巧用“圆”解题

摘 要：圆是中学数学中一种简单却又重要的曲线，也是中学阶段的重点内容，“圆”与“数”更

能非常美妙的结合，而利用圆进行解题的关键是要善于发现隐含于题中与圆有关的信息，抓住图形的特征，拓宽解题思路.恰当灵活地运用圆的知识，可以直观、巧妙地解答许多数学问题，它能使问题由难转易，由空洞到直观.常常具有化繁为简的功能，本文对圆在解题中的应用进行初步的探讨.

关键词：转化;构造;解题

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）05-0041-03

收稿日期：2021-11-15

作者简介：申海东（1973.6-），男，北京人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

日常教学中，我们经常会碰到一些用常规方法求解难度较大的问题.这时，如果构造适当的图形来给予辅助，往往能促使问题转简，使问题中原来隐晦不清的关系和性质在新构造的环境中清晰地展现出来，从而简捷地解决问题.这就是我们常说的数形结合，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非.”从这句话中也可以品出数形结合是非常重要的一种数学思想.在数形结合中，圆是我们经常构造的图形.圆是中学数学中一种简单却又重要的曲线，也是近几年考试的热点内容，“圆”与“数”能非常美妙的结合.我们构造圆进行解题的关键是要善于发现隐含于题中与圆有关的信息，抓住目的特征图形，拓宽解题思路.本文从一些典型的实例出发，介绍构造圆解题的几种常见情形，供大家参考.

在学习过程中，有一类几何问题，表面上是直线型问题，但利用直线型的有关知识解答很复杂，甚至有的找不到解决问题的思路.如果对题设进行认真分析，挖掘题中蕴含的与圆相关联的条件，构造圆，利用圆有关的性质，化繁为简，化难为易.下面举例说明构造圆的基本模型.

1 含有2倍角关系或特殊角45°

如果题目的条件中，有一个角是另一个角的2倍或者有一个锐角是45°时，在直接求解不好解决的时候，可以构造辅助圆，借助圆的相关性质尝试解决问题，其依据是在同圆或等圆中，圆心角是圆周角的2倍.

问题1 如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，CD=2.求△ABC的面积.

分析 只要求出△ABC的高AD即可求解本题，而常规的方法不是很好求解，故利用∠BAC=45°这个条件构造辅助圆.∠BAC为圆周角，那么圆心角∠BOC=90°，这时△BOC为等腰直角三角形.

解 如图1，作△ABC的外接⊙O.过点O作OE⊥BC于点E，由∠BAC=45°可知：∠BOC=90°，则△OBE、△OBC均为等腰直角三角形，且OE=EC=BE=2.5，则ED=CE-CD=0.5.过点O作OF⊥AD于点F，连OA，则四边形OEDF为矩形，所以OF=DE=0.5，DF=OE=2.5.在Rt△AOF中，由勾股定理得AF=3.5，所以AD=AF+FD=6，即S△ABC=12×5×6=15.

2 含有定长和定角

如果题目中有固定线段AB以及AB所对的∠C大小固定，可以将线段看成圆的弦，定角可以看做弦所对的圆周角，利用同弧所对的圆周角相等，可知点C并不是唯一固定的点，点C是动点，构造辅助圆解决有关问题，如图2.

问题1 如图3，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐標系内的一个动点.

（1）使∠APB=30°的点P有无数个.

（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标.

分析 （1）动点P，定线段AB，定角∠APB=30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个.

（2）根据（1）中分析可知，当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的正半轴的交点，借助垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识，即可求出符合条件的点P的坐标.当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标.所以，P1（0，23+7），P2（0，23-7），P3（0，-23-7），P4（0，-23+7）.

3 含有共顶点的三条等线段

如果题目中的条件中有“OA=OB=OC”这样的条件时，说明A、B、C三点共圆，可构造以O为圆心，OA为半径的圆，依据：圆的定义，到定点距离等于定长的点的集合是圆.

问题3 如图4，在△ABC内有一点D，使得DA=DB=DC，若∠DAB=20°，则∠ACB=0°.

分析 因为DA=DB=DC，故A、B、C三点在⊙D上，构造辅助圆.

由题知：∠DAB=∠DBA=20°，所以∠ADB=140°，

故∠ACB=70°.

问题5 如图5，在正方形ABCD中，连接BD，点E为CB边的延长线上一点，点F是线段AE的中点，过点F作AE的垂线交BD于点M，连接ME、MC.

（1）根据题意补全图形，猜想∠MEC与∠MCE的数量关系并证明;

（2）连接FB，判断FB 、FM之间的数量关系并证明.

分析 这是一道几何综合题，以正方形为背景探究角与角、线段和线段之间的数量关系，综合性比较强，需要学生应用题目中所有的信息，利用前面的结论，并能够将题目中的条件转化成相关的知识再解决.

（1）由正方形的对称性可知：AM=CM;由线段垂直平分线的判定定理可知：AM=EM，所以AM=EM=CM.

（2）构造⊙M，连接AC，∠AME=2∠ACE=90°，可知△AME是等腰直角三角形，再结合等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半，易证FB =FM.题目中虽然没有直接给出定点定线段，但是我们可以利用题中的信息得到相应的结论，在中考的综合题中，经常利用辅助圆的思想找到角之间的关系，可以简化证明过程.

4 四点共圆

如果题目中涉及到四边形ABCD，且四边形ABCD中一组对角互补或者四边形的外角等于内对角，或者如图6，已知∠1=∠2，∠3=∠4，我们就说A、B、C、D四点共圆，可以利用圆的性质定理解决相关问题.

问题5 如图7，等边△ABC中，AB=6，P是AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则DE的最小值为多少？

分析 因为∠PEC=∠PDC=90°，所以四边形PDCE的对角互补，PDCE四点共圆.如图12，∠EOD=120°，△EOD为等腰三角形，所以ED=

3r，r是⊙O的半径.要想DE最小，则r最小，直径CP最小.当CP⊥AC时，CP最小，此时CP=33，故ED=92.

由此可见题中的条件满足上述要求，构造辅助圆，会收到事半功倍的效果.利用圆将动态问题静态化，将复杂问题简单化，将直线形问题曲线化，借助圆的相关性质解决问题.

参考文献：

[1] 刘国祥.巧用辅助圆，妙解数学题[J].新高考（高三数学），2014（02）：31-32.

[2] 牛根吉.让探究活动在数学课堂学习中深度发生[J].中学课程辅导（教师通讯），2020（20）：35-36.

[责任编辑：李 璟]