“等式性质与不等式性质”研究型单元教学

[摘  要] 为了有效地培养学生的数学学科核心素养，在基于ADE模型进行学习内容分析、学生认知分析的基础上，依据“五环十步”研究型教学模式对“等式性质与不等式性质”进行了单元教学设计.

[关键词] 研究型单元教学;ADE模型;数学学科核心素养

为了有效地培养学生的数学学科核心素养，下面先基于ADE模型进行学习内容分析、学生认知分析与学习目标设计，然后依据“五环十步”研究型教学模式[1]对“等式性质与不等式性质”进行单元教学设计. 教学用时：2课时.

[⇩] 学习内容分析

1. 知识产生的背景

现实世界中，相等是相对的，不等是绝对的. 相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系. 不等关系用不等式来表示. 面对大量的不等式，就需要研究不等式的性质. 而要研究不等式的性质，就需要寻找其推理的起点与依据.

2. 知识生长的过程与阶段

本单元知识的形成和发展主要有如下5个阶段：一是用不等式（组）表示现实世界和日常生活中的不等关系;二是明确研究不等关系和不等式性质的逻辑起点;三是类比等式性质，猜想不等式可能具有的性质;四是证明不等式性质，使之建立在逻辑推理的基础上，而不是在感觉和经验的基础上;五是运用不等式性质解决一些简单的相关问题.

3. 知识建构的策略与方法

本单元知识建构所用的主要策略与方法：一是抽象建模，即把现实中的不等关系用不等式（组）来表示;二是类比猜想，即通过类比等式的性质，猜想不等式的性质;三是公理化，即从实数大小关系的基本事实出发，使不等式性质的研究建立在演绎推理的基础上;四是转化，即把需要证明的不等式性质转化为实数大小关系的基本事实和已经证明的不等式性质;五是以形助数，即寻找不等式性质背后的几何模型，揭示数与形内在的一致性.

4. 知识之间的联系与结构

不等式基本性质是等式基本性质的拓展与推广，它与等式基本性质既有共同点，也有不同点. 数的本质与功能在于刻画事物的多少与次序. 两个实数大小关系的基本事实是数的属性的体现与反映，是对数的“多少”与“次序”的定性刻画. 这个基本事实是研究不等式性质的逻辑基础，是不等式“公理体系”中的“公理”. 与等式性质类似，不等式性质由两部分组成：一是不等关系自身的性质，如自反性、传递性;二是不等关系在运算中保持不变的性质. 不等式性质是一个相互联系、相互转化的整体.

5. 知识的要点与本质

不等式是对现实世界中不等现象的数学刻画，是式与式之间的一种关系，是实数序关系的一般化，也是刻画射线、半平面和空间区域的代数模型. 不等式性质的实质是不等式运算过程中的不变性. “数量关系的本质是‘多少’，把这样的关系一并抽象到数学的内部，这就是自然数的‘大小’关系. 因此，自然数的大小关系源于数量的多少关系，大小关系是自然数的最为本质的关系.”[2]同样，实数大小关系的基本事实是对数量多少关系的抽象.

6. 知识的学科意义与教学价值

相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、 不等式的基础. 不等式性质是进一步学习证明不等式和解不等式的基础，也是解决三角函数、数列、线性规划、解析几何等有关问题的基础. 从实数大小关系的基本事实出发，对不等式性质加以证明，是学生学习抽象、建模、逻辑推理，尤其是有条理、有依据地思维问题的极好素材.

[?] 学生认知分析

学生已经学过等式性质和一些不等式性质，也知道和理解实数之间的大小关系. 他们具有理解并运用不等式性质的基本能力. 学生在学习中会遇到下列两个难点.

难点1：如何用不等式表示现实世界中的不等现象. 为此，应引导学生用“量”来刻画和表示客观事物，并搞清楚背后蕴含的数量大小关系，进而建立不等式.

难点2：如何从实数大小关系的基本事实出发证明不等式性质. 由于学生往往觉得这些性质是“理所当然”成立的，不需要证明，因此应指出：数学通常只承认通过逻辑证明的结论，而初中得到的不等式性质是基于经验和直觉的，因而存在缺陷与不足. 应明确思维的出发点，把实数大小关系的基本事实作为证明不等式其他性质的逻辑起点.

[⇩] 学习目标及其解析

“等式性质与不等式性质”单元的学习目标如下：

（1）能认识到现实世界、日常生活存在大量的不等现象，能用不等式表示一些简单的不等现象，了解不等式（组）的现实背景;

（2）能全面、深入地理解不等式的有关性质，能从实数大小关系的基本事实出发对不等式的性质进行证明，能利用不等式的性质证明一些简单的不等式问题;

（3）理解不等式性质的现实背景和几何背景，能感受和欣赏不等式性质证明过程所蕴含的理性精神.

本单元的教学重点是两个实数大小关系的基本事实与不等式的基本性质.

[⇩] 教学设计思路

本单元总的教学设计思路是基于等式与不等式的共性与差异探索不等式的性质，重过程、重探究、重研究不等式的基本方法、重数学思想方法. 具体做法是：强化用不等式表示现实问题的过程与方法;以探究不等式运算中的不变性与规律性为引领，强化类比等式性质猜想不等式性质的过程;强化从实数大小关系的基本事实出发，证明其他不等式性质.

[⇩] 学习过程与学习指导设计

相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系. 人们用等式表示相等关系，用不等式表示不等关系. 等式的性质大家比较熟悉，那么不等式又有哪些性质？考虑到相等、不等都是事物变化过程中的一种状态，那么能否用函数的观点把它们统一起来？能否借助于函数研究不等式？我们能发现一些重要、非常有用的基本不等式吗？本章我们将带着这些问题开启新的学习旅程.

设计说明：本节课是本章的起始课，故简要地揭示学习与研究的背景，说明学习的基本内容与基本方法.

1. 呈现背景，提出问题

背景1：生活中存在大量的不等现象，如大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于，等等. 这些不等现象需要用不等式表示.

设计说明：揭示生产生活中大量存在的不等现象，明确相等是暂时的、相对的，不等是永恒的、绝对的.

背景2：请用不等式或不等式组表示下列不等关系：

（1）某路段限速40 km/h;

（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%;

（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边;

（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短;

（5）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？

设计说明：（1）在具体的情境中，让学生充分感受不等式的现实背景;在教师举例的基础上再让学生举例，以提高学生的参与性与思维的深刻性. （2）阐明把现实的不等现象转化为不等式的方法与步骤：一是用字母及其代数式表示特定的量;二是明确这些量之间的大小关系;三是用不等式表示这些大小关系. （3）区分已经用字母表示现实世界中的量与没有给出、需要学生自己用字母表示这两类不同难度的问题，因为前者已经适度数学化，而后者则需要学生自己完成数学化.

背景3：如图1所示，把一个圆形铁片剪去一个扇形，用余下的扇形制作成一个无盖的圆锥形容器，怎样剪裁才能使这个容器的体积最大？

设计说明：教师只需说明此问题可以利用不等式的性质来解决，不做进一步的探究. 提出此问题的目的重在让学生认识到不等式还有许多我们没有意识到的功能与价值，进而激发他们的学习兴趣.

本单元的核心问题：不等式有哪些性质？应该怎样证明这些性质？

2. 明确研究起点，寻找证明依据

子问题1：大家知道，初中的不等式性质是没有经过逻辑证明的，是基于感觉与经验得到的，而数学是基于概念和逻辑证明的. 那么研究不等关系和不等式性质的出发点是什么？判断两个数大小的依据又是什么？

设计说明：（1）此问题重在引发学生思考，引起学生注意. 由于难度太大，此问题不宜由学生探究和回答，而宜采用启发式讲解. （2）为了使两个实数大小关系的基本事实形象化、具体化，教师可追问：凭什么说4比3大而比4.5小？在此基礎上，得到a>b⇔a-b>0，a=b⇔a-b=0，a<b⇔a-b<0，并指出：0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标准和参照物”. （3）让学生能够清晰地认识到：两个实数的大小关系是研究不等关系、证明不等式性质的基础与依据. （4）给出基本事实的几何模型，即数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，帮助学生养成从形与数两方面思考问题的习惯.

例1 比较下列各组中两个代数式的大小.

（1）（x-3）2与（x-2）（x-4）;

（2）当x>1时，x3与x2-x+1.

设计说明：（1）明确比较两个代数式大小的依据是实数大小关系的基本事实. （2）根据这个基本事实，其操作步骤应是“作差—判断正负”;而对作差后无法直接判断正负的，应先变形，即应是“作差—变形—判断正负”.

练习1：比较（x+3）（x+7）与（x+5）·（x+4）的大小.

练习2：已知a>b，证明a>>b.

设计说明：及时运用和巩固两个实数大小关系的基本事实.

3. 提出猜想，证明猜想

子问题2：你能类比等式的基本性质，猜想不等式有哪些基本性质吗？

设计说明：（1）先回顾、梳理，明确等式具有如下的基本性质：

性质1：如果a=b，那么b=a.

性质2：如果a=b，b=c，那么a=c.

性质3：如果a=b，那么a±c=b±c.

性质4：如果a=b，那么ac=bc.

性质5：如果a=b，c≠0，那么=.

（2）类比等式性质，让每个学生先独立猜想，然后相互补充、相互矫正，猜想不等式有如下的基本性质：

猜想1：如果a>b，那么b<a;如果b<a，那么a>b.

猜想2：如果a>b，b>c，那么a>c.

猜想3：如果a>b，那么a+c>b+c.

猜想4：如果a>b，c>0，那么ac>bc;如果a>b，c<0，那么ac<bc.

猜想5：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.

猜想6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.

（3）如果学生不能提出猜想5、猜想6，那么教师可追问：如果两边加或乘不同的数，那么结果会怎样？添加怎样的条件，能保证两边加或乘不同的数后，不等号仍然成立？

子问题3：你能运用两个实数大小关系的基本事实证明以上猜想吗？

设计说明：（1）不轻易放弃证明，因为这是学生感受数学公理化思想、数学思维严谨性和发展逻辑推理素养的极好载体. （2）鉴于学生不习惯利用这个基本事实进行证明，故采取“说理+示范+模仿”的方式进行. 教师先示范证明猜想1，即由a>b得到a-b>0，故-（a-b）<0，b-a<0，因此b<a. 然后强调：两个实数大小关系的基本事实是证明的依据，即根据这个基本事实，由a>b得到a-b>0;而要证明b<a，只要证明b-a<0即可. （3）师生一起证明猜想2，猜想3、猜想4作为练习，由学生独立证明. （4）猜想5、猜想6既可像猜想1至猜想4一样给出证明，也可借助于不等式的性质1至性质4给出证明.

子问题4：你能由不等式的性质6猜想其新的性质吗？你能证明自己的猜想吗？

设计说明：（1）特殊化、一般化是得到新的数学结论的常用方法. 在不等式的性质6中，令a=c，b=d，即得不等式的性质7：如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n≥1）. （2）引导学生从不等式的性质7的逆命题是否成立的角度猜想、提出不等式的性质8：如果a>b>0，那么>（n∈N，n≥2）. 视学生的认知基础，决定是否运用反证法证明不等式的性质8. （3）指出等式的性质1、性质2反映了相等关系自身的特性，等式的性质3、性质4、性质5是从运算角度提出的，反映了相等关系在加、减、乘、除四则运算中保持不变的性质;同样，不等式的性质1、性质2反映了不等关系自身的特性，不等式的性质3至性质8反映了不等关系在运算中的不变性.

探究：你能给出不等式的性质3、性质6的几何模型吗？

设计说明：数形结合的关键点和难点在于“数”与“形”如何相互转换. 此时，应指导学生从代数式的几何意义出发，构建相应的几何模型. 对于不等式的性质3，追问a>b，a+c，b+c，a+c>b+c的几何意义，不难发现：把数轴上的两个点A与B同时沿相同的方向移动相同的距离，得到另外两个点A与B，A与B和A与B的左右位置关系不会变（如图2所示）. 对于不等式的性质6，从追问a>b>0，c>d>0，ac>bd的几何意义入手，不难发现：大矩形的面积大于小矩形的面积（如图3所示）.

4. 运用新知，巩固内化

例2 已知a>b>0，c<0，证明>.

设计说明：（1）明确证明的依据是实数大小关系的基本事实和不等式的性质;（2）搞清楚条件与结论的联系与差异，进而使条件逐步转化为结论.

练习1：已知a>b，c<d，证明a-c>b-d.

练习2：已知a>b>0，0<c<d，证明>.

练习3：设a，b为正实数，且a<b，m>0，证明>.

设计说明：（1）练习1至练习3鼓励学生用多种方法证明. （2）练习3完成证明后，给出此结论的现实原形，如“糖水加糖更甜”.

5. 回顾反思，提炼升华

学生回顾反思：（1）等式性质与不等式性质有哪些相同点与不同点？（2）初中不等式性质与高中不等式性质在内容与处理方式两方面有什么不同？（3）证明不等式的依据是什么？常用的思路与方法又是什么？

教师小结提炼：（1）两个实数大小关系的基本事实是证明不等式性质的出发点和依据，不等式性质不仅要建立在直观感知的基础上，更要建立在逻辑推理的基础上. （2）分析问题、解决问题时，应搞清楚思维的出发点与依据，学会有理有據、有条理地思考.

6. 学习目标达成检测

检测1：已知a>0，b>0，且a≠b，试比较a3+b3与a2b+ab2的大小.

检测2：已知x>0，y>0，A=，B=+，试比较A与B的大小.

检测3：已知2<a<3，-3<b<-2，求2a+3b，2a-3b的取值范围.

检测4：已知a>b>c，证明>.

参考文献：

[1]  李昌官. 高中数学研究型教学[M].上海：华东师范大学出版社，2019.[2]  史宁中. 数形结合与数学模型[M]. 北京：高等教育出版社，2018.