找准进阶点，挖掘数学本质

孔繁晶

摘  要：函數的概念是贯穿数学学科各个学段的重要概念，高中学段的学习必然是前期学习的延续和拓展. 根据学习进阶理论，教师结合学生的认知基础和发展规律，遵循数学概念建立的逻辑性和层次性，逐级搭建适宜学生的“阶”，进而实现函数概念的再认识.

关键词：函数的概念;学习进阶;概念的再认识

托马斯指出，函数的概念是近代数学思想之花. 函数的概念是贯穿数学课程的主线，从数学启蒙到初等数学再延伸至高等数学，从函数的一般性质到常见函数研究再延伸至三角、数列等领域，纵深发散，成为现代数学知识体系中的重要一环，也是学习物理等其他学科的重要基础和研究工具. 函数概念教学的优化对帮助学生逐步完善数学概念、掌握常用的数学研究方法、形成严密的数学逻辑思维具有重要的代表性和示范性.

学习进阶理论源于美国科学教育领域，适用于学生在较大的时间跨度内对某一学习主题的认识、理解和实践，具有从简单到复杂，从低水平到高水平的发展特征. 近年来，学习进阶理论逐步进入数学等学科教学领域.

鉴于“函数的概念”的内容特点，教师可以基于学习进阶理论，找准学生的学习进阶点，有序引导学生建构，最终实现核心概念有层次地生成. 下面笔者以苏教版教材为例，就此略谈一二.

一、基于学习进阶理论的教材与学情分析

1. 教材分析

函数的概念贯穿于数学学科的各个学段，高中学段的学习必然是前期学习的延续，也必将成为下一学段学习的先导. 因此，教师在进行教材分析时，不可割裂知识体系的一贯性，单纯考虑当下学段，建议要做到“厘清来路，了解去处”，才能在宏观处构建函数的概念进阶体系，如表1所示.

由此可见，各学段教材对于函数概念的组织与安排是随着学生认知发展水平的提升而提高的，且螺旋上升. 再重点分析、对比“动态变量研究阶段”和“静态对应研究阶段”，初中与高中阶段函数的概念呈现特点对比如表2所示.

2. 学情分析

经过初中阶段的学习，学生能够运用运动的观点认识函数，并且通过对一次函数、二次函数等具体函数的研究建立了较为感性的认识. 到了高中阶段，学生又经历了集合内容的学习，初步形成了集合观点，熟悉了集合语言. 但“函数的概念”一课具有较高的抽象性，结合学生的认知发展水平来看存在着一定的难度. 具体分析如下.

（1）为何要以集合与对应的观点重新定义函数？（学习的动因.）

（2）如何以集合语言描述实例中的对应关系，进而抽象出函数概念，探寻数学本质？（学习的核心.）

（3）如何理解初、高中函数概念的关系，是完全不同的定义，还是概念的深化和拓展？（学习的关联.）

（4）能否运用函数的概念对以多种形式表达的对应进行判断？（学习的应用.）

以上结合教材和学情提出的关注点正是进阶设计的障碍点，教师只有清楚了学生所在的“阶”，才能为学生构建更合适的“阶”.

二、基于学习进阶理论的过程设计

基于学习进阶理论的过程设计，应该找准进阶的起点，高度重视进阶序列的搭建，通过逐级完成和评测，达到进阶终点.

1. 复习旧知，回顾初中函数的概念——学习进阶的起点

问题1：在初中，我们是如何定义函数的？

师生共同回顾初中函数的定义：在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数.

问题2：我们学习过哪些函数？能举些例子吗？

【设计意图】教师提出问题帮助学生回顾旧知，突出函数“变量说”的要点，即两个变量、y随x的变化而变化、每个x对应唯一的y. 通过复习，使学生明确学习的起点. 在这个过程中也可以看出经过初中学习，学生对于函数概念的认识仍停留在具体函数，并依赖于解析式刻画变量关系，抽象水平较低.

问题3：思考y = 1，x ∈ R是函数吗？函数关系是不是必须通过解析式来刻画？

学生争论不休，一时无法决断. 教师亦不下结论，鼓励学生带着疑问开始本节课的探究.

【设计意图】认知冲突是学习的源动力. 学生认为，在y = 1，x ∈ R中，y似乎不随x的变化而变化，按照已知函数定义无法进行准确判断. 可见初中函数概念存在着无法完成的任务，这就成为我们进一步发展函数概念的原因和动力.“函数关系是不是必须通过解析式来刻画？”这个问题则指向对函数本质的思考——两个变量到底是什么样的关系？并为函数表示方法的学习进行铺垫.

2. 问题引导，逐级生成函数概念——学习进阶的路径

（1）第一阶——实例探究概念.

活动：阅读三个实例.

实例1：人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据. 从中国统计年鉴中可以查得我国1979—2014年（年末）人口数据资料如表3所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗？

实例2：一物体从静止开始下落，下落的距离y（单位：m）与下落时间x（单位：s）之间近似地满足关系式[y=4.9x2，] 若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？

实例3：图1为某市一天24小时内的气温变化图.

【设计意图】三个实例来源于生活及相关学科，易于引发学生的注意与兴趣，同时对应函数的三种表示方法，成为可以一以贯之的案例，有利于体系化的学习.

学生逐个阅读后，教师引导学生以整体眼光继续分析.

问题4：上述三个实例中各有几个变量？你能描述各个实例中变量之间的关系吗？变量之间能构成函数吗？

【设计意图】问题串引导学生对三个实例进行整体思考. 预设学生会以最为熟悉的以解析式刻画两个变量关系的实例2入手，实例1和实例3虽然会费一些周折，但可以判断三例均是函数. 由此拓展了认识：除了解析式，函数的变量关系也可以用表格、图象来刻画，并体会所谓的“对应”.

問题5：我们学习了集合这种重要的现代数学语言，能否用集合语言分别描述这三个实例？

学生沉默.

问题6：能否试着将这个问题进行分解？① 用集合语言来描述这两个变量;② 用集合语言来描述这两个变量之间的关系.

【设计意图】教师先抛出大问题，学生无法着手，此时引导学生以集合语言为基础分解问题、探究结论. 如此设计是为了在注重知识传授的同时，渗透思想方法的养成.

教师鼓励学生先从三个实例中选取一个来研究，然后展示交流.

【设计意图】引导学生建立探究问题的一般路径：由简入难，从特殊到一般.

大部分学生选择实例1，师生共同探究如下.

首先，分别用集合A，B表示年份和对应年份的人口数：

[A=1979，1984，1989，1994，1999，2004，2009，2014，]

[B=975，1 044，1 127，1 199，1 258，1 300，1 335，1 368.]

其次，用集合语言描述集合A中元素与集合B中元素的对应关系，如图2所示.

集合A中的每个年份在集合B中都有一个人口数与之对应.

少部分学生选择实例2和实例3，研究流程与实例1类似，但在交流中发现：在实例3中，集合A（时间组成）中的元素7和23均对应集合B（温度组成）中的0，这与实例1有所差别. 说明对应关系可能是一对一，也可能是多对一.

【设计意图】充分相信学生是开展教学的基本要素. 适时引导后，学生运用集合语言分析三个实例，在其“跳一跳，够得到”的范畴，发现一对一、多对一的差别，令人惊喜.

（2）第二阶——抽象生成概念.

问题7：能用集合语言阐述上述三个实例的共同特点吗？

预设回答：三个实例都涉及两个集合，且集合A中的每个[x]在集合B中都有一个[y]与之对应.

问题8：有没有补充？两个什么样的集合？“都有一个”是什么含义？

预设回答：是数构成的集合，不能是空集，“都有一个”指的是“有且只有一个”.

师生共同总结，给出集合视角下的函数概念：给定两个非空实数集合A，B，如果按照某种对应关系[f，]对于集合A中的每一个实数[x，] 在集合B中都有唯一的实数[y]和它对应，那么就称[f：] A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作[y=fx，x∈A.] 其中，[x]叫做自变量，集合A叫做函数的定义域. 我们将所有输出值[y]组成的集合[yy=fx，x∈A]称为函数的值域.

问题9：能否圈出函数概念中的关键词？

预设回答：两个非空数集、每一个、唯一、对应.

回应问题3，依据函数新定义可以判断y = 1，x ∈ R的确是函数，且函数关系除了可以用解析式描述外，还可以通过列表、画图描述.

【设计意图】函数概念的生成是这节课的核心，通过一系列的铺垫引导，学生从三个实例中归纳共性，抽象概念已经水到渠成，圈画关键词有利于学生抓住概念核心，突出函数的本质——对应.

问题10：① 怎样理解符号[y=fx ？]②[fx=x2，][x∈0，+∞]与[ft=t2，t∈0，+∞]表示的是同一个函数吗？

师生共同探讨，明确[fx]是一个整体，是对应关系[f]对[x]的作用，形象理解为将[x]投入加工机器[f]生成产品[y，] 如图3所示.

例如，[fx=x2-1，] 可以理解为将x投入加工机器[f，] 进行“先平方，再减1”的运算，最终输出结果[y.] 不同的机器[f]对放入的[x]进行不同的加工处理，而对于同一机器[f，] 放入不同的[x]也会生成不同的[y.] 至此，问题10的第②问迎刃而解，并明确函数三要素的从属关系.

【设计意图】函数概念的生成、符号[fx]的引入凸显了数学的抽象特征，既是重点，也是难点. 为了帮助学生深刻理解，借用机器加工的形象比喻，化抽象为形象，揭示函数的本质.

（3）第三阶——借史深化概念.

师：同学们，回顾我们构建函数概念的过程实在是漫长且不易. 而纵观数学发展史，函数概念则历经了300多年的变迁. 下面我们一起来了解一下函数的前世今生.

变量说：1718年，约翰·贝努利给出函数定义：一个变量的函数是由该变量和一些常数以任何方式组成的量. 但仅仅局限于代数式. 1748年，欧拉首次提出用“解析式”定义函数：变量的函数是一个解析表达式，它是这个变量和一些常量以任何方式组成的所谓解析式，它是通过算数运算、三角运算及指数运算连接变量和常量的分子. 这里打破了代数式的局限. 1755年，欧拉再次定义函数：如果一些变量以这样一种方式依赖于另一些变量，当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，则前面的量称为后面的量的函数. 与现代定义很接近，破除了用解析式表达函数的局限性，画在坐标系上的曲线也叫做函数.

对应说：1823年，柯西给出定义：对于[x]的每一个值，如果[y]有完全确定的值与之对应，则[y]叫[x]的函数. 破除了用解析式表达函数的局限性，避免了“变化”，提出了“对应”. 1837年，狄利克雷进一步定义：对于在某一区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的函数. 这是公认的函数经典定义. 黎曼加强定义：若对于x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，不管建立起这种对应方式如何，都称y叫x的函数. 强调函数概念的本质是“对应”.

对应说→关系说：19世纪末，康托创立集合论，成为现代数学的基础，体现了现代数学的思想. 一系列的现代数学概念都建立在集合论之上，函数的概念也不例外. 20世纪初，维布伦提出用“集合”和“对应”给出函数定义，通过集合语言描述函数的对应关系、定义域及值域之间的关系，且打破了“变量是数”的极限. 注意：变量可以是数，也可以是其他对象（点、线、面、体、向量等）.

教师引导学生简单谈一谈阅读感悟.

师：我们不难看出函数概念的形成和发展是不断被挖掘、丰富、精确的过程. 在这个过程中，无数数学家付出了艰辛的劳动，彰显了严谨、坚毅的数学精神. 追寻他们的足迹，我们对照自己的学习，终于明确：① 初、高中函数定义是递进的、发展的关系;② 用集合的视角进一步定义函数是因为集合论是研究现代数学的基石，集合语言是现代数学的普适语言;③ 至此，函数概念的发展仍未停歇，今日学习的定义也只是学习过程中的一个站点.

【设计意图】M.克莱因认为，历史顺序是教学的指南. 学习函数概念的过程与函数概念的历史发展过程基本吻合，而函数发展史上的困惑也与学生学习中的困惑基本吻合. 因此，将概念发展的历史融入课堂，可以帮助学生理解函数概念发展的必然性，并且在大历史背景下提升对“集合”“对应”的认识，以突破本节课的难点，并渗透数学精神.

（4）第四阶——练习巩固概念.

练习：试判断下列对应关系是否是函数.

① 某小组此次数学测试的分数如表4所示.

②[x→y，y2=x，x∈N，y∈R.]

③ 当[x]为有理数时，[x→1;] 当[x]为无理数时，[x→0.]

④ 如图4.

练习①强化函数是两个数集之间的对应. 可以补充追问，如何修改使其成为函数？学生指出将缺考记为0即可;练习②以解析式描述对应关系，考查“任一对应唯一”的判断;练习③为经典的狄利克雷函数，考查函数关键属性的同时，引入分段函数的认识;练习④中蕴含数形结合思想，确定y不是关于x的函数. 学生提出换个角度考虑问题，x是关于y的函数也未尝不可.

【设计意图】练习题组扩充了教材例题单纯以解析式形式刻画对应关系的辨析，而融入表格、图象的形式，旨在加强学生对函数对应本质的理解，并为后续学习做铺垫. 正例与反例的辨析有利于学生巩固对概念的理解，反例尤其有助于学生加深对函数概念的关键特征的认识. 教师需充分发挥学生的主观能动性，经由热烈的争论与交流实现知识的内化.

3. 总结梳理，深化升华函数概念——学习进阶的终点

问题11：经历以上研究，你对于函数的概念有了哪些新的认识和想法？

知识内容层面：归纳抽象得出用集合语言刻画的函数概念，深挖数学本质，掌握关键属性，运用符号语言，并了解函数概念的发展历史.

思想方法层面：在生成概念的过程中，感受从具体到抽象、由已知探未知的研究方法，提升学生的抽象能力、数学语言能力等.

数学精神层面：通过概念探索和数学史回顾，体会数学家的坚韧、执着，追求数学理性精神.

【設计意图】教师鼓励学生进行全方位的梳理和思考，最终达到学习进阶的终点. 这里需要特别注意，设置开放性的总结和思考有助于学生整体审视学习过程，内化、升华学习成果. 需要留给学生足够的时间，不要让其流于形式.

三、基于学习进阶理论的评估与反思

本节课的教学设计运用了学习进阶理论，根据学生的进阶起点，以初中函数的概念顺应高中函数的概念，引导学生从具体到抽象、从特性到共性，针对概念的生成设置层层递进的“阶”，帮助学生逐级构建并加深集合视角下函数概念的再认识，同时使得学生探究问题的能力得到提升，实现从知识到思维的全面进阶. 整体过程如图5所示.

在这个过程中，学生的主体地位得到了充分彰显，教师的主导作用也得到了有效体现. 基于学习进阶理论的教学尝试有利于促进数学学科核心素养的落地生根.

参考文献：

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[3]傅赢芳，喻平. 从数学本质出发设计课堂教学：基于数学核心素养的视域[J]. 教育理论与实践，2019，39（20）：41-43.

[4]何小灵.“函数的概念”教学设计[J]. 中国数学教育（高中版），2017（1 / 2）：9-11，13.