由浅入深，见微知著，以点带面

陈沛余

[摘  要] 在发展学生核心素养的大背景下，研究者对高三一轮复习课做了一些新的尝试，充分了解学生的情况，编拟微专题，以“导数的几何意义——切线方程”为例，明确目标，由浅入深，以点带面，见微知著，提高复习效率，提升核心素养.

[关键词] 高三一轮复习;核心素养;提高效率

高三一轮复习是整个高三复习的基础和关键.高三数学一轮复习多以某本教辅为蓝本，按部就班地对知识、技能、方法等逐点梳理，以唤醒学生的记忆. 随着时间的推移，学生会对这种教学方式产生疲劳甚至厌倦，以至于一轮复习结束后学生无法牢固掌握知识，解题能力没有提高，思维停滞不前，数学核心素养的提升更是沦为空谈.那么一轮复习如何才能提高效率、提升核心素养呢？笔者尝试在一轮复习中穿插微专题复习，明确目标，对某一重点、难点或疑点进行突破.例如，在复习导数时，将“导数的几何意义——切线方程”这一学生经常出错的问题作为重点突破. 下文是笔者讲授这节课的教学实录以及教学思考.

[⇩] 教学过程回顾

1. 创设情境，回顾导数的几何意义

教师：同学们，我们前段时间学习了导数，那么导数有什么意义呢？我们先看视频（视频截图如图1所示）.

这是歼-15在辽宁舰上的起飞现场.这个视频中最激动人心的时刻是什么？是不是战斗机起飞脱离甲板的这一瞬间？飞机在甲板上滑行一定距离后必须达到一定角度才能起飞，角度怎么求呢？从侧面看，这是甲板的图像，如图2所示，建立平面直角坐标系，能得到函数解析式. 如果函数解析式是y=（ex-1），飞机在x=10处起飞，那么飞机飞离甲板的瞬间方向如何？也就是该点处的切线斜率该怎么求呢？

学生异口同声：求导！

教师：对，我们已经学习过导数了，知道可以用导数求这一点处的切线斜率.也就是说，函数y=f（x）在點x处的导数的几何意义就是曲线y=f（x）在点P（x，f（x））处的切线斜率k，那么这节课我们就来着重讲一下如何运用导数的几何意义解决切线问题.

点评：著名心理学家皮亚杰认为，一切有效的工作必须是以某种动机为先决条件的. 动机分为内部动机（兴趣、需要）和外部动机（追求激励、逃离惩罚）.  事实上，内部动机比外部动机更利于思维的开发，也就是说资源要足够引起学生的兴趣.视频中歼-15在辽宁舰上起飞非常地振奋人心，吸引学生的注意力，调动课堂气氛，一系列的问题引导学生构建导数模型解决飞机离开甲板的瞬时方向问题. 数学学习从枯燥乏味的被动接受转换为了纵横捭阖的思维游戏，学生发现导数在生活中具有实际意义，课堂的有效性也就自然地流淌出来了.

2. 尝试——解决在某点处的切线问题

题1：曲线y=ex的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为_________.

题2：曲线y=mx+lnx在点（1，m）处的切线斜率为0，则m=_____.

题3：曲线f（x）=x3+x+1在点（1，3）处的切线方程为______.

由教师板书解题过程.

教师：这3个问题比较简单，第一题已知曲线和切线斜率，求切点的横坐标，第二题已知切点和切线斜率求曲线，第三题已知曲线和切点求切线方程，所以切线问题实为切线、切点、曲线三者“知二求一”的问题（如图3所示），其中什么最重要？（学生答：切点）对，因为我们要用导数去解决切线问题，就肯定要知道某点处的切线斜率，也就是切点的导数. 所以切点是最重要的.

下面我们总结：函数在某点处，也就是函数f（x）在点P（x，y）处的切线方程是y-y=f′（x）·（x-x）.

点评：设计3道简单的在某点处的切线问题，旨在低起点、慢启动，在教师的指导下，学生通过理解、研究导数的几何意义，总结出解决函数切线问题的一般规律，提升数学逻辑推理素养.

3. 提升——求解过某点的切线方程

题4：求过点P（0，-1），且与曲线y=xlnx相切的直线方程.

教师：这个点在曲线上吗？

学生：不在，需要设切点.

教师（边讲解边板书）：对，切点知道了，斜率就知道了. 因为斜率是该点处的导数值，求导得f′（x）=lnx+1，设切点为（x，y），那么斜率k=lnx+1，由点斜式写出切线方程为y-xlnx=（lnx+1）（x-x），将（0，-1）代入切线方程得x=1，所以切线方程为x-y-1=0.

题5：求过点P（2，8），且与曲线y=x3相切的直线方程.

请学生练习，教师展示生1的解法：因为y′=3x2，k=12，所以l：y-8=12（x-2）.

教师：只有这一个答案吗？现在思考一个问题：点P（2，8）在曲线y=x3上，切线过这个点，这个点就一定是切点吗？（有学生回答“不是”，也有学生沉默表示疑惑）

通过几何画板把图像画出来，如图4所示，发现在这一点处的切线确实是存在的.

请生1上讲台，在一体机上直接拖动切线，探索是否存在过点P、但点P不是切点的切线. 如图5所示，生1通过亲身体验，发现这样的切线也是存在的，因此不能单纯地把点P当成切点.

生2：所以这题要分两种情况，一种为点P是切点，一种为点P不是切点.

教师展示生2的解答过程：点P不是切点，设切点为（x，y），则k=3x=（x≠2），即3x-6x=x-8，即x-3x+4=0. 三次方程因式分解得（x+1）（x-2）2=0，解得x=-1，x=2（舍），进而得到切线方程.

教师：我的做法是，同样设切点为（x，y），则切线方程为y-x=3x（x-x），将（2，8）代入切线方程，得三次方程x-3x+4=0，和生2一样因式分解得（x+1）（x-2）2=0，解得x=-1，x=2，因此切线方程有两个. 这样做避免了讨论.

教师引导学生一起总结：过某点的切线问题分为“点在曲线上”与“点不在曲线上”，“点在曲线上”又细分为“该点是切点”和“该点不是切点”. 做题策略为：不论什么情况，先设出切点，因为切点处的导数是切线的斜率，所以只要用导数去解决切线问题，一定会用到切点，如图6所示. 时刻牢记，切点很重要.

点评：苏霍姆林斯基说过，如果学生想牢固地掌握数学知识，必须用内心创造和体验的方法学习数学. 培养数学运算能力的关键在于“做中学”“做中悟”，即亲身体验. 过某点的切线问题设计了两个层次，一是“点不在曲线上”，可以直接设切点求解切线方程;二是“点在曲线上”，通过学生板演暴露思维误区，再利用几何画板请学生亲自动手操作，发现错误并纠正错误，提升其直观想象、逻辑推理素养，进而主动寻求真知、理清概念、正本清源.

4. 拓展——探究切线的存在性问题

探究：函数f（x）=xlnx是否存在过点

，0的切线？

学生静静思考，一时未有思路.

教师：大家对这个函数不是特别熟悉，我们先来观察图像（如图7所示），你们有哪些发现？

生3：这个函数图像是先递减再递增的，而且递增的这部分有一种向下凹的感觉，所以切线肯定在函数图像的下方，不可能经过

，0.

教师：很有道理，大家都是这么想的吗？

（学生交头接耳，小声议论）

生4：我也不确定，几何画板给出的只有这一小段图像，无穷远处无法判断.

教师：这位同学的疑问也有道理，无穷远处的情况我们可以想象吗？我们的想象一定对吗？也许无穷远处的图像是向上凸的呢？因此我们的想象不能代替结论.就算我们的想象是正确的，那么又如何证明呢？

学生：设切点！

教师與学生一起板书解答过程：设切点为（x，y），写出切线方程，将

，0代入切线方程，判断x是否存在.（详细解答过程略）

课后思考题：函数f（x）=xlnx是否存在过点（a，0）（0<a<1）的切线？

点评：本题对数学推理、数学抽象以及数学运算能力提出了较高要求. 高中数学课程标准指出：“高中数学课程应为学生提供选择和发展的空间，为学生提供多层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来的人生规划的思考.”[1]布鲁纳说过，“探索是数学的生命线”. 严谨性是学习数学最基本的要求，是思维品质的基础，在一定程度上影响着解题能力. 学生在主动探究、相互质疑中发现想象并不能代替结论，掌握知识的同时还学习了数学方法，获得了情感体验. 通过对切线存在性问题的拓展探究，教师留下的是课堂探究时间，开发的是学生的思维和素养.

5. 归纳总结，形成解题思维

回放图6，教师及时带领学生站在整体的高度进行梳理与归纳，帮助学生跳出问题，进而驾驭问题，促进学生“大彻大悟”：本节课主要学习的是，利用导数的几何意义解决切线问题的三个题型，发现切线问题本质上是曲线、切线、切点三者的关系问题，在某点处切线的斜率即为该点处的导数，因此利用导数解决切线问题的关键是切点.

[⇩] 教学反思

1. 微专题复习，由浅入深，渗透核心素养

根据高考的重点，以及高一、高二学段学生掌握知识的情况，笔者编拟了“导数的几何意义——切线方程”这一微专题，主题鲜明. 例题选取紧紧围绕考纲，设置了“在某点处的切线问题”“过某点的切线问题”“切线的存在性问题”三个层次的题型，由浅入深，促进不同层次的学生积极思考，使所有学生都有收获.坚决摒弃教师照本宣科、一讲到底的模式，让学生成为课堂的主角，从课堂引入、例题分析、几何画板动手实践、合作探究等各个环节，有目的地培养其思维的严谨性和灵活性，渗透数学建模、数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.

2. 元认知提问，见微知著，激发学习动机

动机常常是“认知不协调问题”，即一个人经历的事物与他的观念相冲突，而“认知不协调问题”常产生于问题驱动[2]. 本节课中，笔者在学生的最近发展区开展思维风暴，通过“飞机飞离甲板的瞬间方向如何？该点处的切线斜率如何求？”“切线问题中切点、切线、曲线什么最重要？”“该点在曲线上吗？这个点一定是切点吗？”“如果不是切点怎么解决这个问题？”“无穷远处的情况我们可以想象吗？我们的想象一定对吗？也许无穷远处的图像是向上凸的呢？就算我们的想象是正确的，那么又如何证明呢？”等一系列元认知提问，引发学生的认知冲突，激发学习动机，使学生通过独立思考以及合作探究解决“思维障碍”，提炼出“利用导数解决切线问题的关键点是切点”这一结论，从而完善学生的认知结构. 同时，学生认识到笔者是真诚地对他们的想法感兴趣，学习数学的幸福感自然增加了，有利于学习动机的激发与持续.

3. 思规律重归纳，以点带面，提高复习效率

本节课以“在某点处的切线问题”和“过某点的切线问题”为突破口，进行一题多变、一题多解、一法多题的训练，并适时进行知识类比、归纳推广，将切线问题的思维图多次呈现给学生，促使学生在异中求同、同中求异，带领学生对“切线的存在性问题”进行深入探究.以点带面，让学生从会解一道题，到理解一类题，再到掌握一系列题，挖掘知识本质，深化数学理解，掌握知识的规律性，摆脱“题海”，提高复习效率.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]  花奎. 微型探究揭本质，深度学习促素养——一节习题研究课的教学活动及课后调研和思考[J]. 中学教研（数学），2017（12）：4-8.