°=BF.

评析  上述为动态变换中的一般形式，没有设定点E的位置，显然需要探索几何变换中的一般规律. 解析过程需把握BD是∠ABC的平分线的特性，构建双垂直关系，逐步通过证明三角形全等来推导线段关系. 从所证明的线段关系来看，涉及三条相关线段，利用线段转化来简化关系是該解法的核心.

第三步——探索面积最值

第（2）题的图形结构极为复杂，将点变换与形变换充分结合在一起，动点之间有着紧密的关联，需要采用动静结合的策略，探索动态图形中的“不变”规律.

可连接DE，QM和QE，作射线MP，如图6所示. 已知D，E分别是AE和AC上的中点，M和Q分别是BE和BD上的中点，可证MQ∥DE，且有MQ=DE=，从而可证△QME为等边三角形. 又知△EFP为等边三角形，可证△EMP≌△EQF（SAS），则∠EMP=∠EQD=90°，故点P在过点M且与AB相垂直的射线MP上运动.

在射线MP的下方作∠PMI=30°，与BD的交点设为I，再过点P作射线MI的垂线，设垂足为R，则NP+MP=NP+PR. 再作NR′⊥射线MI于点R′，与射线MP交于点P′，如图7所示，则NP+MP=NP+PR≥NR′. 分析可知，当且仅当N，P，R三点共线时等号成立，所以当点P与P′重合时，NP+MP取得最小值NR′. 易证MI∥AC，MI=BM=，BI=，DI=BD-BI=. 四边形DIR′N为矩形，所以IR′=DN=2，NR′=DI=，MR′=MI+IR′=，从而可得P′R′=，P′N=NR′-P′R′=，所以S=DN·NP′=.

评析  上述是关于几何三角形的面积最值探究，基于点运动分析，通过局部与整体变换确定点P的运动轨迹，然后通过构造特殊角，借助正弦来处理其中的含系数线段和，最终借助“垂线段最短”原理来探究最值. 整个过程是“瓜豆原理”与“胡不归”模型的结合，即利用“瓜豆原理”探寻动点轨迹，利用“胡不归”模型来处理含系数线段和. 对于几何中的模型化问题，理解模型背后的原理是关键.

解法再探

上述对一道几何复合问题进行了解法探究，问题图形较为复杂，突破过程主抓图形特征，结合模型及几何原理构建解题思路. 对于复合图形问题，往往解析方法不唯一，从不同视角切入，可以获得不同的解题效果，下面对解法再探究.

1. 再探线段DG的求法

（1）题第①问求DG的线段长，可过点G作BD的垂线，设垂足为L，如图8所示. 则可将DG放置在Rt△GDL中. BD为等边三角形ABC的高，BD=3. 分析可证∠GBC=90°，∠GCB=30°，则可求得BG=2. 在Rt△GBL中，已知BG=2，∠GBL=60°，则可求得GL=3，BL=，所以DL=2. 在Rt△GDL中运用勾股定理可求得DG=.

2. 再证线段和关系

（1）题第②问证明线段关系，其中含有系数，核心解法是转化线段和，在三角形中构建线段关系. 可在射线BC上取点E′，连接E′F，使得∠BFE′=120°，如图9所示. 则BF=E′F，∠BFE=∠E′FH，结合∠EFH+∠EBH=180°，可证∠BEF=∠E′HF，所以△BEF≌△E′HF. 所以BE=E′H. 所以BE+BH=E′H+BH=BE′=BF.

3. 再探面积最值

上述对第（2）题采用“瓜豆原理”+“胡不归”模型的策略来求最值，其中点P的运动轨迹是突破的难点，实际上挖掘图像中的“隐线”可避开分析点P的运动轨迹，同样可以求面积最值，解析过程如下.

对于本题中，动点P可视为是动点F绕点E逆时针旋转60°所得，将与目标有关的点作相应的反向旋转，串联条件，即可求解. 如图10所示，分析可知△MEQ，△ADE，△NEN′均为等边三角形，分析可证△AEN′≌△DEN（SAS），故AN′=DN=2，∠EAN′=∠EDN=120°，从而AN′∥BC.

过点F和N′分别作射线MQ的垂线段，垂足分别为R和R′，设N′R′与射线BQ交于点F′，如图11所示，则N′F+QF=N′F+FR≥N′R′，当且仅当点N′，F，R三点共线时等号成立. 所以当点F与F′重合时，N′F+QF取得最小值N′R′，再作AK⊥射线MQ于点K，则AM=，MK=，AK=，QM=EM=，QK=. 又可证四边形AKR′N′为矩形，故N′R′=AK=，KR′=2，QR′=，从而可得F′R′=，N′F′=，从而可求得S.

解后反思

上述对一道复合图形综合题进行了解法探究，通过图形分析、提取，构建了解题思路，下面进行深入反思.

1. 关注问题条件，把握图形构造

复合图形问题最为显著的特点是几何元素众多，线条交错纵横. 理解题干信息，把握圖形构造是解题突破的关键. 故解题时建议分两步进行，首先梳理题干条件，理解其中的逻辑关系，然后结合图形深入剖析，体会图形构造的过程. 需要特别关注其中的垂线、角平分线、垂直平分线等，这些信息是后续特殊图形提取、等角转换、等边推导的关键.

2. 提取几何特性，构建特殊模型

复合图形问题的解析过程较为复杂，提取特性、构建模型则可以简化解题过程，提高解题效果. 同时模型所蕴含的数学原理对于提升数学能力极为有利. 如上述问题中利用“三线合一”，构造直角图形求线段长，利用“等角互补”结构，构建旋转模型求证线段的关系，求面积最值时又引入了“胡不归”模型. 因此解题过程要注意挖掘几何特性，合理提取几何模型，利用模型结论来转化条件.

3. 学习数学思想，提升综合素养

复合图形问题的突破过程同样也是思想方法的融合过程，无论是条件转化、辅助构图，还是讨论分析、思路探索中均需要用到数学的思想方法. 以上述考题为例，其中隐含了数形结合、化归转化、模型构造等思想，利用数形结合理解题干条件，把握图形结构，化归转化中构建条件关联，转化几何要素，结合构造思想重塑图形，实现问题的简化突破. 解题探究要重视思想方法，理解思想内涵，总结运用技巧.