引例分析提模型，解读拓展探应用

丁杰

[摘  要] 正方形及矩形中的“十字架垂直”模型在数学几何中十分常见，虽然模型结构简单，但其转化策略及模型结论有着广泛的应用. 文章将对一道引例加以分析并提炼解读模型，结合实例拓展应用，提出相应的教学建议，与读者交流.

[关键词] 正方形;垂直;十字架;模型;变式

引例探究

例题  如图1所示，已知正方形ABCD的边长为4，点E和F分别是边AD和AB上的点，且DF⊥CE，回答下列问题.

（1）求证：DF=CE;

（2）若点F是边AB的中点，试连接BG，证明BG=BC，并求出此时sin∠GBC的值;

（3）分析点F运动过程中，BG的最小值.

解析  （1）由于DF⊥CE，则△DEG为直角三角形，则∠EDG+∠DEG=90°，四边形ABCD为正方形，则∠ADF+∠AFD=90°，可推知∠DEG=∠AFD，结合AD=DC，∠A=∠EDC=90°，可证△ADF≌△DCE，由全等性质可得DF=CE.

（2）设定点F为AB的中點，可通过精准计算线段长来证明等线段.

解法1  过点G作BC的垂线，设垂足为点I，如图2所示. 可证图中除△BGI外，其余的直角三角形均为相似关系，且三边的相似比均为1 ∶ 2 ∶ ，进而可计算出BI=，GI=，由勾股定理可得BG=4，可证BG=BC. 在Rt△GBI中，sin∠GBC=sin∠GBI==.

解法2  DC长为定值4，所对∠DGC=90°为定角，结合“定弦定角”模型可知，其中含有隐形圆，即点G位于以DC为直径的圆上，设圆心为M，连接GM，如图3所示. 可证BG和BC均为☉M的切线，由切线长相等可得BG=BC=4. 连接BM，可得∠GBC=2∠MBC，而在Rt△MBC中，可得tan∠MBC=，进而可推得sin∠GBC=.

（3）点F是AB上的动点，但垂直条件DF⊥CE不变，故点G的轨迹依然是以DC为直径的半圆，显然当点G为BM与☉M的交点时，BG的长度最小，此时BG=BM-r=BM-DC=2-2，即BG的最小值为2-2.

引例解读

上述引例探究正方形中的几何关系，所涉问题的核心特征有两个：一是四边形ABCD为正方形;二是DF⊥CE. 从外形来看，可视为是正方形中的“十字架垂直”结构，即初中数学常见的“十字架”模型. 该模型常见的类型有两种：①正方形中存在两条十字交叉垂直的线段;②矩形中存在两条十字交叉垂直的线段. 围绕“十字架”模型可以推导出一些较为实用的结论，合理利用结论可提升解题效率，下面深入探究模型的拆解方式，并探究模型结论.

模型1：正方形中的“十字架垂直”模型

引例中所给出的“十字架垂直”模型是一种特殊形式，在图形中构建三角形全等关系可直接证明“十字架”所对应的两条线段等长. 而图4是该模型的常规结构，即在正方形ABCD中有EF⊥HG，若要证明EF和HG的长度关系，则需另外构建模型.

思路  基本策略依然是利用全等三角形对应边相等的性质，可采用平移变换的方式来构建三角形，作图过程如下.

过点A作GH的平行线，与DC的交点为M，再过点B作EF的平行线，与AD的交点设为N，如图5所示. 根据正方形中的平行性质，可得HG=AM，EF=NB，即只需探究NB和AM的线段长度关系即可. 而变形后的图形与上述引例图形相一致，只需证明△AMD≌△BNA，由全等性质可得NB=AM，进而可证EF=HG.

模型2：矩形中的“十字架垂直”模型

若将背景更换为矩形，则可构建矩形中的“十字架垂直”模型，在该模型中同样存在两条互相垂直的线段，但显然由于矩形的边长不等，线段便不再相等，下面结合具体图形来探究. 在图6所示的矩形ABCD中，有EF⊥HG，探究线段EF和GH的长度关系.

思路  EF和GH不具有相等关系，采用类比思维，正方形背景下线段关系与正方形的边长相关，则矩形背景下可能与矩形的两条边长比例相关. 可以考虑采用“几何平行+三角形相似转化”的策略，即通过平移形成闭合三角形，然后证明三角形相似，由相似性质来证明.

过点A作GH的平行线，与DC的交点为M，再过点B作EF的平行线，与AD的交点设为N，如图7所示. 根据平行性质，可得HG=AM，EF=NB，且AM⊥BN. 由∠ABN=∠MAD，∠D=∠BAN，可证△ADM∽△BAN，由相似性质可得BN ∶ AM=AB ∶ DA，即EF ∶ GH=AB ∶ AD.

总结拓展

1. 模型总结

“十字架垂直”模型的结构特点极为鲜明，主要有上述两种结构，即正方形和矩形中的两条十字交叉垂直线段. 该类模型的基本破题策略可概括如下：对两条相互垂直的线段进行平行，构建封闭的三角形，然后证明相关三角形全等或相似. 通常有如下对应结论：

①正方形的“十字架”模型中，两条互相垂直的线段长度相等;

②矩形的“十字架”模型中，两条相互垂直的线段的比等于矩形的长宽之比.

2. 拓展探究

“十字架垂直”模型的解析策略和模型结论在解题中有着广泛的应用，合理利用可有效转化条件，显著提升解题效率. 应用时需要同时满足模型的两大特征条件，而模型应用有两种思路：一是直接利用模型中与线段相关的条件，二是巧妙利用模型解析的策略，即通过全等或相似转化来推导条件. 对于隐藏模型的问题，实际解题需分两步进行：第一步，补全或挖掘模型，提取“十字架垂直”模型;第二步，利用模型的结论或转化策略求解问题. 下面结合实例探索应用.

应用1：直接利用模型结论

例1  如图8所示，已知正方形ABCD的边长为24 cm，折叠正方形使得点A落在DC边上的点E处，压平后的折痕为FG，如果FG的长为25 cm，则线段CE的长为______.

解析  连接AE，由折叠性质可知折痕FG和AE为垂直关系，故问题图形满足“十字架垂直”模型，由模型性质可知AE=GF=25 cm. 而在Rt△ADE中，已知AD=24 cm，AE=25 cm，由勾股定理可得DE=7 cm，所以CE=CD-DE=17 cm.

评析  在上述题目中，虽没有直接指明图形满足“十字架垂直”模型，但结合折叠特性，连接对应点即可获知正方形中存在两条交叉垂直的线段，故可直接利用模型结论来推导线段关系.

应用2：巧用模型补全策略

例2  在图9所示的四边形ABCD中，已知∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M和N分别位于BC和AB上，试求DN和AM的比值.

解析  本题目中以普通四边形为背景，其中存在交叉线段垂直关系，则可以考虑采用补全模型的策略，即依托交叉垂直线段构建矩形.

过点D作AB的平行线，与BC的延长线交于点E，再过点A作AB的垂线，与DE的延长线交于点F，再连接AC，如图10所示. 根据已知条件可得△ADC≌△ABC，可证△ADF∽△DCE，由相似性质可得DE ∶ AF=DC ∶ AD=1 ∶ 2. 设DE=x，则AF=2x，DF=10-x. 在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2，可解得x=4，所以AF=2x=8，进而可推得DN ∶ AM=AF ∶ AB=4 ∶ 5.

评析  上述问题中虽没有直接显现出矩形中的“十字架垂直”模型，但可以通过模型补全的方式，构建出矩形，进而利用矩形背景中模型的解析策略来转化条件.

解后反思

模型探究是初中数学教学的重要环节，有助于学生能力的提升，而在实际教学中建议关注教材，循序引导，重视拓展，下面提出相应教学建议.

1. 關注教学模型，认识模型结构

上述对正方形及矩形中的“十字架垂直”模型进行了探究，实际上所涉模型源于教材习题，是基础图形中的特殊结构. 虽模型简单，但其中隐含的转化策略和特殊结论有着极高的价值，可有效提升学生的解题能力. 教学中要引导学生关注教材习题，注重模型提取，特征总结，尤其是总结模型中的基本结构，如上述模型中交叉线段的构建方式，线段的垂直关系. 通过结构分析、特征总结来使学生认识模型.

2. 循序引导深入，挖掘模型本质

模型探究建议采用“由浅入深、循序引导”的策略. 上述模型是基于特殊图形、特殊三角形关系所构建的，并隐含了线段平移或补全的建模方式，其中的“图形与关系”是对全等三角形、相似三角形等知识的重现，而“平移与补全”是对图形运动、动态变换的突出体现. 教学中建议首先引导学生重温三角形的特殊关系，掌握全等及相似的证明方法;然后开展模型探究，关注模型的本质、结构;最后将模型与图形运动相关联，形成模型构建、解析转化的策略.

3. 拓展迁移模型，提升数学思维

迁移模型有助于强化模型应用、拓展学生思维. 实际探究中建议引导学生体验模型的证明过程，在此基础上开展模型迁移，如从“一线三直角”的视角认识模型，从辅助线构建方式的角度总结模型，从模型结论与图形结构的视角分析模型. 教学中注重学生的思维培养，采用由特殊到一般的探究方法，引导学生合理讨论、充分思考，使学生在自主探究中掌握模型、再生应用，获得思维升华.