“一般观念”指引实现高质量教学

薛红霞

摘  要：与旧教材相比，在人教A版新教材中“函数[y=Asin]的图象”的定位有很大的变化. 通过对本节内容的深度研究，理解了人教A版新教材的编写意图. 通过试讲，了解了学情. 两者结合，具化为一个适合的教学设计，并上出了一节质量非常高的课. 其中，“取”“舍”的心路历程、课堂上教师与学生潜意识层面思维的较量，都尽在其中.

关键词：函数图象;一般观念;教学设计;教学实施;点评范式

人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册（以下统称“教材”）中“5.6 函数[y=Asinωx+φ]”的立意和研究方法与之前的教材相比有很大的变化. 广东省深圳市格致中学刘炳辰老师（以下统称“执教教师”）执教的“5.6.2 函数[y=Asinωx+φ]的图象”很好地阐释了教材的编写意图，得到了章建跃主编的充分肯定，他说这节课“质量非常高”. 下面就将这节课备课、磨课和上课过程中的心得与大家分享.

一、认真学习、学习真经是教学的捷径

第一次见到该课的教学设计时，笔者初步判断执教教师综合素质较高，随后认真阅读了教学设計并批注了修改建议发给执教教师. 在不到一天的时间里，执教教师就修改完发了回来. 按照以往的经验，这么快的修改速度，基本上达不到修改要求. 当笔者认真看过修改稿之后，被执教教师的修改效果震撼. 除个别地方外，此次修改基本符合笔者的预期.

在第一稿的批注中，笔者提出要求“这节课上出来的水平至少要与教师教学用书光盘中的课例齐平”. 交流中，执教教师说她认真研究了教材、教师用书，以及教师用书中配套的本节课的课例.

在谈到本节课的研究套路和方法时，笔者问执教教师：“‘一般观念’知道吗？”她激动地说：“知道，知道，认真学习了.”

在两次讨论中，确实能感受到执教教师认真研究了教材内容、教师教学用书和光盘中的课例，以及“一般观念”. 在进行教学设计、研讨、试讲和再研讨的过程中，她将学到的理论与实践相融合，由此呈现“质量非常高”的课.

经常遇到有的教师使用现成的教学设计、课件、练习和资源等开展教学. 比较两种行为，从教师成长及教学实效来看，执教教师的做法才是捷径.

二、“一般观念”指导，做出合情合理的教学设计

根据学情，执教教师将“5.6 函数[y=Asinωx+φ]”的内容划分为三个课时：第1课时，建立函数模型;第2课时，研究参数[A，ω，φ]对函数[y=Asinωx+φ]的图象的影响;第3课时，研究函数[y=Asinωx+φ]的图象的变换规则，及函数模型的初步应用. 下面的分析针对第2课时.

将教学内容转化为教学设计是教学的第一步. 在这个环节要做好以下几件事.

1. 根据研究对象，确定教学内容的“取”“舍”

（1）关于情境：是否要用深圳的“湾区之光”（摩天轮）替换筒车模型？

这个问题是关于情境创设的. 教师朴素的想法是：“湾区之光”是学生身边的风景，更容易引起学生的共鸣. 但是经过讨论，这种想法被舍弃了. 原因之一是，“5.6 函数[y=Asinωx+φ]”中的例2选自“天津之眼”，两者重复. 更重要的是，筒车模型更加经典，反映了我国古代劳动人民的智慧，渗透了历史文化和民族自信.

关于情境的创设，立意要高，要考虑文化的渗透和经典的传承等. 只要学生能够理解，是否贴近其生活并不是最重要的. 与学生生活有一定距离时，还能起到开阔学生视野的作用. 在设计教学情境时，要综合考虑，特别重要的是要理解教材的设计意图，用好教材中给出的素材.

（2）关于研究内容：本课时是否要研究函数[y=][Asinωx+φ]的性质？

在执教教师撰写的第一稿教学设计中，图象和性质的研究并重.

例如，执教教师设计了这样的问题. 根据图象的变化情况分析：[y=sinx+φ]还是一个奇函数吗？当[φ]取何值时，[y=sinx+φ]为奇函数？当[φ]取何值时，[y=][sinx+φ]为偶函数？根据上述结论分析：[y=sinωx+φ]的周期还是[2π]吗？如果不是，说出它的周期.

设计的依据是研究一类函数的基本套路，建立函数之后，要研究其图象和性质. 这是正确的. 问题在于对“5.6 函数[y=Asinωx+φ]”缺乏具体的分析.

回顾“5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质”：例[2]及其后的“探究与发现：函数[y=Asinωx+φ]及函数[y=][Acosωx+φ]的周期”已经研究了此类函数的周期性;例3和例5已经研究了此类函数的单调性. 也就是说，教材中已经纯粹从代数的角度对此类函数的周期性和单调性进行了研究. 虽然奇偶性在前期没有研究，但是也不需要放在本课时，原因是冲淡了本课时的研究思路，使得研究线索不清晰，重点不突出.

因此，按照研究的基本套路进行是选取研究内容的基本原则，但是要结合具体的研究对象灵活应用. 为此，要研究教材，还要树立一个观点：一节课的学习目标要明确，研究重点要突出，研究思路要清晰，只有适当的“舍”才能确保更大的“得”. 只要在本节课将图象研究清楚了，掌握性质就是水到渠成之事. 此函数由参数[A，ω，φ]所确定，知道了参数的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质.

（3）关于发现问题：是否要从函数[fx±a]与函数[fx]的图象的关系引出？

在磨课的过程中，有教师提出：是否可以根据函数[fx±a]与函数[fx]的图象之间的关系先得到函数[y=Asinωx+φ]的图象的变化量，再用筒车模型予以解释，目的是培养学生学会发现和提出问题. 这种想法的初衷是很好的，但是问题在于这样做改变了研究的主线，突出了抽象结论，不能很好地体现“5.6 函数[y=Asinωx+φ]”的整体性，既不能突出函数是刻画现实世界中的变化规律的模型，又不能充分发挥筒车模型的作用.

事实上，“5.6 函数[y=Asinωx+φ]”的节引言就指出了本节课的研究方法，紧扣节引言，可以自然地发现和提出问题：描述单位圆上的点的运动规律的正弦函数[y=sinx]的图象我们已经研究过了，那么描述一般圆周运动的规律的函数[y=Asinωx+φ]的图象与它有什么关系呢？这样提出问题，更有深度，更自然，并且能把“5.6 函数[y=Asinωx+φ]”的内容的整体性和逻辑的连贯性深刻地体现出来. 这才是单元教学的根本所在.

（4）关于问题的全面性：是否要研究横坐标相同时纵坐标的变化情况？

对参数[ω，φ]的研究都是针对横坐标的. 在讨论过程中，执教教师提出，学生面对这样的探究问题时，可能不会直接想到要研究纵坐标不变时横坐标的变化情况. 在教学过程中，是否应该引导学生进行更加深入的探究？即是否应该研究横坐标相同时函数[y=sinx]与函数[y=sinx+φ]和函数[y=sinωx+φ]的图象的关系，以进一步明确函数图象变换与坐标变化之间的对应关系？万一学生在课堂上提出来这个问题，是否应该研究？执教教师之所以这样考虑，出發点之一是问题的全面性，之二是尊重学生的思维.

经过讨论，我们形成的观点是：首先，教师不提出这个问题;其次，即使学生提出了，课堂上也不进行研究. 目的是要通过适当的取舍保证课堂教学的重点和实际教学效果. 事实上，例2“摩天轮问题”中两个座舱的高度差问题就是横坐标相同时函数图象的关系. 此时，只要做减法，利用三角恒等变换进行化简即可得到一个新函数.

可见，不仅要学习理论，还要恰当地应用理论. 在这样的讨论中理解理论，恰当地用好理论，就是进步.

（5）关于不同媒体技术的融合：是否要用模拟筒车的动画帮助学生理解盛水筒的运动关系？

执教教师技术应用水平很高，她编写程序，设计了一个筒车模型，用以演示研究参数变化时筒车上盛水桶的运动. 在试讲中，笔者观察到学生容易理解各个参数对应的筒车模型中的物理意义，困难在于不能用准确的数学语言表达这个现象，即学生不能从几何角度用符号语言表示点的关系，进而抽象出函数图象的关系. 在磨课时，笔者向执教教师提出问题：“你有没有觉得你的动画筒车模型并没有发挥什么作用？”执教教师的第一反应是：“是的，我准备下节课上好好用一下这个模型…….”这是常见的想法，展示技术使用水平，活跃课堂气氛.

经过讨论，去掉了这个模型，避免画蛇添足的现象. 事实上，执教教师在课上展示的一个简单的变式情境效果更佳：你和同学用同样的速度跑400米，他站在你的前面，那么谁先到达终点？

是否需要融入技术，要看学情和内容. 本节课中使用的方法是，在学生徒手绘制函数图象之后，即在具体感知的基础上，用GeoGebra软件绘制函数的精准图象，用技术带领学生从有限上升到无限，从局部走到全局，从粗糙走到精准. 这就是技术的作用，是辅助，而不是代替.

2. 比较新、旧教材，确定教学内容的“取”“舍”

（1）关于单元标题的变化：突出一类函数的地位.

旧教材中的单元标题是“函数[y=Asinωx+φ]的图象”，而教材中的单元标题是“函数[y=Asinωx+φ]”. 从标题上看，旧教材中的内容似乎相当于“5.6.2 函数[y=][Asinωx+φ]的图象”，但这样的理解只是顾名思义.

教材中，函数[y=Asinωx+φ]的定位是与其他函数并列的一类函数，其研究套路与其他函数是一样的：现实情境—函数模型—图象与性质—函数应用. 因此“5.6 函数[y=Asinωx+φ]”是一个典型的数学建模活动.

执教教师执教的第2课时是在建立函数模型之后研究函数的图象. 在这个研究过程中，要充分发挥函数[y=Asinωx+φ]的现实背景的作用，将图象变换与筒车模型紧密联系起来，让学生具体理解函数图象的变换. 事实上，很多教师对函数[y=Asinωx+φ]的图象变换规则的理解是在使用教材之后顿悟的，之前只能抽象地给学生解释. 因此，要按照教材的定位教学，紧扣教材，用参数的物理意义解释函数图象的变换. 在这节课上，执教教师深刻领悟教材的编写意图，按照“5.6 函数[y=Asinωx+φ]”的定位，按照知识发生、发展的过程自然地开展教学，使得本课时与前一课时在思想上具有一致性，在思维上具有系统性，突出了完整的数学建模活动和学习内容的整体性.

（2）关于研究方法：注重单元线索的应用.

研究函数图象关系的基本套路是：通过研究函数图象上任意一点的特征把握图象的特征. 这种研究套路，最初出现在教材第85页的练习3，即依据奇函数、偶函数的定义，证明其图象的对称性. 继而是教材第87页的第13题. 之后是教材第116页，研究指数函数[y=2x]与[y=（1/2）x]的图象的关系;教材第132页，研究对数函数[y=log2x]与[y=log12x]的图象的关系;等等. 本节课中同样是以一对盛水筒的运动为研究对象，得到两个函数图象上一对点的位置关系，进而得到两个函数图象的位置关系.

教材第117页和第132页的“探究”，将上述对具体函数的研究上升到一般，这种从特殊到一般的研究思路也是本单元不同内容共性的体现. 本节课也采用了该办法.

与指数函数、对数函数中研究函数图象关系的不同之处是，本节课所研究的函数[y=Asinωx+φ]中有三个参数，与此相关的是初中研究二次函数图象的经验，以及物理、化学学习中的经验，因此在教学中要引导学生类比，用好控制变量法.

如果在之前的学习中教师注重了对研究套路的应用和揭示，本节课研究函数[y=sinx]与[y=Asinωx+φ]的图象的关系，就是这些方法的巩固. 这也是单元教学的追求，要注重单元线索的挖掘，并有计划地培养学生自觉应用的意识和能力.

从本节课的教学来看，这三点执教教师都兼顾到了，但也有需要改进之处. 在本节课一开始就复习了研究二次函数图象的办法. 这是需要改进之处. 原因是出现得太早，显得有些突兀. 如果将这个环节稍微往后放一放，放在提出问题如何由研究函数[y=sinx]的图象变化得到函数[y=Asinωx+φ]的图象之后，这个环节的必要性就体现出来了，也就自然了. 做得比较好的是，在具体研究每个参数变化对函数图象的影响时，采用了由特殊到一般、由一对点的位置关系到函数图象位置关系的方法.

三、真正服务于学生的教学方能实现高质量

教学内容—教学设计—学习任务（用学案或在PPT上呈现）—课堂教学，这是教学的“三步曲”. 每一步都很关键，第三步尤为关键. 这是从理论到实践的跨越，是对教师综合素质的挑战. 执教教师在这节课上做到了以下几点.

1. 设计开放性问题，为学生思维发展而教

三个参数[A，ω，φ]的研究顺序怎样确定？为此，执教教师设计了问题引导学生思考. 在试讲时，教师给学生展示的机会，学生有各种各样的想法，这样做有助于培养学生的发散思维. 但是，在正式上课时，估计是一时紧张，教师自己直接确定了研究的顺序，即[φ—ω—A]. 这是需要总结的经验和吸取的教训.

再次分析这两次上课的情况. 在试讲时学生给出了不同的想法，但是每种想法分别是不同学生想到的，并不是师生在理性分析前一种方法优劣的基础上得到的，即学生的思辨性还有待提高. 因此，在教学中，教师要注重引导学生聆听、质疑，把学生的思维引向深刻.

事实上，对三个参数的研究顺序不局限于教材中给出的顺序. 教材中的设计：一方面，是与学生已有的知识经验相联系;另一方面，是学生比较容易理解这种研究顺序. 如果先研究参数[ω]再研究参数[φ]，难度就会提高，相当于人为设置了教学难点.

2. 设计结构化问题，为培养学生的定向探究能力而教

对于每个参数的研究，执教教师都设计了一组问题，包括一个主问题和若干个追问. 例如，对参数[φ]的研究，设计了如下的问题和追问.

问题：类比初中时研究二次函数的方法，我们遵循从特殊到一般的思想，先取特殊值[φ=π6]，再类比总结任意[φ]值对函数图象的影响. 按照这样的思路，函数[y=sinx+π6]与函数[y=sinx]所描述的动点[M]所做的匀速圆周运动分别是什么？主要区别是什么？结合筒车模型说明.

追问1：如下图所示，任取单位圆上一点[P]. 若动点[M]（记为点[M1]）以[Q0]为起点运动，经过[x]s后到达点[P]，则动点[M1]转过的角的弧度是多少？[y]与点[P]的关系是什么？

追问2：如上图所示，若动点[M]（记为点[M2]）以[Q1]为起点运动，到达同一个点[P]时，其所用的时间是缩短了还是延长了？从物理角度如何进行计算？

追问3：根据上述实验过程分析. 若点[x，y]在函数[y=sinx]的图象上，那么哪个点一定会在函数[y=][sinx+π6]的图象上？写出点的坐标，并说出这两个点的位置关系.

追问4：根据上一个问题的结果，你能说出函数[y=][sinx+π6]的图象与函数[y=sinx]的图象有怎样的联系吗？说明原因.

追问5：选择一个[φ]的其他取值进行实验，函数图象会有怎样的变化？结合筒车模型解释.

追问6：根据上述实验结果，你能归纳出[φ]的取值对函数[y=sinx+φ]的图象的影响的一般性结论吗？

该问题是引导学生理解筒车上盛水筒的运动与对应函数的关系. 追问1和追问2从物理的角度按照行程问题具体分析两个盛水筒的运动，并计算出各自到达同一位置需要的时间. 追问3将物理意义转换成数学语言，并找到两个点的位置关系. 追问4从一对点的位置关系推断出两个函数图象之间的位置关系. 追问5和追问6从特殊到一般获得结论.

研究参数[ω]和[A]时设计的问题与这一组问题结构类似. 这样，只要会研究参数[φ]就可以类比研究参数[ω]和[A]. 在这样结构化问题设计的基础上，课堂教学就可以逐步放手. 教师带领学生研究参数[φ];学生独立思考确定研究参数[ω]的研究路径，教师指导，之后小组合作完成;学生独立完成研究参数[A].

在实际教学时，执教教师接下来设计的问题如下.

（1）你准备如何探究参数[ω ω>0]对函数[y=][Asinωx+φ]的图象及性质的影响呢？试设计方案，猜想结果. 先独立思考，再小组讨论.

（2）能否自行设计方案对参数[A]进行研究，并总结出参数[A]对函数[y=Asinωx+φ]的图象的影响？

这种结构化、系列化的问题设计层层递进，逐步开放，让学生有序地探究，有逻辑地思考，培养他们定向探究的能力. 这一点执教教师设计得好，在课堂上实施得也很好，“三步曲”中第三步的實践是成功的.

3. 精准表述问题，为提升课堂效率而教

在试讲时，追问3的表述是“并说出这两个点的关系”，结果学生的回答各式各样，看似活跃，实则暴露出设计中的不足：教师设计的问题表述不够精准，所以不同学生理解的角度不同，造成了教学中时间的浪费. 之后进行修改，增加了两个字“位置”，再上课时，学生的回答一步到位. 可见，不是学生理解的问题，而是问题的指向性不明确.

当参数[ω]和[A]变化时，坐标要伸长或者缩短，以谁为参照？这一点在很多课上都是含混不清的. 在试讲中，学生都能说对结论，但是我们感觉学生并没有真正理解往哪里压缩或者怎样伸长. 于是执教教师在教学设计中增加了一个追问“哪些点的坐标不变”，将学生意会的感觉转变成了明确的事实.

因设问指向不明引发的课堂“活跃”，在教学中常见. 遇到这种情况时，教师不要陷入与学生的讨论中，而是要敏锐思考，及时修正.

4. 调控节奏，注重生成，为学生的真实学习而教

这节课的教学目标之一是让学生结合筒车模型具体理解参数变换对函数图象的影响，而不仅仅抽象地记忆结论. 在课堂上，当改变参数的值（如令[φ=-π4]）时，相应的函数图象怎样变化？学生回答正确. 执教教师追问原因，学生又回到抽象的纯代数的解释. 对此，执教教师没有急于讲解，而是引导学生用筒车模型解释. 学生这样做的原因是，在前期学习中纯粹代数的方法他们已经熟悉了. 而教师的主导作用就是引导学生用新的方法解决问题，掌握了新方法才能突破后续图象变换的难点，并真正理解之前学习到的抽象结论. 从课堂教学过程上看得出这是一个艰辛的过程，学生在总结参数[ω]对函数图象影响的一般结论时，依然要回到抽象结论，教师及时地将之拉回到筒车模型上. 在最后目标检测的回答中学生能流畅地用筒车模型解释变化量，说明学生确实理解了.

学生的数学基础有差异，性格特点不同，总是有的学生思考得快，有的学生积极发言. 对此，执教教师的处理很合理，让先举手的学生稍微等待一下还没有想好的学生，这样做兼顾了大多数学生. 这种做法中一个潜在的值得肯定的亮点是：教学是为学生而教，不是让学生附和教师的节奏. 当然，这样的现象还可以改进，即如果教师将学习任务做成一个清单（或者学案）发给学生，那样，不同思维层次的学生就可以不受限于其他学生的进度而自行推进，在需要时或者在教师组织时加入到集体讨论和共同学习中即可.

四、尾声：整体观之下的评课范式

章建跃主编指出，笔者对这节课的点评不是简单的说课堂上哪里做得好，哪里做得不好，而是提供了评课的一种范式. 这个范式可以概括如下.

1. 树立正确的“点评观念”：点评是交流

将一个理念转变为一种行动是要经过反复实践的，对教师而言其成长需要一个过程. 此外，对于同一教学内容，不同的教师、面对不同的学生，其具体实施办法都是不同的.

教师教学用书中的课例“5.6 函数[y=Asinωx+φ]”是由山西省太原市第五中学的师生提供的，这是山西省第一梯队的学校，所以通过课上、课下联动的方式，在两课时内完成了教学任务. 而执教教师根据她的学生的特点，划分为三个课时进行教学. 在探索参数对函数图象的影响方面，有的教师采取同时给出参数的三个具体值，让学生用技术画图，并结合筒车模型进行解释，而执教教师的设计则是只给参数的一个具体值，解决了这个问题之后，再变式.

不同的处理办法不能简单地以对错评判，更重要的是看与学情适合与否. 因此，点评时更重要的是要通过交流让听课者理解为什么这样做，并思考自己的教学应该怎样做. 因此，点评是交流和分享，不是评判好与坏、对与错.

2. 确定合理的“点评内容”：从背景到行为

如上三条就是按照本次活动中评课的内容撰写的. 它们依次是：整体感知，教学设计，教学实践.

整体感知，是对本次活动过程的一个概述，是有感而发，不是固定的内容. 例如，这次与执教教师磨课的过程中一个最大的感触就是她前期认真学习，并且基本领悟到位;每次交流之后，新的想法都能落实. 据此感觉到学习的重要性，于是撰写了本文的第一部分.

教学设计的形成是从理论到实际不断转变的过程，是“四个理解”的体现. 第一稿的教学设计是理想化的，并且还存在对教材理解不到位之处. 交流之后修改，形成第二稿. 这一稿依然是在探索如何能更好地落实教材的编写意图，并基于学情预设问题. 基于第二稿进行了试讲，这是教学“三步曲”的第一次实践，经过试讲发现问题，及时调整. 例如，去掉筒车模型的动画，改进问题的指向性，等等，于是形成第三稿. 这一稿既能落实教材的编写意图，又符合学情. 本文中的第二部分就是写这个过程中的心得.

教学实践，即对教学现场师生表现的分析. 这是教学“三步曲”的第二次实践. 与试讲相比，由于所处的环境、面对的学生又有变化，所以它不是试讲的再现，而是新的挑战. 这就是教学，永远没有重复. 在这次实践中有得也有失，但是就执教教师这节课而言，得远大于失，教师的驾驭能力比较强，我们看到了执教教师从试讲到实战的再次成长. 本文第三部分，就是写这个阶段的得失.

对教师教学行为的评价置于大背景之下进行，让教师及其他参与者不仅能“知其然”还能“知其所以然”.

3. 采用启思的“点评方式”：提问法

点评者所遇的情况也不尽相同：有时是像本次活动一样全程跟进，有时是前期没有与执教者的交流就直接进入评课，有时是网络环境不便于互动交流，等等. 不管哪种情况，都可以采用提问的方式，也许不能面对面互动，但是可以让执教者思考，让听课者思考，在思维层面形成一种互动. 通过这样的方式，激活所有参与者的思维，激发教师的智慧，真正实现理解本质，有教无类.

4. 恰当表达“点评思想”：凝练标题

评课类似撰写评论，要有自己的主张，因此要提炼出标题，表达自己的思想. 本文的标题就是此次评课时的主题，是在磨課过程中不断思考、提炼得到的.

作为一名刚入职的年轻教师，执教教师这节课确实还存在需要改进之处. 例如，变式的丰富性，画图、语言的准确性，等等. 但是值得我们学习的更多.

对于笔者而言，从磨课到评课，再到写出本文，也是“三步曲”. 给别人做指点容易，评说别人的课也容易，而今天再写出来确实还是有挑战性的. 教师和教研员在各自的“三步曲”中不断探索，为切实提升课堂教学质量共同努力.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[3]章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M]. 上海：华东师范大学出版社，2021.