体现数学本质的一题多解教学

张世凡 冉雪琴 张晓斌

[摘  要] 解题教学，既是推进基础知识复习巩固的有效手段，又是培养学生数学思维能力的重要途径，更是渗透数学思想方法的教学. 教师在解题教学中提倡和追求“一题多解”的教学来拓宽学生思维的广度与深度，培养学生思维的灵活度与创新度. 但是在面对“一题多解”教学时，重“量”轻“质”的教学现象经常发生，学生惊叹于教师的高明，茫然于各种解法的特殊技巧，最后导致一头雾水，不知所措.分析其缘由，教师在例题、习题教学环节中只重视了一题多解的角度广、途径多、技巧强，忽视了通过多种不同解法的对比、剖析、探究，进而挖掘、提炼、概括其共性思想方法的数学本质.

[关键词] 一题多解;多法归一;数学思想

高三数学复习教学，要求知识综合化、板块化、网络化. 因此教师常常从不同的角度、不同的层面采用多种方法解决问题，这些教学方法在短时间内能有效培养学生的发散思维能力和解题技巧，有利于学生提高解决综合问题的能力，但随着时间推移，中学阶段的数学教学能给学生留下多少内容？与大一学生交流发现，仅过半年的时间，他们已经不能完整地表达高中数学中的部分定理、公理、公式的含义，在解答高考中的基本题型时出现了困难.为什么会出现这种结果呢？因为在数学教学过程中，“解题教学”有时竟演变成空洞的“解题训練”，“训练”只能提高形式推理能力，而不能建立基于理解的独立思考能力. R·柯朗H·罗宾在《什么是数学》一书中是这样诠释数学的：数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求[1]. 学生在学习中遗忘掉的东西是所学的具体知识和内容，而剩下来的是所需的能力和素养，这就是我们教师应追求的教育价值.

数学是思维的体操，如何通过解题教学、解题活动来培养学生良好的思维能力，应是数学教学的根本任务. 高三例题、习题教学中的一题多解有利于学生理解各章节知识间的内在联系、知识和思想方法间的相互转化，所以教师在例题、习题教学过程中要善于挖掘例题、习题的一题多解，让学生的思维应变能力得到充分的锻炼和培养. 但单墫先生又指出“不管什么题目，一味地追求多种解法，勉强凑数，矫揉造作，那就不好了.解法仍以简单、自然为上，即使有多种解法，也应分清优劣，择善而从，这也是有无见识或见识高低的差别”. 反思我们部分教师在一些例题、习题的“一题多解”教学中的解答，让学生难以想到、解题技巧高超古怪，这种重“量”轻“质”的“一题多解”，被单墫先生一语中的. 由于有些例题、习题的“一题多解”不是建立在学生已有认知基础之上的，教学中教师没有从根本的思想方法入手，学生没有经历方法、知识的探求和主动思考过程，这种“一题多解”不利于促进学生解题能力和数学核心素养的提高，久而久之，甚至会使部分学生丧失继续学习的兴趣和信心. 我们如何从“一题多解”的教学中培养学生的数学思想、数学方法，提升他们的学科素养？下面笔者以高三解三角形中求三角形面积、周长的最值专题复习的教学为例来说明.

【教师提示语：当三角形为锐角三角形时，从余弦定理角度考虑解题会较麻烦，因此这里选择正弦定理，将问题转化为求三角函数的最值】

教研探讨

上述求三角形面积“一题多解”的教学设计，教师的教学重心落在方法的罗列，缺少解题教学中思想方法的渗透、数学本质的挖掘、通性通法的提炼、解后的总结反思. “一题多解”中的“一题”之所以能“多解”，往往就在于多种解法之间有内在联系，这些内在联系又有规可循. 教师应该对多种解法进行深入研究，对比分析多种解法中运用到的必备知识及知识间的关联，同时分析其中涉及的基本方法、蕴含的基本数学思想和语言表达等.

（一）渗透数学思想、数学方法，把握数学本质

一般来说，教材的一系列基本知识是由几个基本定义的演变、公理的推算得到的，数学要表达的问题几乎都包含在基本概念、公式、公理、定理中，所以数学解题教学就是教会学生从基本概念、公式、公理、定理的数学本质出发，再转化到数学思想方法上的应用.

案例第一问，三角形面积公式是本问题的核心，抓住面积公式这一本质属性（结合本题可用的三角形面积公式为S△ABC=bcsinA=bc，S△ABC=BCh），余下的任务就是培养学生数学运算素养.

1.如果利用S△ABC=bcsinA=bc这一面积公式，求面积最值的运算就变成二元最值问题，从化归与转化思想来看，中学阶段处理二元最值的主要思想是消元转化为低元问题求解，消元的手段有均值不等式直接消元求最值、化二元为一元利用函数思想求最值. 方法1由余弦定理得bc=b2+c2-4，结合重要不等式b2+c2≥2bc求最值;方法4由正弦定理得bc=sinBsinC，结合B+C=利用二元化一元求最值的思路便自然形成.

2. 利用S△ABC=BCh的面积公式求解时，因为a=2，S△ABC=BCh=h，所以面积范围转化为BC边上高（顶点限定于圆上）的取值范围. 已知三角形一边和一边的对角，利用数形结合思想，将其放置于圆上，变为同弧所对圆周角不变，圆内接三角形的面积最大值就转化为动点在圆周上运动过程中到底边的最大距离，结合图形，方法3一目了然.

3. 在变式中，已知条件不变，问题改为“若△ABC为锐角三角形，求其面积的最值范围”. 利用数形结合思想求解本题显得尤其高明（相比教师的讲法），带领学生回顾圆的直径所对圆周角为直角，结合图形2发现顶点A只能在劣弧间运动，于是△ABC面积的取值范围就容易解决了.

在高三例题、习题的“一题多解”教学中渗透数学思想和方法，多角度、多层次地做到对基础知识的横向与纵向联系，并从基本技能、基本思想方面优化问题解决的过程，由此培养学生灵活应变的能力和主动调整的能力，实现会一题、明一类、通一片的解题效果，破解僵化的应试教育下题海战的束缚，让他们达到一种对数学思想和方法内化于心（能听懂、能明白），外现于形（会分析、会表达）的境界，提高他们独立获取知识的能力和独立解决问题的能力.

（二）挖掘一题多解、多法归一，强化问题本质

细细研究绝大多数例题、习题的“一题多解”，虽然几种解法在算式、程序、技巧、运算过程等方面不完全一样，但是几种解法所涉及的数学本质、基础知识并无差别. 教学中，教师抛开不同的解题形式，将关注点落在挖掘其内在联系及背后的数学思想与方法上，回归数学本质，用“不变”的数学思想与方法去解决解题形式不断“变化”的数学问题. 方法1，首先由面积公式得S△ABC=bcsinA=bc，再由余弦定理得bc=b2+c2-4，最后使用均值不等式求最值;方法4，由正弦定理结合B+C=得到bc=sinBsinC=sinBsin-B，转化为关于f（B）的三角函数求最值. 我们发现这两种解法的共通点：一是从运算角度来看，基本数学思想是用化归与转化的思想处理二元最值问题，运算处理细节由知识点的构成不同而有所差异，又比如方法2，利用了等比中项的知识来处理二元化一元，方法5利用三角恒等变换积化和差公式将其转化为函数求最值;二是从知识角度来看，正弦、余弦定理是研究斜三角形的基本工具，在解斜三角形问题时，教师首先要求学生作出图形，标出相应量，结合相应的量选择正弦、余弦公式，再根据条件发现内在联系.变式题加强条件“锐角三角形”，这与原来无此条件的区别是什么？联系如何？如何处理？一系列的为什么让学生从数学的本质上回答问题，教师可以让学生以例题的三种思维方式来检验他们的理解情况.

通过“多解”后“归一”，多种解法并不是解决问题的目的，其目的是挖掘出不同解法的内在本质联系，提炼出具有统摄性的数学思想与方法，从而实现通过“多解”达到“归一”. 深刻领悟方法实质，深刻理解问题本质，让学生站在系统的高度看问题，避免解题套路化，避免过度刷题，这样就可以提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，由此获得对数学的通透理解，最终培养他们的数学核心素养.

（三）注重基础性、通性通法，回归思维本质

一道数学试题可能考查多种能力、多种思想方法，因此试题的解答方法、思维方式不是唯一的，而是多种多样的. 技巧性很强的解法是“术”而不是“道”，也不是数学的通性通法，大多数学生难以想到，掌握起来有一定难度，甚至可能会产生数学思想与方法的混淆乃至思维混乱.因此在例题、习题教学中应充分考虑到学生能力的个体差异，没必要去要求所有学生掌握这些解法，不必“为多解而多解、为技巧而技巧”，要体现“死方法是技巧、活方法是思想”这一观点.国家考试中心在2019年高考数学Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷试题分析报告中明确指出：试题在全面考查数学思想方法的同时，特别注重对数学通性通法的考查，淡化特殊技巧. 这说明在数学解题教学中，教师要回归通性通法，强调基本方法的普适性、基本思想的统摄性. 回到最常规的基本思维和常用的基本方法上，只有这樣才有利于学生对此类问题的把握，最终实现问题解决教学的目标.

方法2中，设bc=t2，且b=，c=mt，（m>0，t>0）的处理技巧一般在数学竞赛中用到;方法5利用了教材中不做要求的积化和差公式：cos（B+C）=cosBcosC-sinBsinC，cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC. 这两种方法从知识层面讲超出部分学生的现有认知，从运算角度讲技巧性太强，不利于学生的掌握，从心理角度分析，学生除了惊叹教师的知识渊博，方法高明之外无一收获，甚至会使学生产生自卑感等消极的心态. 面对“一题多解”，教师要判断解法的优劣，力求找出一种最优解——“一题一解”.

又如方法2将b=，c=mt代入bc=b2+c2-4得到t2+4=+m2t2=-mt+2t2≥2t2，学生一定还会想m、t哪个作为变量呢？像这种烦琐、复杂、不自然的解答，一些基础不好、思维不活的学生觉得这是生硬拼凑或巧妙组装;“神来之笔”技巧性过强的解答让人感觉很突兀，如同波利亚所指出的“魔术师帽子里突然变出一只兔子”不可理喻，学生难以理解这样的解题思路.

解数学题的最高境界是玩数学题，玩中取乐，玩中激趣，玩中增智，玩中提能[2]. 面对“一题多解”，先追求“一题多解”的发散思维，体验条条大路通罗马的乐趣;再分析概括，不盲目罗列多种解法;最后总结归纳，追求“多法归一”，体会事物之间皆联系，探寻本质，把握住表面不同却质相同的内核. 教师只有努力提高自己的核心素养，站在理解数学、理解学生的角度来培养学生，才能在解题教学的道路上收放自如，深入浅出地处理问题，才能不被重量轻质“一题多解”的浮云遮望眼.

参考文献：

[1]  R·柯郎H·罗宾. 什么是数学[M]. 左平，张饴慈，译. 上海：复旦大学出版社，2004.

[2]  孟祥礼. 我的第一本数学解题书（一题多解教你学会解数学题）[M]. 青岛：中国海洋大学出版社，2014.