单元视角引方向，起始章末得益彰

陶友根 邓天 段小龙

[摘  要] 基于课程整体性的要求，站在“单元—课时”视角，开展数学章节起始课与章末复习课的一体化教学设计策略研究. 以高中数学“三角函数”为例，阐述数学章节“起始+章末”一体化教学设计策略：通过“为什么学”与“学来何用”、“要学什么”与“学了什么”、“要怎么学”与“怎么学的”、“陈述性作业”与“创新性作业”等四个纽带，凸显一体化设计，以达到“网络建构夯基础，核心问题突研究，思想方法渗素养，作业创新促能力”的效果.

[关键词] 整体性;章节起始课;章末复习课;一体化

[⇩] 研究的起点

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标》）要求教材編写要体现整体性，体现内容之间的有机衔接;明确教师要努力提升教学设计和实施能力;教学建议中要求“整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展”[1]. 主题、单元教学是本次课改强调的一个重点. 在单元教学设计基础上再给出课时教学设计，以充分体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性，切实防止碎片化教学，通过有效的“四基”“四能”教学，使数学学科核心素养真正落实于数学课堂[2].

1. “单元—课时”教学设计体例

为了落实《课标》的要求，与教材的编写同步，章建跃主编带领团队设置了“基于数学学科核心素养的教学设计与实施”专题，并在实践基础上总结出了《高中数学“单元—课时”教学设计体例与要求》，明确单元教学设计和课时教学设计应包含的栏目，并对各栏目的含义和具体编写进行了详细解读[3]，高屋建瓴地为“单元—课时”模式的实施指明了方向.

2. “起始+章末”一体化设计

笔者所在团队在前期研究数学章节起始课和章末复习课的基础上，站在“单元—课时”视角，进一步开展数学章节“起始+章末”一体化教学设计策略研究.

章节起始课与章末复习课都有其独特的教育教学价值. 前者主要为学生提供统观全局的认知视角，后者则要帮助学生印证是否达成总览单元全局的目的. 章节起始课常要解决“为什么学”“要学什么”“要怎么学”等问题[4]，是全章教与学的“总起”. 章末复习课则要解决“构建网络”“提炼模型”“形成思想”“学会思辨”等任务[5]，是全章教与学的“总结”.

章节“起始+章末”的一体化设计需要在“单元—课时”视角下通观全局，加强“总起”与“总结”之间的联系. 力争实现“总起”预设或指向“总结”，“总结”呼应或升华“总起”. 这种首尾整体设计并关联单元教学过程的教学设计必能使全章的教学具有更强的整体性，体现单元视角下事半功倍的教学效果.

[⇩] 例谈“起始+章末”一体化教学设计策略

如何在“单元—课时”视角下实施“起始+章末”一体化教学设计呢？笔者将以人教版普通高中数学教科书必修第一册（2019年版）“三角函数”为例进行分析和阐述. 因有姊妹篇《筹谋单元之全局，启于引言之设计——以“三角函数”为例谈单元教学视角下的章引言课设计》（即引文），故实例内容侧重展示章末复习课教学设计.

（一）定位内容和目标

“三角函数”这一章的《课标》要求是：学生通过本章学习，能借助于单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性;能用几何直观和代数运算的方法得到三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质，以及三角函数之间的一些恒等关系;能利用三角函数构建数学模型，解决实际问题[1]. 由此可见，除了解决基本知识和方法外，还要重点帮助学生在数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模等素养上有所提升.

因此，章引言课（起始课）可以介绍学习三角函数的必要性，即“为什么学”;可以通过情境，利用“问题串”的形式串联学习内容概要，即“要学什么”;可以在情境中回顾前面学习函数的经验，并进行适当的类比，即“要怎么学”[6].

章末复习课中可以用“问题串”梳理形成“三角函数”的知识结构框图，对应起始课“要学什么”，回答“学了什么”;以“题组”或“问题串”为载体提炼模型、形成思想，对应起始课“要怎么学”，回答“怎么学的”;用“应用拓展”进一步检验和提升素养，对应起始课“为什么学”，回答“学来何用”;用开放性的探究式活动促进学生的数学研究和数学表达能力，对应起始课“陈述性作业”，布置“创新性作业”.

（二）设计纽带和活动

1. 纽带一：“要学什么”与“学了什么”

为了让学生大致了解“要学什么”，在起始课（详见引文）中设计了刻画摩天轮运动的问题，并通过“问题串2”让学生体会到了引入任意角、弧度制的必要性;学生经历了“构建单位圆中任意角与高度之间的对应关系”的过程，为三角函数概念的学习做了充分铺垫.

对应的，复习课要回答“学了什么”，可设置如下的“问题串”：

【复习课模块1】 展示起始课“情境5”：如图1所示，设摩天轮做匀速圆周运动，其中心离地面的高度为25米，转轮半径为10米，每6分钟旋转一周. 若你在座舱中（用点P表示），从初始位置（最低点）出发逆时针旋转，如何刻画点P的高度h（米）与时间t（分）的关系？

问题1：为解决摩天轮刻画问题，我们构建了什么样的函数模型？（预设答案：h=10sin

t-

+25）

问题2：你能说明该函数模型与正弦、余弦函数的关系吗？比如该函数的图像可以由y=sinx，y=cosx的图像经历怎样的变换得到，或者由多种函数怎样复合构造得到？

问题3：三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx的图像和性质是怎样的？与指数、对数函数相比较有什么异同？

问题4：三角函数的定义是什么？同角的三角函数之间有什么关系？

问题5：在给三角函数下定义前，我们在初中锐角三角函数基础上做了哪些铺垫？

问题6：根据以上问题，回顾学习过程，请画出本章知识结构图（基本知识用黑色笔，关系线及线上内容用红色笔，个人感悟用蓝色笔）.

设计说明：（1）问题1至问题5，用倒序的方式，让学生回顾函数模型、图像变换、三角恒等变换、图像和性质、定义及相互关系、任意角与弧度制，体会问题是怎样化整为零并一步步得以解决的. （2）问题5与起始课中的铺垫形成呼应，让学生感受单元知识生长的自然;问题6明确输出成果——知识结构图，绘图颜色的要求既是为了规范习惯，更重要的是引导学生要思考逻辑关系、提炼个人感悟.

2. 纽带二：“要怎么学”与“怎么学的”

为了让学生大致了解本章知识“要怎么学”，“三角函数”起始课（详见引文）围绕摩天轮问题，设置了“问题串3”. 引导学生明确研究函数的一般策略（包括内容、方法），让学生多次感知周期性（三角函数的典型性质），思考研究周期函数图像与性质的一般步骤，即可以先在一个周期内研究，再按周期进行扩展.

对应的，复习课要回答“怎么学的”，可设置如下的“问题串”：

【复习课模块2】 问题1：回顾三角函数的定义，你能说说它与幂函数、指数函数的定义方法的共性和差异性吗？研究图像与性质的方法呢？

问题2：圆的性质在三角函数的研究中有非常重要的作用，请你借助于单位圆，归纳一下研究三角函数的图像与性质的过程与方法.

问题3：两角差的余弦公式C不仅是和（差）角公式的基础，也可以看成是诱导公式的一般化. 你能画一张本章公式的“逻辑图”吗？推导这些公式的过程中用到了哪些数学思想方法？

问题4：三角函数是一类特殊的周期函数，可以联系各类周期现象，也可以从已学过的指数函数、对数函数、幂函数得到启发，还要注意与锐角三角函数建立联系，你能根据你对这些联系的理解，画出这种关系的“逻辑图”吗？

问题5：结合上面问题的梳理，你能谈谈本章的学习过程中（扩充角、引入弧度制、用单位圆下定义及研究图像和性质等）带给了你什么样的体验吗？你还有什么收获吗？如果将来学习一种新的函数，你可能会怎么开展研究呢？

设计说明：问题1至问题4来自教材252～253页问题的改编. （1）问题1呼应起始课，基于幂函数、指数函数的认知研究三角函数，更能凸显三角函数的独特价值;（2）问题2引导学生回顾本章最重要的研究工具和方法——单位圆的旋转对称性，以此提升学生直观想象素养;（3）问题3引导学生由实际操作上升到数学思想层面，防止碎片化带来负担（可布置为前置作业，放入课堂本模块使用）;通过转化与化归、数形结合等思想的应用，提升逻辑推理能力;（4）问题4突出章节内容与前后知识的关联，在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导，帮助学生将本章纳入认知体系，突出整体性理念（可布置为前置作业，放入课堂本模块使用），提升學生用联系的眼光看问题、解决数学问题的能力;（5）问题5引导学生关注知识、方法、思想的同时，回味过程中的情感体验，形成数学研究的情感态度价值观.

3. 纽带三：“为什么学”与“学来何用”

为了让学生了解“为什么学”三角函数，起始课（详见引文）创设了5个情境，并设置2个递进式问题：（1）是否能用现有的函数模型刻画？（2）这两个实例（运动）有什么共同的显著特征？这样的设计意在引发认知冲突，体现寻找新的函数模型的必要性.

对应的，复习课要回答“学来何用”，可以起始课的“情境5”作为起点，设置如下的变式“问题串”：

【复习课模块3】 问题1：求h（米）关于t（分）的函数解析式.

问题2：求你的座舱在开始转动2分钟后距离地面的高度.

问题3：若该摩天轮有20个座舱，你和好朋友分别在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求你们两人距离地面的高度差h′（米）关于t（分）的函数解析式，并求高度差h′的最大值（精确到0.1）.

问题4：如果将问题1得到的函数解析式一般化，抽象为y=Asin（ωx+φ）+B，你能借助于本例或其他周期现象（如简谐振动、单摆等），说明这些参数的意义，以及它们的变化对函数图像的影响吗？

问题5：（教材256页第25题）如图2所示，已知直线l∥l，A是l，l之间的一定点，并且点A到l，l的距离分别为h，h，B是直线l上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l交于点C. 设∠ABD=α.

（1）写出△ABC面积S关于角α的函数解析式S（α）;

（2）画出上述函数的图像;

（3）由（2）中的图像求S（α）的最小值.

设计说明：（1）问题1来自起始课创设的情境，学生能轻松解决，呼应了学习的必要性. （2）问题2、问题3是教材238页“例2”的变式问题，既体现起始、中间、末尾学习阶段的关联性，又展现模型解决实际问题的应用性. （3）问题4是教材253页问题5的改编. 学习新课，是通过参数赋值形成对图像变化的具体认识，再推广到一般情形的;本问引导学生回顾学习过程，进一步感受模型中参数的内涵和作用，感受模型刻画现象的过程. （4）问题5来自教材，是几何背景下三角函数建模解模问题，但不是周期问题，让学生经历不同情境下的建模过程，同时体会三角函数更广泛的应用. （5）本“问题串”让学生经历数学抽象、建立模型、逻辑推理、数学运算等过程，并最终回到实际现象中去认识参数. 全过程可以有效地检验学生的素养水平，对学生发展核心素养起到了积极作用.

4. 纽带四：“陈述性作业”与“创新性作业”

《课标》明确提出了作业设计的要求. 章节作业整体设计是提升作业效能、减轻学生作业负担的有效手段之一. 数学章节“起始+章末”作业设计更要体现整体思想. 起始课作业除一些简单习题外，可以设置陈述性作业，引导学生展望和思考，开启后续学习之旅. 章末复习课作业除设计功能性检测题组外，还应设置一些创新性作业，比如数学实验作业、探究性作业、数学写作等.通过创新性作业让学生认知确信的同时扩展认知边界.

起始课（详见引文）布置了“问题4”，让学生从四个方面陈述课堂的收获. 在当时，这些都还只是构想或猜测. 这些构想或猜测通过主要知识、方法、研究路径等内容在章末复习课中得到了印证. 那么，是否意味着学生发现问题、解决问题的能力得到了提高呢？不妨通过两项创新性作业来检测.

【复习课模块4】 课外活动作业：（1）请尝试针对现实生活中的某种周期现象（或与角有关的现象）设置一个问题，并通过适当的方法搜集数据，建立一个函数模型解决该问题;（2）（选作）若你的研究比较深入，有了自己的感悟，可进一步进行研究性学习、实践，写一篇数学论文与大家分享.

设计说明：（1）让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，同时凸显数学应用过程的完整性. 这样的反思实践，可以保持数学应用中的数学思想水平，提高学生对相应的思想方法的认知层次，形成和发展数学素养. （2）选作作业的设置，引导学有余力且有钻研精神的学生更深入地研究，进行数学写作，强化数学理解，促进数学表达能力的提升.

[⇩] 章节“起始+章末”一体化教学设计需要注意的几个问题

1. 情境创设要体现关联性

为了体现知识之间的联系、强化学生对整体知识的理解，在章节起始课、章末复习课中尽量创设中间课时教学中就有的或相似的情境，这样更能体现“铺垫—应用—反思”的整体性和关联性.当然，这个情境一定要是章节最核心的知识和方法的载体，如果没有也不用强求.

2. 起始章末要突出层次性

起始课需要让学生感受大概要学什么，初窥全貌;复习课则应让学生梳理知识、形成网络、印证猜想.“初识”与“回顾”的对象基本一致，但认知层次差异很大，所以整体设计适宜采用递进式.起始课侧重典型的“点”，做起点式铺垫;复习课侧重“面”“网”，力求做到以点带面、由点成网.

3. 前后呼應要回归自然性

起始与复习，就是初步感知（猜想）与回望反思（验证），前后的呼应应该是自然的. 整体设计时，设计若干呼应点，让学生感受猜想与验证的成就感，促进情感态度价值观的形成. 但要注意“度”，不能为了呼应而呼应，牵强的呼应只会适得其反.

章节起始课与章末复习课是两类基本课型. 章节起始课要起到为学生“提供统观全局的认知视角，明确知识发展的逻辑起点，梳理单元学习的方法线索”的作用. 章末复习课则既要“温故”，更要“知新”;既要复习巩固基础知识，更要对知识进行拓展和延伸. 在研究这两类基本课型的基础上，以“单元—课时”为视角，强化一体化设计的意识和技巧，更大程度地发挥数学知识的整体性和教学功能的整体作用，以达到“网络建构夯基础，核心问题突研究，思想方法渗素养，作业创新促能力”的效果，促使数学学科素养在课堂教学中真实落地.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]  章建跃. 《普通高中教科书·数学（人教A版）》“单元—课时教学设计”体例与要求[J]. 中学数学教学参考，2019（22）：14-16.

[3]  章建跃. 数学学科核心素养导向的“单元—课时”教学设计[J]. 中学数学教学参考，2020（13）：5-12.

[4]  何睦，罗建宇. 高中数学章节起始课的教学研究与案例设计[M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2019.

[5]  段小龙，叶强，罗文平. 基于“问题驱动”下的数学单元（章末）复习课的教学设计[J]. 数学通讯，2018（18）：20-25.

[6]  邓天，唐小文，段小龙. 筹谋单元之全局 启于引言之设计——以《三角函数》为例谈单元教学视角下的章引言课设计[J]. 数学通讯，2021（18）：8-11+26.