凸四边形的若干翻折问题

赖霖 徐新植 黄悦军

摘 要：凸四边形翻折前后边与角之间有怎样的内在联系，文章以例题形式进行探讨.

关键词：凸四形;翻折问题;边角关系

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）05-0044-02

收稿日期：2021-11-15

作者简介：赖霖，男，在校学生.

徐新植，男，在校学生.

黄悦军，男，硕士，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

将一个凸四边形进行翻折，翻折前后四边形边长形成的夹角与所翻折的内角之间有何关系，笔者在老师的指导下进行了有关研究，并得到如下结论.

结论1 如图1所示，将四边形ABCD沿着直线EF翻折，点A的对应点为A′，且点A′在∠A的内部，那么有2∠A=∠DEA′+∠BFA′.

证 由图1可知，∠DEA′=180°-2∠A′EF，∠BFA′=180°-2∠A′FE，因此∠A′EF=90°-12∠DEA′，∠A′FE=90°-12∠BFA′.

又因为∠A′EF+∠A′FE+∠A′=180°，

从而90°-12∠DEA′+90°-12∠BFA′+∠A′=180°，

故2∠A′=∠DEA′+∠BFA′，又因为∠A′=∠A，

所以2∠A=∠DEA′+∠BFA′.

结论2 若将四边形ABCD沿着直线EF翻折，点A的对应点为A′，且点A′落在∠A的外部，那么有2A=BFA′-DEA′.

证 ①由图2可知，∠DEA′=180°-2∠DEF，∠BFA′=180°-2∠A′FE，因此∠DEF=90°-

12∠DEA′，∠A′FE=90°-12∠BFA′.

又因为∠A′EF+∠A′FE+∠A′=180°，

即∠DEA′+∠DEF+∠A′FE+∠A′=180°，

故∠DEA′+90°-12∠DEA′+=90°-12∠BFA′+∠A′=180°.

所以2∠A′=∠DEA′-∠BA′F，又因为∠A′=∠A，

所以2∠A=∠DEA′-∠BFA′.

②点A′落在∠A的外部且如图3所示，由图2情况，同理可得

2∠A=∠BFA′-∠DEA.

从而有2A=BFA′-DEA′.

若翻折凸四边形的两个角，我们有以下结论.

结论3 如图4，若将四边形ABCD沿着直线EF翻折，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，DA与CB的延长线相交与点O，且点A′和点B′均落在∠O的内部，那么2（∠A+∠B）-（∠A′ED+∠B′FC）=360°.

证 如图4所示，∠A′ED=180°-2∠A′EF，∠B′FC=180°-2∠B′FE，从而有∠A′EF=90°-12∠A′ED，∠B′FE=90°-12∠B′FC.

又因為∠A′EF+∠B′FE+∠A′+∠B′=360°，

故90°-12∠A′ED+90°-12∠B′FC+∠A′+∠B′=360°，

即2（∠A′+∠B′）-（∠A′ED+∠B′FC）=360°.

又因为∠A′=∠A， ∠B′=∠B，

从而有2（∠A+∠B）-（∠A′ED+∠B′FC）=360°.

结论4 如图5，若将四边形ABCD沿着直线EF翻折，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，DA与CB的延长线相交与点O，点A′落在∠O的外部，点B′落在∠O的内部，那么2（∠A+∠B）+（∠A′ED-∠B′FC）=360°.

证 如图5所示，∠A′ED=180°-2∠DEF，∠B′FC=180°-2∠B′FE，从而有∠DEF=90°-12∠A′ED，∠B′FE=90°-12∠B′FC.

又因为∠A′EF+∠B′FE+∠A′+∠B′=360°，

即∠A′ED+∠DEF+∠B′FE+∠A′+∠B′=360°，

故∠A′ED+90°-12∠A′ED+90°-12∠B′FC+∠A′+∠B′=360°，

即2（∠A′+∠B′）+（∠A′ED-∠B′FC）=360°.

又因为∠A′=∠A， ∠B′=∠B，

从而有2（∠A+∠B）+（∠A′ED-∠B′FC）=360°.

类似结论4的证明 ，我们可得结论5.

结论5 如图6，若将四边形ABCD沿着直线EF翻折，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，DA与CB的延长线相交与点O，点A′落在∠O的内部，点B′落在∠O的外部，那么2（∠A+∠B）+（∠B′FC-∠A′ED）=360°.

结论6 如图7，若将四边形ABCD沿着直线EF翻折，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，AD与BC的延长线相交与点O，点A′和点B′均落在∠O的外部，那么2（∠A+∠B）+（∠A′ED+∠B′FC）=360°.

证 如图7所示，∠A′ED=180°-2∠DEF，∠B′FC=180°-2∠CFE，从而有∠DEF=90°-

12∠A′ED，∠CFE=90°-12∠B′FC.

又因为∠A′EF+∠B′FE+∠A′+∠B′=360°，

即∠A′ED+∠DEF+∠B′FC+∠CFE+∠A′+∠B′=360°，

故∠A′ED+90°-12∠A′ED+∠B′FC+90°-12∠B′FC+∠A′+∠B′=360°，

即2（∠A′+∠B′）+（∠A′ED+∠B′FC）=360°.

又因为∠A′=∠A， ∠B′=∠B，

从而有2（∠A+∠B）+（∠A′ED+∠B′FC）=360°.

关于其他多边形有关翻折问题，留给感兴趣的读者进行研究.

参考文献：

[1] 张俊峰.平行四边形的翻折问题[J].初中生世界，2020（18）：51-52.

[2] 罗峻，段利芳.以翻折为辅助线的平几问题解析[J].数理化学习，2019（05）：30-36.

[责任编辑：李 璟]