教材：取之不竭的试题宝库

[摘  要] 教材不仅是课堂教学的知识载体，同时也是命题工作的资源宝库.教师命题时要重视教材资源的再开发，依托教材而不拘泥于教材.教师要善于利用教材，基于教材，直接出新;情境改编，推陈出新;关注模型，迁移出新;抓住本质，归真出新.

[关键词] 高考命题;教材资源;经典赏析;命题实践

高考命题秉承“原创为主，改编为辅”的格调，改编题目注重“源于教材，高于教材”. 教材中，知识建构过程中依托的情境与载体、蕴含的思想与方法，以及训练巩固过程中的练习试题、阅读材料、知识链接等素材，均可成为新试题产生的有效资源. 可以说，教材就是一座取之不竭的试题宝库. 文章以人教A版和苏教版教材为例，结合对高考试题的理解及笔者的命题实践，谈谈教材资源的再开发与应用.

[⇩] 基于教材，直接出新

高考试题，基本上可以在教材中找到题源，当然有的可能经过了很多层次的综合和深化，而有的可能就是直接基于教材习题进行考查. 这需要教师用联系的观点去看待教材中的各种素材，寻找它们之间的内在联系，并进行巧妙的整合，从而形成耳目一新的试题.

1. 经典赏析

【高考真题】

题1：（2021年新高考Ⅰ卷第10题）已知O为坐标原点，点P（cosα，sinα），P（cosβ，-sinβ），P（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），则（  ）

A.

=

B.

=

C. ·=·

D. ·=·

【教材链接】

题2：（人教A版必修2第35页例12）用向量方法证明两角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

【高考真题】

题3：（2021年八省联考第13题）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________.

【教材链接】

题4：（人教A版必修2第154页例6）推导棱台的体积公式V=h（S′++S），其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h是高.

命题方法分析：从两道高考试题的命题方式来看，两道题都是基于教材例题开发的. 教材的两道原型题都是例题，都是对公式的推导，都需要学生从本质上理解和掌握公式的推导过程，并能够灵活应用. 试题的呈现形式、命题方式具有连续性，让学生学有方向，让教师研有方法. 命题方式看似简单，但彰显的是一种用联系的观点看问题的数学眼光.

2. 命题实践

题5：（2021年南通市市直高三期中调研第8题）由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式. 一般地，存在一个n次多项式P（t），使得cosnx=P（cosx），这些多项式P（t）称为切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）多项式.

例如：cos2x=P（cosx）=2cos2x-1，记作P（t）=2t2-1. 利用P（t）求得sin18°=（  ）

A. B.

C. D.

题6：（2021年南通市市直高三期中调研第16题）如图1，将矩形纸片ABCD的右下角折起，使得点B落在CD边上点B处，得到折痕MN.已知AB=5 cm，BC=4 cm，则当tan∠BMN=______时，折痕MN最短，其长度的最小值为______cm.

命题方法说明：以上两道题的原型题均出自苏教版必修第二册教材. 题5的原型题是教材第79頁的第19题，是一道阅读题. 笔者只是对给出的条件做了一个更明确的说明，题5的设问方式和所求结论与教材的第19题完全一致. 题6的原型题是教材第67页的第10题，笔者只是将图形以学生更易理解的方式给出的，简单调整了原型题的数据，并以一题双空的形式呈现了试题，题6考查的本质与教材的第10题却是一致的. 基于教材，直接将教材中的题目稍微包装后进行考查，试题既可以考查学生的数学能力，又可以让学生在考试中产生似曾相识的亲近感.

[⇩] 情境改编，推陈出新

命题时，选择合适的问题情境是考查学生数学学科核心素养的重要载体.情境包括现实情境、数学情境、科学情境，每种情境可以分为熟悉的、关联的、综合的[1]. 教材里提供了丰富多彩的情境资源，这些资源具有典型性、可延伸性，具有很大的挖掘空间. 通过这些情境的再开发，设定特定的问题，可以引导学生展示数学理解力，满足学生自主探究的欲望，开阔学生的数学视野.

1. 经典赏析

【高考真题】

题7：（2020年新高考Ⅰ卷第4题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间. 把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面. 在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（  ）

A. 20° B. 40°

C. 50° D. 90°

【教材链接】

题8：（人教A版必修1第256页第27题）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.

如图3，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点的纬度，φ为当地的纬度值，那么这三个量满足θ=90°-φ-δ. 某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值）. 下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：

请根据数据完成上面的表格（计算结果精确到0.0001）.

命题方法分析：比较高考试题和教材习题可以发现，高考试题的情境与教材习题的情境实质上是一致的，只是教材中给出的是平面图，而高考中给出的是立体图，需要学生先将三维空间平面化.平面化后，只要将太阳光的直射方向调整为和赤道平面平行，此时的太阳光线所在的平面即为高考试题中的晷面所在的平面，两题的本质就完全一致了. 教材中，这道题是一道探究题，探究题往往就是一个引子，由此及彼，由浅入深，由现象到本质.教学中，教师如果不浅尝辄止，而是进一步挖掘、开发这类探究题的教育价值，那么这样的高考试题对学生来说，应该是手到擒来的事了.

2. 命题实践

题9：（2021年南通市市直高三期中调研第12题）在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点M在线段AD上，点N在线段BD上，则（  ）

A. 当M为AD的中点时，AC⊥MN

B. 当MN∥平面CCDD时，AM=BN

C. 当N为BD的中点时，三棱锥C-BMN的体积为

D. 当M为AD的中点时，以M为球心，MN为半径的球被平面BBDD截得圆的面积的最小值为

【教材链接】

题10：（苏教版必修2第174页第6题）将一本书打开后竖立在桌面α上（如图4），P，Q分别为AC，BE上的点，且AP=BQ，求证：PQ∥平面α.

命题方法说明：该考题的命制，实质上就是借助于教材习题的情境，将原情境中的两个半平面变成了特殊的垂直关系，然后再特殊化，将它补成了正方体. 两个动点在对角线上运动是该题的灵魂，笔者将它迁移，再适当增设条件形成了考题，利用好教材中数学情境的亮点是解题关键.

[⇩] 关注模型，迁移出新

在数学学习中，深刻理解一些特定的数学模型，掌握这些模型的结构、特征、功能、变式，有助于学生学会迁移，举一反三[2]. 对于教师来说，依托典型的数学模型，适当改变模型的呈现方式，可以开发出新的问题.

1. 经典赏析

【高考真题】

题11：（2019年江苏高考第17题）如图5，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a>b>0）的焦点为F（-1，0），F（1，0）. 过F作x轴的垂线l，在x轴上方，l与圆F：（x-1）2+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D. 连接AF并延长交圆F于点B，连接BF交椭圆C于点E，连接DF.已知DF=.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）求点E的坐标.

【链接教材】

题12：（苏教版选择性必修1习题）已知点N（2，0），圆M：（x+2）2+y2=36，点A是圆M上一个动点，线段AN的垂直平分线交直线AM于点P，求点P的轨迹方程.

命题方法分析：比较高考试题和教材习题可以发现，两道题都结合了图形的几何特征，很好地将圆的定义和椭圆的定义融为一体. 这里的定义即一种模型. 在教材习题中，可通过平面几何特征发现内在的数量关系，再结合定义发现隐形的轨迹——椭圆;而高考试题则反其道而行之，将椭圆显性化，利用圆和椭圆的定义，结合题目中的数量关系，发现内隐的几何特征.

2. 命题实践

题13：（2020年南通市高三一模考试第17题）如图7，在平面直角坐标系中，椭圆E：+=1（a>b>0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点.

（1）求椭圆E的标准方程;

（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC=4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P.

①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上;

②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值.

【链接教材】

题14：（苏教版选择性必修1第87页第17题）把矩形的各边n等分，如图8，连接直线，判断对应直线的交点是否在一个椭圆上.

命题方法说明：题14以矩形为载体，通过矩形各边等分的手段产生系列点，如果将等分进行拓展，实际就是“成比例”的问题，而“成比例”的方式，又能够将系列点从“有限”拓展为“无限”，而研究这些点的特征，实质上就是研究这些动点的轨迹. 笔者借助于教材的这个模型，通过“逆向思维”以及“特殊化”的手段进行改编形成了考题.

具体来讲，题13的第①问，就是将等分点特殊化，然后结合具体的数据，给出具体的椭圆，将原来的动态问题变为了静态问题，降低了思维难度，转化为了适合学生的考题;第②问，通过“逆向思维”的方式给出曲线上的动点，再研究定点满足的几何特征，这里就出现了多种引参的方案，能有效考查学生灵活变通的能力和数学运算的能力.

[⇩] 抓住本质，归真出新

在知识的学习过程中，我们要强调知识的生成过程，强调生成过程就是强调方法，“过程即方法”，每一个定理的发现与证明都清晰地展示了一种或几种数学思想方法. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长.”数学的思想方法促使了数学试题“成群生长”.

1. 经典赏析

【高考真题】

题15：（2020年新高考Ⅰ卷第21题）已知函数f（x）=aex-1-lnx+lna.

（1）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围.

题16：（2021年新高考Ⅰ卷第22題）已知函数f（x）=x（1-lnx）.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）設a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+<e.

【链接教材】

题17：（苏教版选择性必修1第67页“问题与探究”）若点P（x，y）在圆O：x2+y2=r2外时，方程xx+yy=r2表示怎样的直线呢？

过点P（x，y）作圆O的两条切线，切点分别为A，B，设A（x，y），B（x，y），则直线PA的方程为xx+yy=r2. 因为P（x，y）在直线PA上，所以xx+yy=r2，故（x，y）满足方程xx+yy=r2，即点A在直线xx+yy=r2上. 同理，点B在直线xx+yy=r2上. 所以xx+yy=r2是直线AB的方程，即切点弦所在的直线方程.

命题方法分析：题15和题16均考查了解决一类函数问题的一种思想方法，即函数“同构思想”. 题15考查的是“同构思想”的直接应用，应用“同构思想”能达到快速解决问题的目的;题16以“同构思想”为基础，通过“同构”，起到了将复杂问题转化为学生熟悉且简单的问题的目的. 而“同构思想”源自苏教版教材的“问题与探究”.

2. 命题实践

题18：（2021年南通市市直高三期中调研第21题）在△ABC中，已知D是BC上的点，AD平分∠BAC，且AC-CD=.

（1）若AB=2BD=5，求△ABC的面积;

（2）若AB+BD=6，求AD.

【链接教材】

题19：（苏教版选择性必修2的阅读题）我们曾用组合数模型发现了组合恒等式C=C和C=C+C. 这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”. 对此，我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范[3].

命题方法说明：题18在最初命制时，第（1）问经历了多次调整，如最开始证明的是=，后来调整为BD·sin∠ABC=CD·sin∠ACB，最终将（1）（2）两问都围绕“算两次”思想展开，本题就成了“算两次”思想引领的一道典型数学题. 平时教学时，教师应立足教材，引领学生开展研究性学习，发现更多、更美的数学结论.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]  曾荣. 精解·探规·寻根·迁移：数学教师研题的四重境界[J]. 江苏教育，2021（91）：33-37.

[3]  黄锋. 一道高考试题的题源探析与拓展[J]. 中学数学研究，2021（12）：27-28.