问题解法探索，多样变式探究

马东松

[摘  要] 多函数几何题是初中数学的重要题型，建议充分把握函数与几何的关联，结合问题特征进行突破. 教学中应合理拓展解法及变式问题，使学生充分认识问题，掌握解题策略. 文章将对一道多函数几何题展开探究，并进行教学实践反思，提出相应的建议.

[关键词] 多函数;几何;分步;解法;变式

函数综合是中考和模考常见的压轴题命题形式，往往将曲线与直线、图形融合在一起，综合考查函数图像的位置关系及函数背景下的几何模型构建，下面深入探究.

问题呈现，分步探究

1. 问题呈现

问题：在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-x+3的图像与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. 抛物线的解析式为y=-x2+bx+c，点A和B位于抛物线上.

（1）试求抛物线的解析式;

（2）如图1所示，点M（m，y1），N（n，y2）是第一象限且位于抛物线上的两个动点，有m<n. 分别过点M和N作MC和ND垂直于x轴，设与直线AB的交点分别为C和D.

①若四边形MNDC为平行四边形，试求m与n之间的关系;

②在①条件成立的前提下，设四边形MNDC周长为L，试求L的最大值;

（3）如图2所示，设抛物线与x轴的另一交点为A′，分析在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得∠APA′=∠ABO？若存在，请写出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

2. 分步探究

本题目为二次函数与一次函数综合题，其中融合了平行四边形，问题解析要把握函数图像上的关键点，由交点作为突破口求解析式，利用点距离探求线段长，把握线段、图形中的几何性质，转化角度模型.

第（1）问求抛物线的解析式，核心解法是待定系数法，由一次函数解析式可求点A和B的坐标，将其代入抛物线的解析式即可求解. 可求得点A（4，0），B（0，3），代入y=-x2+bx+c中，可得-42+4b+c=0，

c=3， 解得b=，c=3，所以抛物线的函数表达式为y=-x2+x+3.

第（2）问构建了平行四边形MNDC，其中边MC和ND平行于y轴，所涉两问分别探究坐标参数m和n的关系，以及周长的最大值，解析时要构建点坐标、线段、几何特性之间的关联，利用函数性质分析最值.

①四边形MNDC为平行四边形，已知MC∥ND，则MN∥CD. 如图3，过点N作MC的垂线，设垂足为点E，可证△NEM∽△AOB，由相似性质可得=. 设点Mm，-m2

+m+3，点Nn，-n2

+n+3，可推得线段ME=-m2+n2+（m-n），NE=n-m，代入比例关系可得=，解得m+n=4.

②平行四边形MNDC的周长可表示为L=2（NM+MC），需分别求NM和MC的线段长. 在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=5. 可知∠MNE=∠OAB，则cos∠MNE=cos∠OAB，在对应三角形中构造三角函数值模型，则=，代入线段长可得=，则MN=（2-m），而MC=-m2+m+3-

-m+3=-m2+4m，所以L=2（NM+MC）=-2m2+3m+10= -2

m-2+. 分析可知，当m=时，L可取得最大值，且最大值为.

第（3）问为等角存在性问题，总体上采用“假设—验证”法. 其中∠ABO为定角，点P是抛物线对称轴上的点，则其横坐标xP=. 点A′是抛物线与x轴的另一交点，由条件可得点A′

-，0，对于其中的等角关系，可转化为所涉三角形的相似关系. 需要讨论点P位于x轴上方和x轴下方两种情形.

①当点P位于x轴的上方时，过点A作A′P的垂线，设垂足为点E，如图4所示. 由于∠APA′=∠ABO，∠AOB=∠AEP=90°，则△AOB∽△AEP，由相似性质可得==. 令PE=3m，AE=4m，则AP=A′P=5m，A′E=2m. 在Rt△AEA′中使用勾股定理，可得A′E2+AE2=A′A2，代入线段长则有（2m）2+（4m）2=

4+2，整理可得m2=×

2，所以yp==.

②根据对称性可知，在x轴的下方有对称的点P，此时点P的纵坐标为-.

综上可知，在抛物线的对称轴上存在满足条件的点P，其坐标分别为

，和

深度探究，拓展变式

上述对一道多函数综合题进行了解法探究，所涉三问涉及函数与几何的众多考点，问题具有代表性，深入探究有助于解题能力的提升. 下面对核心之问开展解法拓展及变式探究.

1. 把握性质定理，构建多样思路

上述考题的第（2）问中构建了四边形，属于函数背景下的四边形探究题，其中①问分析四边形为平行四边形时参数m与n之间的数量关系，实则考查的核心是平行四边形性质定理. 原解法构建了相似三角形，串联线段长与点坐标，其核心定理是“平行四边形的对边分别平行”，即其中的平行关系，以及由平行衍生的等角是思路构建的核心. 故对于本题目，还可以把握函数背景中与平行、等角关联的知识来构建思路.

（1）构建思路1：平行线函数解析式的k相等

四边形MNDC为平行四边形，则MN所在直线与直线y=-x+3相平行，即兩直线解析式的k值相等，可设MN的解析式为y=kx+b，则k=-. 设点Mm，-m2

+m+3，点Nn，-n2

+n+3，结合公式可知=-，解得m+n=4.

（2）构建思路2：等角的三角函数值相等

参考原解法的构图思路，根据其中的平行关系可推知∠NME=∠MCB=∠ABO，则等角的三角函数值相等，显然tan∠NME=tan∠ABO. 在Rt△ABO中，有tan∠ABO=. 设点Mm，-m2

+m+3，点Nn，-n2

+n+3，在Rt△NME中，ME=-m2+n2+（m-n），NE=n-m，则tan∠NME===，同样可解得m+n=4.

2. 把握问题本质，探索多样变式

上述考题的第（3）问为等角存在性问题，上述基于等角构建了相似直角三角形模型，并结合勾股定理来构建线段关系，本质上就是函数与几何问题中的相似关系. 对于该问题还可以依托知识核心进行拓展变式.

（1）拓展变式1——构建相似图形

变式1：设抛物线与x轴的另一交点为A′，点P是抛物线对称轴上的动点，连接A′P，再过点A作A′P的垂线，设垂足为点E，如图5所示. 分析是否存在点P使得△AOB∽△AEP？若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

点拨：变式1为相似三角形存在性问题，与原问题本质上是一致的，且相对较为简单，可根据△AOB的边长比例来设定△AEP的边长，进而结合勾股定理完成求解.

（2）拓展变式2——构建面积比例

变式2：设抛物线与x轴的另一交点为A′，点P是抛物线的对称轴上的点，连接A′P，再过点A作A′P的垂线，设垂足为点E. 若△AOB∽△AEP，试求△AEP的面积.

点拨：变式2中构建了相似三角形，求△AEP的面积，是对原问题的深度变式. 显然需要确定点P的坐标，推导相似三角形的面积比，进而求出三角形的面积. 故分步突破：确定点P坐标→构建面积比→求三角形面积.

解后反思，教学建议

上述深度探究了一道多函数综合题的解法，并进行了多解探究和问题变式，有助于深度认识问题，掌握问题的突破思路，同时探究策略有一定的参考价值，下面基于教学进一步反思.

1. 关注问题本质，定位知识考点

上述是一道多函数综合题，其中涉及了一次函数、二次函数，并融合了平行四边形、三角形等基本图形. 总体来看，所涉三问立足函数与几何的联系，充分开展问题探究. 对于该类型压轴题，解析过程中要关注问题本质，定位知识考点. 以上述第（2）问为例，分别探究四边形为平行四边形时的坐标参数关系以及图形周长的最值，前一问本质就是点坐标与线段平行的关系，后一问则是构建线段函数. 把握问题本质，准确定位考点，有利于分析破题方法.

2. 深度探索解法，变式拓展思考

解题探究的关键环节是探索解法，变式思考，即立足考题思考破题方法，并适度拓展，包括对解法的拓展和问题变式的拓展. 如上述探究平行四边形中坐标参数关系时，从平行与三角形相似、平行与函数解析式k值的关系、平行等角与三角形函数值三大视角进行了探究，形成了不同的突破思路;同时对第（3）问的等角存在性问题进行了合理變式，形成了函数与几何的典型问题. 解题教学时建议引导学生深度反思问题及解法，引导学生从不同视角认识问题，总结解题方法，可结合“一题多解”“多题一解”“一题多变”来开展解题教学，充分发挥考题价值，激发学生的数学思维.

3. 关注数学思想，提升综合素养

多函数几何题的破解过程往往需要利用众多的数学思想，如上述问题总体上使用了数形结合、化归转化，求平行四边形中的参数关系时涉及方程思想，求平行四边形周长最值时用到了函数思想和模型思想. 正是在数学思想的指导下学生完成了条件转化、思路构建. 数学思想是解法方法的精髓所在，对于提升学生的思维能力、数学素养有着极大的帮助. 教学中建议立足问题解法，反思数学思想，让学生在解题中感悟思想方法，理解方法内涵. 同时可依托考题指导学生掌握思想方法的使用技巧，如数形结合思想中的“以数释形”“数形对照”，模型思想中的构建几何模型、函数模型等.