小学数学教学材料的基本要求及主要类型——基于学生数学学习引发思辨的思考

■钱中华，羊琴

数学思辨指数学思考与辨析，也就是学生在数学学习过程中，运用数学的思维方式与方法，通过数学逻辑规则对数学对象的情况、类别、事理等进行深刻、全面的思维探索，经受矛盾与反转，展开辨析与判断。批判、质疑、反思是伴随思辨的思维倾向，综合、分析、比较、分类、归纳、概括、论证、评估等是伴随思辨的思维方法，思维倾向和思维方法不可分割，相辅相成。在数学教学活动中，教学材料是学生数学学习思辨的对象，也是学生数学学习引发思辨的根本。

数学教学材料是教师在教学前端精心设计而成的，是对教学中学生“学什么”和“怎么学”的核心关切。那么，聚焦学生数学学习引发思辨，小学数学教师设计、提供的教学材料有哪些基本要求？又有哪些主要类型呢？

一、小学数学教学材料的基本要求

聚焦学生数学学习引发思辨，教师在设计教学材料时，需要把握以下三个方面的基本要求。

（一）教学材料突出数学是一种创造性活动

学生数学学习展开思辨，就是学生在数学学习过程中，经历探索、猜想、概括等繁复曲折的数学思考，对教学材料的情况、类别、事理等进行分析、推理、判断，在认知冲突的矛盾与反转中，“去理解知识最初发现时人们面临的问题、解决问题的思路，采用的思维方式、思考过程，理解知识发现者可能有的情感，判断评价知识的价值”[1]，把新知识转化为自己思维的结果，理解掌握数学知识本质，改善发展数学思维，体会数学的易缪性和发展性。

正是在这个意义上，要求教师设计的教学材料是知识和思维的载体，根植数学知识产生、形成与发展的历史演变过程中，凸显数学探究不等同于具体的数学知识（包括结论、公式等）、无可怀疑的真理，其蕴含先贤发现或创造数学知识所经历的猜测、错误和尝试、证明与反驳、检验与改进的复杂过程，突出“数学是动态的、经验与拟经验的……是人类的一种创造性活动”[2]11，为学生创造亲历知识生长过程和提供再发现的机会。

（二）教学材料开启学生思维操作

教学材料是学生数学学习的思辨对象，这就要求教学材料能开启学生思维操作，进行数学思考与辨析。教学材料要引起学生运用数学思维方式、方法，从经验层面、追根溯源层面、逻辑层面进行思考与辨析；也要帮助学生理解不同思维方式、方法的适用范围和应遵守的逻辑规则，改进完善数学思维，发展包括深刻性、批判性、灵活性、缜密性等在内的数学思维品质。最根本的是引起学生数学学习“不再满足于按照别人的指引进行学习，而是主要通过自己的总结和反思不断实现新的发展，包括逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考”[3]。

（三）教学材料立足学生最近发展区

奥苏贝尔曾说：“如果我不得不把教育心理学还原为一条原理的话，我将会说影响学习最重要的原因是学生已经知道了什么。”[4]从这个意义上，学生学习是以自身已有知识和经验为生长点，在对教学材料进行思考与辨析的过程中，改造、重组已有认知经验，恰当解释学习内容，并在已有经验和学习内容之间建立起实质性联系，意义建构知识。可见，学生认知基础是影响学习的重要因素，教学材料是影响学生学习思考和辨析的核心要素。进一步立足学生认知基础的教学材料，学生学习掌握的信息量就大，思考与辨析会更加具体、全面和完整。这就要求教学材料以学生学习的逻辑起点和现实起点为依据，立足学生的最近发展区，“把握好‘已知区’到‘未知区’的距离”[5]，建立起新旧知识之间的内在联系，为学生数学学习展开思辨找准着力点，使思辨更有深度、强度、力度。

二、小学数学教学材料的主要类型

作为学生数学学习对象的教学材料，在数学学习过程中引发学生思辨，主要有以下三种类型。

（一）引领驱动学生展开思辨的数学问题

问题是思维的灵魂。教师以学生已有经验为根基，“倒转”理解数学教材知识并转化为教学任务；将教学任务转化为学习材料，进而转化为问题；引领驱动学生数学学习展开思辨的主要问题有开放性问题、分析性问题、反思性问题。

1.开放性问题

教师以理解教材为前提，立足学生最近发展区，设计出包括条件开放性问题、策略开放性问题、答案开放性问题或综合开放性问题。学生在学习时，从不同角度、方向、方面进行分析、比较、归纳和概括，评估、整理、辨析不确定性问题条件范围、解题策略的多样性及优劣、问题答案不唯一性（不能漏解）等。学生探索问题答案的过程中，获得数学思维的发展，走向灵活性。

如“数对确定位置”，ppt 展示老师读初中时的旧照片，请同学们找出老师站在哪个位置并把这个位置表示出来，这是一个答案（表示方法）不唯一的开放性问题。学生在学习时，调动已有（生活、认知）经验，通过观察、分析、概括，从不同视角探索出十多种方法记录老师所在位置。

2.分析性问题

教师以教学内容、教学进度需求为出发点，用言简意明、指向目标的教育数学语言设计出指向两个或更多事实、规则、定义等之间关系的问题。学生在学习过程中，经过思考、辨析，洞察研究材料内部之间的关联，捕捉矛盾的特殊性，发现隐藏其中的规律并揭示本质属性，数学思维走向深刻性。

在上述教学中，教师设计出问题：“用你记录的方式介绍老师，能在照片中准确、快速找到老师吗？如果不能，如何改进？”学生在分析研究对象之间关系以及探求问题实质中，通过尝试、猜想、验证、反思与评估，理解了行数和列数才能准确、快速找到老师，而在表征时行或列都可在前或后，理解规定行前列后的必要性，进一步明确可以用数对（3,5）简记。

3.反思性问题

教师设计出引导学生对自身学习活动的过程，以及活动过程中所涉及的有关的事物、材料、信息、思维、结果等反省思考的问题。学生学习依据问题指向，对思维材料严格估计，对思维过程精确检查、校正，运用所学知识有根据地进行分析、判断、推理、论证，对问题给予解释；发展了洞察力、辨别力、判断力，让数学思维走向批判性。

在探讨得出老师在旧照片所站位置为（3,5）后，教师提出：“老师所站位置除用数对（3,5）表示外，还能用其他数对表示吗？”学生经过反思、猜想、尝试、验证，理解用数对表示位置的唯一性、确定性。

如此，教师设计并提供以上三类问题，引领驱动学生数学学习进行思辨，理解数学知识本质，把握内容基本结构，培育发展包括分析、比较、抽象、概括、判断、推理等在内的数学思维方法以及灵活性、深刻性、批判性、清晰性、发散性等在内的数学思维品质。

（二）推动学生比较与辨析的数学变式

数学变式是小学数学教学材料的重要组成部分和主要类型之一。教师设计出概念性变式和过程性变式，推动学生数学学习“在比较与辨别中发现数学知识的变化与差异，在‘变’中发现‘不变’，依据知识的变化轨迹与规律，创造新的知识；不仅解决眼前面临的问题，并且以此为载体掌握解决一类问题的思维策略与方法，发展学科一般观念”[6]，获得新的学习体验。

1.概念性变式

概念性变式包括属于概念外延集合的标准和非标准概念变式，以及不属于概念外延集合，包括但不限于反例的非概念性变式。数学概念性变式，引起学生学习从不同方面、不同角度来阐释数学对象，经过分析、比较、甄别、分类，归纳、概括出数学对象的本质属性。

如“什么是面积”： ①在黑板上贴出两个图形（正方形面积大、长方形面积小），让两个学生进行涂色比赛；②出示诸如树叶、教材、长方体等具体实物，研究表面的面积；③出示规则和不规则的封闭图形，研究图形面积。④判断图形或生活事件是否与面积相关。这组教学材料遵循了面积概念产生、形成、发展的历史逻辑，以建构面积概念为本源，教师提供的教学材料有树叶、教材、长方体等具体实物以及长方形、正方形、非标准封闭图形等概念性变式。学生在数学学习过程中，经过比较、辨别、分类，理解把握教学材料中的“变”与“不变”，剔除具体实物种类、封闭图形形状等“变”的非本质属性，概括出“不变”的本质属性即“物体表面或封闭平面图形的大小”，建立面积概念。在④中提供的教学材料有图形周长、非封闭图形以及生活中牵线等非概念性变式（反例变式），学生经过对易混淆的概念（周长、面积）的甄别、辨析，理解面积概念外延和关键条件。

2.过程性变式

教师以知识演进为脉络，设计提供具有操作性和动态性的过程性变式，为学生数学学习意义建构知识提供一个有层次的推进过程，改进发展数学思维，提高思维的清晰性、深刻性、严谨性、灵活性和创新性。

“什么是面积”过程性变式有具体实物变式、封闭图形变式。在教学中，从物体表面、封闭平面图形两个方面推进，学生通过观察、比较、分析、归纳、概括、抽象、系统化等思维操作，进行富有深度的数学思考，建立“物体表面或封闭平面图形有大小--面积概念”的知识形成顺序；理解面积的本质及内部关联，并用图形或文字语言予以表征； 在经历面积概念产生、形成的必要性过程中，理解面积的价值意义。

（三）引发学生进行深度思考与反思的课堂评价

在小学数学教学中，教师对学生学习反馈情况不做事实性判断，而是通过课堂评价，“自觉帮助学生形成正确的价值观，形成有助于学生自觉发展的核心素养，自觉引导学生能够有根据地评判所遭遇的人、事与活动”[7]，引导学生数学学习进行深度思考与反思，持续展开概括、分析、推论、假设等思维活动，深度理解数学知识，并对所学知识及学习过程做价值选择与评判。它不是教学的某个阶段或环节，而是蕴含在各个阶段、各个环节的活动中。

1.评价追问理据

在小学数学教学活动中，学生回答问题不外乎三种情况：正确、不完整、错误。此时，教师不是直接予以评判，而是根据学生的回答，设计出“你是怎样想的”“为什么这样想”等问题，引导学生持续地分析、甄别、推论、假设、概括，让学生在追寻理据的过程中，明确自己是否真正理解掌握，如果有错，明确自己错误的根源，达成主动建构知识，理解所学内容及价值。

2.引导价值评判

教师通过评价，引导学生思考所学内容在知识系统中的地位与作用，以及对学习过程中的学习材料、所学知识及学习过程主动进行质疑、批判及评价；以课堂评价引导学生自觉主动地对学什么、怎么学进行反思评判。

如“圆的周长”，可以通过课堂评价，引导学生做四个评判：（1）对周长、长（正）方形周长与圆周长在内容、数学核心素养、数学思维等方面进行反思评判；（2） 对解决客观世界中现实问题的应用价值做评判；（3）对学习材料（包括具体情境、测量方法）及学习方法、形式做反思评判；（4）对世界万事万物是不断变化且相互联系、相互依存的思想价值给出自己的态度和判断。如此，学生理解把握所学内容的地位及作用，建立起知识之间的意义关联，明确所学的价值意义。

3.评价引起提问

教师通过对学生的数学学习活动反馈情况、思维过程等进行评价，引发学生对学习材料的洞察、怀疑、批判等，提出问题。

如“折纸”，观察图1，看自己能提出哪些数学问题。学生通过对学习材料的整体观察、感知、分析、甄别、归纳，理解情境材料中的客观事物或概念、图形与图形之间的关系、数量与数量之间的关系、符号等，发现并提出与材料相关联的数学问题：①哪个分数大？②一张纸可以折多少艘小船？③一张纸可以折多少只小鸟？④折一艘小船比折一只小鸟多用这张纸的几分之几？⑤折一艘小船和折一只小鸟共用这张纸的几分之几？等等。教师在评价学生提出的问题时，引导学生分析以上这些问题是否已经解决或有待解决、关键的或非关键的问题有哪些，明确①是以前学过的，②③是以后学习的，④⑤是本节课研究的问题。在学习过程中，以评价引发学生对学习材料、学习过程、学习结果等的反思，发现并提出数学问题：分数加减法意义与整数加减法意义相同吗？分数加减与整数加减有何异同？为什么用加法？为什么要通分？为什么不能用分子与分子的和作分子、分母与分母的和作分母？等等。

图1