符号意识的梯次培养策略

缪玉婷

【摘 要】符号意识作为《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的核心素养之一，已成为当下中小学教师实施课程教学的重要目标。符号意识抽象、内敛、可变，但却是揭示数学规律、表征数量关系的集中体现。本文从感知数学符号、理解数学符号、思辨数学符号、表征数学符号四个方面，就“用字母表示数”这一课例进行分析，在教学过程中展开有梯次的符号意识培养。

【关键词】符号意识 梯次培养 贯通联系 核心素养

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中将“符号意识”归为学生核心素养之一，意味着在义务教育阶段，学生不仅要能理解符号的意义，还要具备能使用数学符号来进行数学表征和推理的能力，这就要求学生在小学阶段能形成一定的符号意识。

“用字母表示数”一课，是学生第一次正式学习代数的知识，是让符号意识得以形成的最佳时机。教学中教师要将内隐的符号意识有效外显，使课堂变得有深度、有内涵，真正帮助学生培养符号意识，学会数学的表达，体会数学语言的简洁性和概括性，让符号意识在学生的思维中生根发芽。

一、关联观察，感知数学符号

小学生对数学符号还缺乏整体认识，对字母表示数的内涵本质理解不到位，尚未形成数学表达的自觉性认知，这些都应该在教师的教学中予以突破。

教学片段1：

师：结合摆三角形的过程，说一说你用了几根小棒。

生：摆1个三角形用3根小棒，摆2个用了2×3=6根小棒，擺3个用了3×3=9根小棒，摆4个用了4×3=12根小棒。

师：摆10个、120个呢？

生：10×3=30根，120×3=360根。

师：这里小棒的根数和三角形的个数有什么关系？

生：小棒根数是三角形个数的3倍。

师：如果用式子表示，小棒根数=三角形个数×3。这里的三角形个数可以是几？

生：可以是1，2，3，…。

师：是的，三角形的个数是一个会变化的、不能确定的数量。那这个变化的三角形个数，我们怎么把它表示得更简单呢？

生：用x来表示。

师：你想到了字母，老师用字母a表示可以吗？当我们用a表示了三角形的个数，那小棒的根数可以怎样表示呢？

生1：n。

生2：a×3。

师：你是怎么想到a×3的？

生：因为小棒的根数是三角形的3倍。

师：你很会观察，想到了它们的关系。是啊，小棒的根数=三角形的个数×3，当三角形的个数是a的时候，只要乘3就表示小棒的根数。

师：如果三角形个数用字母b表示，小棒根数怎样表示？三角形个数是c呢？为什么三角形的个数可以用不同的字母表示，而乘3却是固定不变的呢？

生1：因为三角形的个数不能确定，所以可以用任意一个字母表示。

生2：小棒根数总是三角形个数的3倍。

……

这样的教学，把观察活动关联起来，让学生初步感知了数学符号——教材例1的设计以规律为载体进行探索，突出数学学习从特殊到一般、从具体到抽象的过程：先从具体的1个、2个、3个三角形需要的小棒根数入手，再到抽象出可用字母来表示三角形个数，是本节课中学生对字母符号的第一次认知。笔者在授课时着重突出“三角形个数是个不能确定的数量”这一本质，再用数符号来表示就会非常烦琐，迫切需要用一种更为简单的方式来表征，为学生从数符号飞跃到字母符号的认识提供了理论依据和心理支撑。学习中，学生能认识到字母也是一种数学符号，可以表征不能确定的数量，并且比用数符号表征更为方便。

二、本质内化，理解数学符号

认知心理学把知识分为陈述性知识和程序性知识，这种知识的分类主要是为了研究知识的表征和知识习得的心理差异。字母表示数就具有典型的陈述性知识和程序性知识相结合的特点。所谓的陈述性知识可以理解为用字母式表示数量的这个结果;程序性知识可以理解为用字母表征数量之间内在关系的过程，也就是教师经常说的字母式的“双重性”。

教学片段2：

师：同学们，这里有100根小棒，拿出1根，这个过程怎么用算式表示？

生：100-1。

师：可以求出什么？

生：还剩下99根。

师：放回去，重新拿出5根呢？

生：100-5=95根，表示剩下95根。

师：好的，下面睁大眼睛看清楚，（老师抓出一把小棒）几根？

生：x根。

师：你怎么想到用字母表示的？

生：不知道有几根。

师：是的，字母可以表示不确定的数量。用字母b表示可以吗？从100根里拿出b根小棒的过程，怎样列式呢？

生：100-b。

（教师PPT出示等式的左半边字母式“100-b”）

师：这个算式表示从总量100根里拿出了b根的小棒这样的关系。

师：这个式子的结果是多少呢？盒子里到底还剩几根小棒呢？

生：c根，因为不知道有几根。

师：嗯，你再次想到了用字母表示不确定的数，刚刚我们为什么用a×3来表示小棒根数，而不是再换个字母？

生：因为小棒根数和三角形个数之间有3倍的关系。

师：是啊，我们是用它们之间的数量关系来表示的。同样的道理，如果换一个字母表示剩余的小棒，就不能将这种关系表达出来，所以盒子里剩多少呢，还是100-b（在盒子上贴上100-b的标签）。所以，100-b的结果还是100-b。（PPT出示等式的右半边“=100-b”）。

师：等号右边这个100-b表示什么呢？

生：表示剩下了100-b根小棒。

师：那现在老师来考考你们（隐掉等式，指向问题中填入的答案100-b），这个100-b到底能表示几种含义？

生：我觉得能表示两种含义，即能表示从100根中拿出了b根小棒，又能表示剩下了100-b根小棒。

师：说得真好啊，是的，100-b既可以表示从100根中拿出b根小棒这样的数量关系，又可以表示盒子里剩下了100-b根小棒这个数量。所以字母式既可以表示数量关系，又可以表示数量。

……

相较于感知数学符号，理解数学符号是学习中的难点。究其深层次的原因，是字母表示数的“双重性”导致的——它既可以表示数量关系，又可以表示数量。学生具象化的思维根深蒂固，习惯用数来理解和解决问题，停留在算术的思维定式中，难以接受用一个含有字母的式子来表示数量。教学中要培养学生的符号意识，设计递进式的活动将符号意识的本质外化出来，让学生逐步理解用符号来表示数量关系和数量，为后续方程、函数等代数学习奠定基础。首先，借用前面的“a×3既可表示关系又可表示小棒根数”，先种下符号思想的种子。其次，通过“究竟还剩几根小棒”的问题，引导学生发现，含有字母的式子，既可以表示数量关系，又可以表示数量：盒子上贴标签“100-b”，借视觉冲击提升思维，揭示出100-b还可以表示数量的静态结果;信息化手段则动态演示对等式100-b=100-b两边意义的不同理解，学生直观看到内隐的字母式“双重性”，最后主动概括出100-b可以表示的两种含义，实现将抽象的内容具体化、内隐的符号外显化，“看”到了学生理解数学符号的过程！

三、逻辑贯通，思辨数学符号

思辨能力，是学生众多能力中较弱的一种学习能力，思辨首次认知的数学符号，更是难中之难。因为字母式增加了抽象性的难度，学生很容易把“看上去很像”当作“完全一样”，其主要原因还是由于符号意识的建立不到位，符号要表达的数量关系模型建构不立体，没有贯通知识逻辑。所以笔者在新课时设计了一个易错点的辨析，通过首印效应建立学生正确的逻辑思维，厘清字母式的本质。

教学片段3：

借用一个游戏环节中的素材：a+a=2a和a×a=a2两个式子，展开思辨活动。

师：同样是2个a，一个式子等于2a，一个等于a2，它们有什么区别呢？

生：2a是两个a相加，a2是两个a相乘。

师：这是从数的角度解释了它们含义的不同和算式的不同。其实，我们还可以从形的角度，来解释它们的不同。

师：如果我们用a表示一根小棒的长度，2a可以表示？

生：两根小棒的长度。

师：那a2又可以用什么形状来表示呢？

生：可以表示正方形的面积。

师：所以从图形来看，2a表示的是一个长度，a2表示一个面的大小。你瞧，数形结合可以更直观地比较出2a与a2的区别。

考虑到逻辑贯通的难度，本环节教学采用数形结合的形式，以形助数，更容易帮助学生直观地辨析易错点，让学生真正建立符号意识并运用数的运算经验来理解字母式中包含的数量关系的含义。

四、整体建构，表征数学符号

教学片段4：

（1）小华家到学校的路程是（      ）米。

（2）小军家到小丽家的路程是（       ）米。

（3）从家到学校，小丽比小军要多走（       ）米。

师：如果老师告诉你小丽家到学校的距离比小军家到学校的距离远300米，其实在告诉你谁比谁大300？

生：y比x大300。

师：那么，小丽家到学校的距离除了用y米表示，还可以怎么表示呢？

生：x+300。

师：那么，小军家到学校的距离除了用x米表示，还可以怎样表示呢？

生：y-300。

师：同样的距离，根据数量关系，可以有不同的表示方法，小小的字母真神奇呀。

朱立明老师在其研究中提出相关观点：学生数学符号意识可以从四个层次进行分析。这四个层次分别是数学符号的感知与识别、数学符号的理解与运算、数学符号的联想与推理、数学符号的抽象与表达。可见，数学符号的表征是符号意识的整体建构，是外显的符号意识。

课中增加了拓展变式题：将小军家到学校的距离表示成x米，小丽家到学校的距离表示成y米，利用这两者之间的关系来表征两个未知量之间的关系，将未知量看成已知量，平等地參与运算，这恰恰是方程中最常见的表征情况！学生在探寻x与y的关系中，用一个未知量来表示另一个未知量，为列方程解决问题设谁为x的问题做出孕伏。同时让学生明晰，将数量关系从复杂的文字描述变为简单的字母式，这是数学符号的优越性。

教师要立足学生的发展之本，重素养意识的培养。而符号意识的梯次培养，是一个长期的、渐进的过程。教师无论在公开课，还是在常态课，均应充分关注到数学符号的感知、理解、思辨与表征四个方面，助力学生深度构建符号意识。