以形析质 深化认知

摘 要：数学是一门逻辑性比较强的学科，初中数学教师在开展教学工作时，既要使学生理解、掌握基本理论知识，又要对学生的数学能力做出充分培养.在此期间，教师根据学生初中生几何直觉观察能力所处的真实水平，并进行有意识的指导，将起到对学生知识构建与能力发展的促进作用.基于这一认知，文章分析了几何直觉觀察能力的内涵，提出了初中生数学几何直觉观察能力构建的指导原则，并给出建立于基本指导原则之上的具体操作策略.

关键词：初中数学;几何直观;教学方法

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）05-0002-03

收稿日期：2021-11-15

作者简介：朱来娟（1979.12-），女，中学一级教师，从事初中数学教学研究.

在新课程标准中，对数学教师进行数学教学，提出了注重学生数学能力培养的要求，并希望教师能够利用行之有效的举措，帮助学生在数学能力方面有所建树.几何直观能力作为学生应当掌握的能力之一，自然也要得到教师的重视.一些理论研究和教学实践证实：利用对学生的几何直观能力的培养，能够让学生在数学学习兴趣激发、学习积极性调动、将抽象内容和直观形象相关联等多个方面展现出较强优势，最终实现以形析质、深化认知目标.为此，建议初中数学教师做好这方面的探索工作，给学生提供基于正确原则的、可操作性更强的直观能力养成机会.

1 对于几何直观能力的认知

夸美纽斯（Comenius）、裴斯塔洛奇（Pestalozzi）等人都非常重视直观主义的应用价值，而在我国教育领域，一般也会认可直观主义在能力建设方面的实用性，并认为：直觉观察可从感觉具体对象中，了解到与之相对应的抽象化的、理想化的本质内容，是一种由表及里的认知能力.或者也可以认为：建立于数学学科之上的直观，实际上是一种对概念或者证明的直接把握.总之，无论是国外还是国内，无论是从学科整体还是具体到数学领域，对于直观的解释，都不排除从浅到深的认知规律，只是因为研究主体和研究对象存在区别，所以这种直觉的把握，在水平上存在高低不同而已.

具体到初中数学学科，普遍认为本学科的逻辑严谨性特点应当值得重视，同时要对其演绎特点给予高度关注.但与此同时，我们也应该留意到：数学的历史发展进程，也表现出了人类对于数学的认识过程，这种过程既是动态的，又是直观和逻辑二者之间互为表里的.也就是说，数学学习过程与数学应用过程，并不能排斥几何直观能力，甚至如果离开直觉观察能力，会使学习与应用效果受到限制.

初中生几何直观能力培养所涉及到的图形，含义是丰富的，内容也非常广泛，它不仅仅局限在传统意义上的几何图形，也可以包括比较常见的平面图形、立体图形，还有其他诸如表格、框图、数轴、坐标系、直观素材，等等，图形代为处理的问题，也远远不能被数量关系所局限.初中数学教师利用图形开展描述问题、分析问题的指导工作，把复杂数学问题变得简单化，让学生拥有更多的探索与解决数学问题的机会.特别是教师有意识地进行几何直观能力培养努力，更是会让学生通过直观且形象的形式，展开对于数学概念、定义、公式、法则等的主动理解与应用.

2 初中生几何直观能力培养的原则

强化学生几何直观能力，是初中数学教师的职责所在，教师在相关教学方法设计时，应当基于几个基本原则.

2.1 坚持思维引导原则

为改善学生在几何直观能力方面的表现，需要教师始终在教学期间留意思维引导原则的导向性.初中生在思维方面比较活跃，这一特点对于教学有利也有弊，若教师不能正确干预和引导，学生便会因为思维分散而影响到学习效果.教师只有考虑及此，让直观能力培养期间的思维引导方向不偏、力度不减，才能促进学生在认知理解方面、方法应用方面持续进步.

2.2 突出创新应用原则

培养初中生的几何直观能力，需要教师在教学时多进行教学创新的尝试，包括教学观念创新、教学方法维新、教学资源革新等，都是值得重视的方面.例如在基本概念形象化展示时，教师借助多媒体技术手段的作用，便是比较典型的例子.这些创新性举措，会有效破除传统教学课堂的局限性，牢牢吸引学生注意力，使之自觉配合教师教学行为，增进对于教学内容的把握效果.

2.3 关注丰富拓展原则

初中数学教师在培养学生的几何直观能力时，需要在教学时突出教学内容的丰富与拓展可能性，使学生借此机会，达到对于教材内容的充分理解和延伸探索理想效果.这一原则的应用，需要教师同时关注教学内容是否有深度、教育思想与教育方法是否符合学生心理发展特点等问题，而此原则同思维引导原则、创新应用原则的相互协调，则会让学生对于几何直观能力进行更准确的把握.

3 初中生几何直观能力培养的思路

3.1 基本数学概念的形象感知

概念是初中生数学学习的根本，概念学习对于学生而言又具有较大难度，其原因通常在于抽象内容和学生形象思维特点之间不易化解的矛盾.此时，教师可以借助现代信息技术手段，将数学概念用利于几何直观的形象展示出来.

例如当面对“垂直”这个概念时，教师可以给大家播放一段中国小将全红婵的跳水比赛视频，然后向大家提出问题：“当运动员跳入水中的时候，水花非常小，她是怎样做到这一点的？”很多学生都会给出答案：“她的身体保持了垂直，其他运动员没有她做得好.”老师可以顺势引出垂直概念，以利于学生理解所学知识.这个例子侧重于说明学生学习数学时直观的优势，例子是倾向于真实形象的，而为了突出教学效果，教师还应当让直观更加贴近于几何知识，也就是通过传统的，或者现代的教育技术，将比较直观的、与几何知识相关的内容直接呈现出来，让学生乐于参与其中，并由此建立对于概念的准确印象.

3.2 数形结合方式的有效运用

数与形是初中数学教学时，两个极为重要的、互相关联的组成部分，若想更好地了解数学、弄通数学，需要几何直观能力的支持，而这项能力的取得，同样可以从数形结合的角度入手.例如，下面的问题：目前已知正实数X，求y=x2+4+（2-x）2+1最小值.从表面看来，本题较复杂，学生在只知道X为正实数条件下，不知道该怎样着手解决.此时，教师可以从几何直观角度着眼，并让学生的数形结合功能被激发出来.

据此教师可逐步启发学生明确：两点间距离公式P（x1，y1），Q（x2，y2）

PQ=（x1-2）2+（y1-2）2

y=（x-0）2+（0-2）2+（x-2）2+（0-1）2

在此之后，明确P（x，0）至 A（0，2）二者之的距离;P（x，0）至 B（2，1）二者之间的距离，同时注意到y为P（x，0）到 A（0，2）与B（2，1）两点距和，因此可用对称轴求得最短距离方式完成本题计算.在本题中，正是因为几何直观时的形与数相结合，才让问题迎刃而解.3.3 构图想象能力的顺势激发

应该说，构图对于处理数学问题具有重要的推动作用，在数学发展史上，不乏这方面的经典案例，像欧拉利用构图方式，将哥尼斯堡七桥问题顺利化解掉，笛卡尔利用构图方式发展了解析几何.在初中数学教学中教师从问题特点出发，以几何直观能力为归宿，使学生的构图想象能力被顺势激发，在此过程中，把原本内隐的构图做显性化调整，会给学生以极有启发意义的提示.此外，在初中数学教学时，教师既有引导学生读图、识图的必要性，又有使之接受根据问题特点进行构图指导的必要性，两项工作有机融入于几何直观能力培养思路中，保证教学目标的进一步优化.构图是一种极有意义的思维建构形式.教师可带领学生找准构图要素、明确构图顺序，在几何直观能力养成目标指引下，灵活调整构图方式、發展构图能力.例如，当接触到勾股定理的内容后，教师可以利用尺规作图的形式，将问题呈现在大家面前：请尝试比较1+ 2与10的大小.此题表面看来是单纯的代数问题，然而因为2、10二者均为无理数，直接比较大小难度较大.看到此题时，有学生表示：因为数轴上面的每个点都可以表示一个数，换言之，也就是每个数均能够在数轴上加以表示.那么是不是可以利用勾股定理构建直角三角形的做法，直接在数轴上呈现出无理数呢？有了想法后，学生便可以动手画图，将图形构造出来，用于处理实际的问题.在此过程中，学生的几何直观能力被有效激发，同时构造图形的过程本身也使得问题被从复杂转化成简单，从陌生转化为熟悉.

3.4 直观启发的层次渐进

教师在对初中生几何直观能力的培养过程中，应当以教材为中心，进行渐次递进式的教学设计，让学生的几何直观能力拥有有序发展的机会.具体讲，从学生学习层面分析，几何直观能力无法自发形成，即便有前述基本概念、数形结合、构图想象等方面的指导，也不容易达成理想效果.这一问题的解决，需要一个过程，也就是需要教师通过循序渐进的引导，让学生分步骤、分层次地接受启发，完成能力构建的最终目标.例如，教师可让学生首先直观基本图形，产生对于此类基本图形的几何直观印象，像看到a（b+c）会联想到长方形面积，看到|a-b|会联想到两点在数轴上的距离等.之后，可进行从图形表征得到解决问题的深层信息的难度提升训练，并让训练难度呈阶梯式递进.

直观，以及建立在直观基础之上的学习行为、解决问题活动等，具有理性的、逻辑的思维、行为所难以取代的作用，这一点对于其他学科如此，对于初中数学学科同样如此.应该说，几何直观是数学之中生动的、持续增长的、充满迷人魅力的课题之一，其在内容上、方法上的探索，将远远超过对于几何图形本身的探索价值.本文正是基于这一认知，率先分析了几何直观能力的内涵，提出了初中生数学几何直观能力构建的指导原则，并给出建立于基本指导原则之上的具体操作策略.

参考文献：

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[2] 花奎.强化几何直观，拓展知识结构———基于新教材的“基本不等式”（第1课时）教学[J].教育研究与评论（中学教育教学），2021（04）：70-73.

[3] 孙红强.图形：培养直观想象素养的关键要素[J].教育研究与评论（中学教育教学），2020（03）：50-53.

[责任编辑：李 璟]