数学探究活动的实践探索

侯宝坤

摘  要：以数学探究活动的“五环节”组织对“认识与应用圆柱体截面”进行探究，在梳理基础知识的同时，体验复杂情境下的认知程序的建构方式，并将其应用于具体问题的分析与解决中. 在探究的过程中理解知识，掌握研究方法，自觉追求理性思维，实现知识融合和数学学科核心素养的综合性培养.

关键词：探究式学习;理性思维;核心素养;实践探索

数学探究活动是围绕某个数学问题开展自主探索、合作研究并最终解决问题的过程，是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动. 探究性活动大体可以分为确定探究主题、分解探究任务、实施探究活动、成果交流与评价、成果应用与拓展五个阶段，如图1所示. 内环虚线划分的区域为学生在各个阶段开展的学习活动;外环方框内是教师在各个阶段从事的教学活动. 教师在整个探究活动中起着资源提供者、活动组织者、学习引导者和合作者的作用.

一、案例的价值分析与开发构思

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）的案例31是“圆柱体截面”专题. 该案例通过装水圆柱容器不同放置方式的简单情境引导学生认识截面的形状，画出直观图形. 原案例研究的内容比较简单，突出了直观想象素养的发展，但是没有涉及截面的性质、应用、数学运算、数据分析，对学生数学抽象、逻辑推理素养的要求较低，未能发挥案例的综合价值. 圆柱体截面知识在产品设计中有着广泛的应用，涉及立体几何、解析几何、函数知识的融合，研究方法可以采用数据测量、软件模拟等，案例具有丰富的育人价值，如图2所示.

通过高二的学习，学生已经基本掌握了立体几何、解析几何、函数等相关知识和研究方法，但尚未形成将这些知识融合起来分析问题的思路，学生分析与解决复杂的实际问题的能力有待提高，这时开展探究性活动有助于学生对知识的融会贯通. 以“认识与应用圆柱体截面”为探究主题，充分理解《标准》的要求，深入挖掘案例中蕴含的数学学科核心素养，设计切实可行的学习目标，以问题为引领，开发教学案例，构思如图3所示. 通过“五环节”展开教学活动，以“截面形成、截面性质、截面展开图、截面应用”组织学习活动，将从“现象到理性”的“做中学”思想贯穿于整个项目的实施中，学生的分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想得到进一步应用和发展，数学抽象、逻辑推理、直观形象、数据分析、数学运算等素养也将得到落实.

二、探究式学习目标

探究式学习目标设置如下.

（1）通过动手操作、模型观察，了解截面的形状，理解分类原理，提升学生的数学建模、直观想象、逻辑推理素养.

（2）融合智能计算思维和数学理性思维，探究、理解截面的相关性质和展开图的特征，通过截面应用加深学生对其性质的理解，增强学生的知识融合能力，促进学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析素养的综合提高.

（3）由浅入深，让学生经历问题发现与提出、分析与解决的全过程，体会数学研究的一般流程，积累合作探究的活动经验，形成解决实际问题的科学思维，提升数学思想与核心素养融合的水平.

三、探究式活动实施过程

1. 确定探究主题

创设情境：播放木工制作圆柱形榫卯的视频.

驱动性问题：组装好圆柱形榫卯的关键是什么？

学生根据“两个截面怎样才能吻合？”确定探究主题为“认识与应用圆柱体截面”.

【设计意图】通过极具中国文化特色的、有趣的榫卯结构发现现实生活中蕴含的数学问题，提出驱动性问题，引导学生主动确定探究主题为“认识与应用圆柱体截面”，激发学生的学习兴趣，使学生了解并体会数学在生产实践中的广泛应用价值.

2. 分解任务

教师提供：装水的矿泉水瓶、火腿肠、薯片盒等圆柱形教具;圆规、直尺、GeoGebra软件等辅助工具.

学生分组活动，利用学习的数学知识确立探究该主题的整体方案，完成初步设想. 教师组织学生对方案进行点评、优化、完善. 学生讨论，根据驱动性问题，主动对探究主题进行分解，确定子任务.

子任務1：认识圆柱体的截面，包括截面的形状及形成条件、截面的性质和截面的侧面展开图.

子任务2：应用圆柱体的截面，包括设计产品，即弯头的制作方案.

最终确立探究流程，如图4所示.

3. 探究活动

（1）截面的形状及形成条件.

活动1：借助实物动手操作或用软件模拟，在运动过程中形成不同截面，如图5所示. 根据形状将截面进行归类，并体会截面的形成条件.

【设计意图】让学生操作、体会、归纳不同截面产生的条件，实施“做中学”“做中悟”，为后续的数学化做好感性准备，培养学生的直观想象素养和分类讨论能力. 教师通过观察、倾听发现问题，以便在教学中对学生的错误认识进行启发性纠正. 例如，有的学生会认为图5（6）是梯形或平行四边形.

活动2：教师通过追问“影响截面的形状的关键是什么？”“你能数学化地表达吗？”引领学生探究不同形状截面的形成原因.

【设计意图】启发学生进入理性数学思考环节，体现探究式学习的数学味，增加研究深度，提升学生的数学抽象能力，激发学生用数学知识深入分析实际问题的意识.

活动简记：学生的交流以描述为主. 有的学生认为，起于母线终于母线的截面为椭圆（特殊的截面为圆），起于母线终于底面的截面为椭圆弧加一条线段，起于底面终于底面的截面为椭圆弧加两条线段（特殊为矩形）;有的学生认为，只与侧面相交的截面为椭圆（或圆），与侧面和一个底面相交的截面为椭圆弧加一条线段，与侧面和两个底面相交的截面为椭圆弧加两条线段. 这时，教师要引导学生从二面角的大小入手研究面的关系，形成数学化的理论分析.

如图5，记截面与圆柱体母线的交点为[E]，截面与下底面在交线右侧的半平面所成的角为[θ]，经过点[E]的母线为[AC]. 设[AC=l，AE=h∈0，l]，底面半径为[R]，当[θ∈π-arctanl-h2R，π?0，arctanh2R]时，截面分别对应图5（1）和图5（2），是两类椭圆;当[θ=π]时，截面对应图5（3），是一个圆;当[θ∈π2，π-arctanl-h2R?][arctanh2R， π2]时，截面分别对应图5（4）和图5（5），是椭圆弧加一条线段. 当截面经过上底面的一条弦，弦心距为[d∈0，R]时，则有[θ∈arctanlR+d， π2?][π2，π-arctanlR+d]，截面对应图5（6），是两段椭圆弧加两条线段;当[θ=π2]时，截面对应图5（7），是矩形;当[θ∈0，arctanlR+d?π-arctanlR+d，π]时，截面分别对应图5（4）和图5（5），是椭圆弧加一条线段.

（2）截面的性质.

活动3：教师通过问题“截面的形状已经直观感受了，接下来你还想研究什么？”“你准备把研究的重点放在哪个对象上？”引领学生探究椭圆截面的性质.

【设计意图】从直观感受到深入认识是数学研究的必经之路，让学生感受数学研究的一般思路. 问题开放便于打开学生的思维，引导学生从关系上认识数学，学会归纳总结、提炼核心，牵住问题解决的“牛鼻子”——椭圆截面的性质.

活动简记：学生利用二面角的性质进行探究，得到短半轴长[b=R]、长半轴长[a=Rcosθ]的椭圆，椭圆面积公式[S椭圆=πR2cosθ=πab]，椭圆截面周长没有公式. 但是学生用GeoGebra软件的求周长功能，对椭圆截面求周长（[R=15 mm，EC=60 mm，DF=30 mm]，下文都以此为例），求出近似值为114.61 mm，如图6所示. 另外，有的学生用圆弧近似，得到圆弧的近似公式[l=4×πR2ni=1n1cos2αcos2iπ2n+sin2iπ2n]，取[n=5，] 通过Excel软件、图形计算器等进行计算，可以得到周长为108.15 mm，也比较精确. [n]的取值越大就越精确.

活动4：教师通过问题“你能确定上述截面一定是椭圆吗？”引导学生反思思维的逻辑性和严密性.

【设计意图】促进学生由直觉思维向理性思维转移，形成“既要猜想更要证明”的数学思维，突出数学探究式学习中理性思维的价值. 培养学生的质疑精神. 质疑是主动学习的表现，是深入学习的动力，是将感性认识引向理性思考与深入思考的关键.

活动简记：学生通过网络学习了双球模型证明（略）. 经过师生讨论，形成了新的方法：如图7，设在直角坐标系[xOy]中，点[A]的坐标为[x，y]，在直角坐标系[xOy]中，点[A]的坐标为[x，y]. 在矩形[AHHA]中，[AH=HA;] 在[Rt△HOM]中，[HOcosθ=HM=OH]. 故[R2=][x2+y2=xcosθ2+y2]. 从理论上证明了活动3的结论.

学生经历了“确定对象—探究性质—论证判断”的研究过程，学会了研究数学问题的基本方法和常规思路. 学生的思维在碰撞中逐步深入，得到椭圆面积公式是一个惊喜. 周长的探究体现了极限对近似运算的强大功能，借助智能计算将手脑有机融合，实践和理论相互促进，共同推进了知识的理解与应用.

（3）截面的侧面展开图.

活动5：教师通过追问学生“除了研究椭圆截面本身的性质外，你还能融合其他对象提出新的研究问题吗？”引导学生研究截面的侧面展开图的形状.

【设计意图】教师鼓励学生广泛联想，进一步激发学生的问题综合意识，使他们体会融合知识的依存背景产生新问题的方法，增强利用新情境解读知识的能力，提高知识综合应用和主动创新的能力.

活动简记：① 学生形成许多测量方案. 方案1：剪开薯片盒进行研究. 方案2：将带包装的火腿肠切出截面，再展开包装纸进行研究，如图8所示. 方案3：在纸上画一个与圆柱底面大小相同的圆，将圆等分点标出，然后将圆柱底面与之重合，再测量这些点到截痕的母线长，如图9所示（不破坏模型，有创新，更具现实价值）.

② 侧面曲线轨迹的函数拟合. 将底面12等分，测量数據列表如下（单位：cm）.

利用GeoGebra软件表格区的回归分析功能，作出相应的散点图（如图10），用二次函数（如图11）、四次函数（如图12）、正弦函数（如图13）进行回归分析，发现正弦函数最佳，四次函数次之. 由于测量精度不同，也有小组出现四次函数较佳的情形，讨论后重新切几个截面测量分析，得出正弦函数更佳. 学生在交流中相互启发，在争论中相互学习，对误差的分析提高了学生管理分歧、达成共识的意识，增强了学生解决实际问题的能力.

活动6：教师通过问题“模拟得到的正弦函数具有一般性吗？”推动学生对问题一般性的理论化讨论.

【设计意图】实验可以验证与推测理论的准确性，探究式学习更应该重视理论的建立，防止出现将实验解决作为最终目标的不良倾向，主动融入数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养，提高学生的综合能力.

活动简记：师生共同讨论，将学生方案3的思想抽象化. 如图14，沿[DF]处展开侧面，建立平面直角坐标系，设[Nx，y]，[DF=h0]，[∠MOD=α]，则[x=αR]，[y=][HK=DF+FQtanθ=h0+R1-cosαtanθ=h0+Rtanθ1-cosxR，]为正（余）弦型函数.

这一阶段学生经历了“初步感受—实验探索—智能求解—理论论证”的研究过程，体验了通过数学建模处理实际问题的一般思路. 在实际教学中，学生有猜想、有证明，也有反驳. 实验方案3就是思维不断碰撞的结果，体现了思维的灵活性. 出现不同的结果，不一味地争论，学会多举例增强说服力，以理服人，体现了数学理性思维的潜在影响. 数学实验和智能计算增加了解决问题的手段，提高了问题研究的效率和建立理论的信心.

（4）截面的应用.

活动7：教师以问题“对于图8，你能针对不同背景提出弯头的制作方案吗？”触动学生探究使用知识的热情.

【设计意图】用开放性问题发散学生的思维，激发学生的创新意识. 通过应用方案的设计，检验学生对新知识的理解，以及用数学知识解决实际问题的能力.

活动简记：

背景1：给定圆柱体如何截取一个符合条件的截面？经过讨论，学生认为截面与底面所成二面角为关键，设计一个定角模具，沿模具平面锯开圆柱体.

背景2：给定一个矩形铁皮如何卷成一个符合条件的截面？根据[x=αR]，[y=h0+Rtanθ1-cosxR]在铁皮上画出函数图象，沿函数图象剪开再卷起即可.

四、交流评价

在探究过程中形成的成果，学生可以边探究边交流，也可以依探究阶段分段交流、相互点评. 最后阶段可以围绕项目学习的总体感受交流，主要包括知识的认知程度、方法的独到领悟、探究性学习过程中的情感体验等. 教师引导学生对形成的成果、交流过程、组织形式等进行评价反思，也可以对学生的评价进行再评价，找出优势，分析不足，促进修正. 学生则侧重评价和反思自己学习过程中的得失，感悟其他学生的学习带给自己的体会，促进对知识规律的总结和提升，以及对研究方法的整体体验.

五、应用拓展

教师可以提出检验探究性活动的评价性问题，供后续研究. 例如，图5（5）和图5（6）中的截面面积怎么计算？周长的近似值是多少？图5（7）中的截面左侧几何体的高与底面周长一定时，体积何时最大（直觉是圆，考查理性证明）？圆锥体截面椭圆在其侧面上的展开图如何（方案3学习检验）？通过应用拓展检查学生获得知识的情况，同时开展新的发现和探究.

六、收获与困惑

在探究性学习过程中不断涌现的问题使学生获得学习的内驱力，他们不仅知道而且能够理解知识的特征，并且能够将各个知识点进行重新组合，使知识的联系更加紧密、系统. 基于学生数学学科核心素养综合发展的探究性学习，突出目标导向、问题引领、任务驱动、合作交流，让学生主动参与“做数学”“学数学”的全过程，积累了数学活动经验，并学会了在实际问题中“用数学”的一般套路，能从数学知识的“源”与“流”上提高理解的深度和宽度. 探究性活动更能激发学生的学习热情，促使学生真诚交流、合作共赢，积极地自评、互评增强了学生学习的目的性，提高了学习效率. 由于探究性活动具有综合性，部分学生能力不足，参与度较低，所以教师在设计问题时要考虑增加梯度. 学生的智能计算能力普遍不足，给跨学科融合带来了困难，要协同信息技术课程改善学习状况.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]杨怡，梁会芳，张定强.“数学探究”研究二十年：回顾 经验 展望[J]. 数学教育学报，2020，29（6）：40-45.