高中数学微专题教学研究

唐明超

摘  要：对2020年全国新高考Ⅰ卷第22题从试题解析、题源分析、探究推广、试题变式、教学价值等5个方面进行分析，发现此题的命题背景是圆锥曲线中的定点、定值问题，解决此类问题的基本思想和方法是课程标准要求掌握的通法、常法，结论可以推广到抛物线与双曲线. 基于此，文章呈现了一堂通过问题串驱动学生从试题的解答到发现并提出新问题，进而探究并解答新问题的微专题教学活动.

关键词：圆锥曲线;深度学习;微专题

微专题教学是指教师在开展日常教学与反思活动的过程中，挖掘学生的薄弱环节或教学增长点，并基于典型问题及该问题的同根同源教学素材，有意识地设计针对性较强、指向明确的教学活动. 对某个或某类典型问题从解法探究、拓展推广、链接应用等方面展开研究性学习，目的在于在完善知识结构的同时建构解决一类问题的方法体系，促进学生的深度学习. 让学生学会深度学习是教师开展教学活动的重要目标，通过探寻知识联系、加强师生交流互动、借助问题引领等方式帮助学生跨越知识与技能的积累深入到思维提升的层面，从掌握具体思想方法过渡到一般性思维，进而提升学生发现问题并解决问题的能力，优化学生的數学思维品质，发挥学习的主体意识和功能，实现能力与素养的双重提升.

一、确定教学课题

在研究2020年全国新高考Ⅰ卷第22题的过程中发现，动直线[AB]恒过定点，自然去思考该问题的结论是否具有一般性，在双曲线和抛物线中是否也可以得出类似的结论. 基于此，先尝试从历年高考试题中寻找与之同根同源的试题进行分析，发现该结论不仅对特殊的椭圆成立，而且在特殊的抛物线中也成立，进一步思考能否将该结论一般化并尝试给予证明，得到三个重要性质;再对试题进行变式，全方位解读试题中隐含的问题本质;最后梳理整个试题的研究过程.

可以认为整个试题的研究过程符合学生的认知发展规律，不仅可以进一步夯实圆锥曲线的基础知识，而且可以强化学生解决问题的基本技能，同时还能够深化学生解决圆锥曲线定点、定值问题的基本思想，并有效积累探究活动经验. 整个探究过程目标明确、主线清晰，对发展学生发现并提出问题、思考并解决问题的能力具有很好的促进作用，同时可以引导学生实现深度学习.

二、拟定教学目标

基于学生的元认知发展水平，首先，本节课要引导学生在正确解答试题的基础上利用类比思想尝试解决与之同根同源的两道高考试题;其次，要基于学生思维的最近发展区引导学生结合问题解决经验发现三道试题结论的相似性，进而引发探究结论是否具有一般性的思考;最后，引导学生遵循从特殊到一般的探究思路对所提出的问题开展探究活动，进而得出结论，总结课堂生成.

从知识与技能的角度看，本节课的教学目标要求学生在正确解答给定问题的过程中深化对圆锥曲线定义及基本性质的理解，掌握解决一类定点、定值问题的基本方法;从核心素养发展的角度看，能够用好类比及从特殊到一般的数学思想开展探究活动，逐步发展学生用数学思维思考问题、用数学语言表达问题的关键能力.

三、设计教学过程

由于探究过程具有一定的难度，为了确保探究活动的充分性并有效达成教学目标，本节课的教学计划分为课前自主学习、课堂探究活动和课后巩固提高三个阶段. 课前自主学习环节要求学生在正确解答前述三道试题的基础上尝试寻找它们之间的区别与联系;课堂探究活动环节先要求学生分享课前自主学习成果，然后引导学生发现并提出问题、探究并解决问题;课后巩固提高环节在于引导学生在对试题进行变式的基础上深化探究成果的运用，巩固课堂生成.

四、开展教学活动

1. 课前自主学习

要求学生认真完成以下三道试题的解答，并尝试回答两个问题.

题目1 （2020年全国新高考Ⅰ卷·22）已知椭圆[C：][x2a2+y2b2=1 a>b>0]的离心率为[22，] 且过点[A2，1.]

（1）求[C]的方程;

（2）点[M，N]在[C]上，且[AM⊥AN，AD⊥MN，] [D]为垂足. 证明：存在定点[Q，] 使得[DQ]为定值.

题目2 （2017年全国Ⅰ卷·文20）设[A，B]为曲线[C：y=x24]上两点，[A]与[B]的横坐标之和为4.

（1）求直线[AB]的斜率;

（2）设[M]为曲线[C]上一点，[C]在[M]处的切线与直线[AB]平行，且[AM⊥BM]，求直线[AB]的方程.

题目3 （2017年全国Ⅲ卷·理20）已知抛物线[C：][y2=2x，] 过点[2，0]的直线[l]交[C]于[A，B]两点，圆[M]是以线段[AB]为直径的圆.

（1）证明：坐标原点[O]在圆[M]上;

（2）略.

问题1：以上三道试题的呈现方式有何不同，它们有什么相同的几何背景？

问题2：结合试题的解答过程，你能提出哪些猜想？

结合学生的作业完成情况，挖掘学生解决问题过程中的亮点与需要改进的地方，明确课堂教学的切入点. 整体而言，学生都能够自主解答或在合作交流后完成解答，解题方法略有差异.

2. 课堂探究活动

问题3：能否展示你的解题过程及解题收获？

生1：（具体解答过程略）题目1以椭圆为背景，第（1）小题考查椭圆的定义及其简单性质，属于基础题，易得椭圆方程为[x26+y23=1;] 第（2）小题由条件[AM⊥AN]可知，[△MAN]为椭圆的内接直角三角形;也可以理解为点[A2，1]在以[MN]为直径的圆上. 由于试题中的基本元素动中有静，故解决该问题必须化动为静. 要求证[DQ]为定值，需要先确定点[D]的位置，而点[D]满足条件[AD⊥MN，] 所以可以先研究直线[MN]的位置关系. 根据已知条件联立直线方程与椭圆方程，化简整理后发现直线[MN]过定点[P23，-13.] 在[Rt△ADP]中，[D]为直角顶点，斜边[AP]为定值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半可知，当点[Q]是斜边[AP]的中点时，即当点[Q]坐标为[43， 13]时，[DQ=12AP=223.]题目2以抛物线为背景，第（1）小题由点差法可以快速得出结果;第（2）小题呈现的是抛物线内接直角三角形且直角顶点坐标已知的问题，该小题已知直线[AB]的斜率，所以直线方程唯一. 解决该题只需要确定点[M]的坐标即可，最后得出直线[AB]的方程为[y=x+7.] 虽然试题的背景是抛物线，但是问题的本质与题目1是相同的. 题目3与题目2互为补充，题目2直接给出内接直角三角形的顶点来探究直线方程，题目3则已知直线所过的定点，求证内接直角三角形的直角顶点是抛物线上的一个定点. 两道题目分别从充分性和必要性两个角度给出抛物线内接直角三角形性质的特殊情况. 由[OA ∙ OB=x1x2+y1y2=0，] 可知[OA⊥OB，] 即点[O]在圆[M]上.

师：很好！生1思路清晰，语言表达流畅，再请一位同学来对生1的解答过程进行点评并作出适当补充.

生2：首先，我认同生1的观点，在解答题目1的过程中，我考虑设动直线[MN]的方程为[y=kx+m，] 并对斜率是否存在进行了分类讨论，最终结果一致. 但是我有个疑问，在解答题目1的过程中发现椭圆[x26+y23=1]上以定点[A2，1]为直角顶点的内接直角三角形的斜边[MN]过定点[P23，-13，] 那么在任意椭圆中以椭圆上一定点[Dx0，y0]为直角顶点的内接直角三角形的斜边[MN]是否都过定点？结合题目2和题目3，虽然试题的载体变成了抛物线，但是所研究的都是圆锥曲线内接直角三角形中当直角顶点为曲线上的定点时斜边过定点的问题. 不难理解，如果内接直角三角形的直角顶点是圆上的一个定点，则其斜边[MN]必过圆心. 能否认为在抛物线和双曲线上以定点[Dx0，y0]为直角顶点的内接直角三角形的斜边[MN]都恒过定点？

师：生2不仅对生1的分析过程进行了点评，还发表了自己的见解，同时间接地回答了问題1和问题2. 接下来，就让我们一起来想办法解决生2提出的疑问.

问题4：以上三道题目都只说明了在特殊情况下椭圆与抛物线的内接直角三角形在直角顶点为曲线上一定点的情况下其斜边恒过定点，能否利用类比的思想将特殊情况一般化？一般情况下，椭圆与抛物线内接直角三角形的斜边所在直线经过的定点坐标又是什么？双曲线也具有相同的性质吗？大家动手证明一下.

查看学生的动手操作过程，发现大多数学生在问题4的指引下并基于以上3个问题的解决经验，都能够找到证明思路，只是部分学生在运算推理的过程中陷入了困境，此时教师给予适当点拨，旨在鼓励学生将运算进行到底.

师：在同学们尝试自主证明的过程中，老师发现了几位同学的证明过程具有较好的代表性，现在请一位同学展示，其他同学认真聆听并积极思考其证明过程中有哪些地方值得借鉴，哪些地方需要优化，同时关注其思考问题的方式与自己思考问题方式的异同.

生3：由于椭圆及双曲线的方程可以统一为[mx2+][ny2=1]（[mn≠0]且[m]与[n]不同时小于0，下同），只要能证明在曲线[mx2+ny2=1]上猜想成立，则说明椭圆及双曲线均具有该性质.

猜想1：若点[Dx0，y0]是曲线[mx2+ny2=1]上的一个定点，则以点[Dx0，y0]为直角顶点的曲线内接直角三角形[ABD]的斜边[AB]恒过定点.

证明：设[Ax1，y1，Bx2，y2.]

通过作图可知，直线[AB]的方程斜率不能为0，为避免分类讨论，可设直线[AB]的方程为[x=py+t.]

联立[x=py+t，mx2+ny2=1，] 消元，得

[mp2+ny2+2mpty+mt2-1=0.]

则[y1+y2=-2mptmp2+n，y1y2=mt2-1mp2+n.]

因为[DA=x1-x0，y1-y0， DB=x2-x0，y2-y0，]

所以[DA ∙ DB=x1x2-x0x1+x2+x02+y1y2-y0y1+y2+]

[y02=0.]

因为[x1x2=py1+tpy2+t=p2y1y2+pty1+y2+t2，x1+][x2=py1+t+py2+t=py1+y2+2t，]

所以[p2+1y1y2+pt-px0-y0y1+y2+t2+x02+y02-][2tx0=0.]

所以[mp2t2-p2+mt2-1-2mp2t2+2mp2tx0+2mpty0+]

[mp2+nt2+x02-2tx0+y02=0.]

将其整理成关于[p]的方程，得[mx02+my02-1p2+][2mty0p+mt2+nt2-2ntx0+nx02+ny02-1=0.]

因为[mx02+ny02=1，]

所以[m-ny02p2+2mty0p+mt2+nt2-2ntx0+n-mx02=0.]

对式子进行因式分解，得

[m-ny02p2+2mty0p+m+nt-n-mx0t-x0=0.]

再次使用十字相乘法因式分解，得

[y0p+t-x0m-ny0p+m+nt-n-mx0=0.]

当[y0p+t-x0=0]时，可得直线[AB]的方程为[x=py+][x0-py0，]

即[x=py-y0+x0.]

易知直线[AB]过定点[x0，y0，] 此时与[Dx0，y0]重合，不符合题意.

当[m-ny0p+m+nt-n-mx0=0]时，可得直线[AB]的方程为[x=py+t=py+n-mx0m+n-m-ny0pm+n，]

即[x=py-m-ny0m+n+n-mx0m+n.]

所以直线过定点[Pn-mx0m+n， m-ny0m+n.]

符合题意，命题得证.

师：你是怎样想到要这样处理的？

生3：椭圆与双曲线的标准方程在一定条件下可以表示为统一的形式，这样做可以避免重复证明椭圆与双曲线在不同情况下的情形.

师：哪位同学能够对生3的证明过程进行点评和补充？

生4：生3的证明过程确实比较简洁，但是结论是否需要讨论[m+n=0]的情况？是否需要证明直线[AB]斜率为0的情况？

教室里瞬间引起了讨论，教师默默关注学生的讨论情况.

生5：即使两种情况下都不成立，我认为还是应该严格去证明.

师：那你认为应该怎样完善？

生5：如果设直线[AB]的方程为[x=py+t，m+n=0，]则根据双曲线的图象性质可知[p≠0]且[x0≠0.] 当[y0p+][t-x0≠0]时，等价于[m-npy0+x0=0，] 即[py0+x0=0.] 所以[y0≠0.] 从而直线[AB]的方程为[x=-x0y0y+t，] 当点[D]的坐标给定时，直线方程也不确定，此时直线[AB]的位置随着[t]的变化而变化，不存在定点. 所以我认为应该说明[m+n≠0，] 即等轴双曲线不具备该性质. 同时，若设直线[AB]的方程为[y=t，] 可得[mt-y02+nt2=][0 mn≠0.] 所以[t=y0=0.] 此时不构成直角三角形.

师：生5的分析很到位，既指出了生3证明过程中不严谨的地方，还说明了理由，值得表扬. 生3能够联想到椭圆与双曲线在特定条件下的一般形式，并从更一般的角度来证明猜想也实属难得. 可以看出，学习数学既要在解决问题的过程中体会数学的简洁美，还要学会在严谨推理的基础上将数学问题一般化，探究问题本质. 经历了以上的猜想与证明过程，可以得出以下性质.

性质1：若点[Dx0，y0]是椭圆[mx2+ny2=1 m>0，n>0]上的一个定点，则以点[Dx0，y0]为直角顶点的内接直角三角形[ABD]的斜边[AB]过定点[Pn-mx0m+n， m-ny0m+n.]

性质2：若点[Dx0，y0]是非等轴双曲线[mx2+ny2=1][mn<0，m+n≠0]上的一个定点，则以点[Dx0，y0]为直角顶点的内接直角三角形[ABD]的斜边[AB]过定点[Pn-mx0m+n， m-ny0m+n.]

问题5：上面证明了在椭圆与双曲线中的情形，接下来哪位同学能展示一下在抛物线中的证明过程？

生6：证明的思想和方法与前面一样，虽然抛物线的标准方程有四种情形，但是根据方程的结构特点知道，只需证明其中的一种情况，其余情况可以考虑根据轮换对称得出结论.

猜想2：若点[Dx0，y0]是抛物线[y2=2px p>0]上的一个定点，则以点[Dx0，y0]为直角顶点的内接直角三角形[ABD]的斜边[AB]过定点.

证明：设[Ay122p，y1，By222p，y2，]

则[DA=y122p-x0，y1-y0， DB=y222p-x0，y2-y0.]

由[DA ∙ DB=y122p-x0y222p-x0+y1-y0y2-y0=0，] 得

[y122p-y022py222p-y022p+y1-y0y2-y0=0，]

即得[y1+y0y2+y0+4p2=0.]

整理，得[y1y2+y0y1+y2+y02+4p2=0.]

设直线[AB]的方程为[x=my+n，]

联立[x=my+n，y2=2px，] 消元整理，得

[y2-2pmy-2pn=0.]

所以[y1y2=-2pn，y1+y2=2pm.]

所以[y02+2pmy0+4p2-2pn=0.]

所以[n=y022p+my0+2p.]

所以直线[AB]的方程为[x=my+y022p+my0+2p.]

所以[x=my+y0+y022p+2p，]

即[x=my+y0+x0+2p.]

所以直线[AB]过定点[Px0+2p，-y0.]

结论得证.

其他情况根据轮换对称性可以得出，所以抛物线具有如下性质.

性质3：（1）若点[Dx0，y0]是抛物线[y2=2px]上的一个定点，则以点[Dx0，y0]为直角顶点的内接直角三角形[ABD]的斜边[AB]过定点[Px0+2p，-y0.]

（2）若点[Dx0，y0]是抛物线[x2=2py]上的一个定点，则以点[Dx0，y0]为直角顶点的内接直角三角形[ABD]的斜边[AB]过定点[P-x0，y0+2p.]

顿时教室掌声齐鸣.

师：掌声说明大家对生6的证明过程是高度认可的，也反映出大家在自主学习的过程中不仅解决了实际问题，还深入思考了问题的本质，这样的学习习惯希望大家继续保持.

3. 课后巩固提高

问题6：通过本堂课的探究学习，我们发现了圆锥曲线内接直角三角形的一个重要性质. 学以致用，同学们是否可以基于上述三道高考试题的呈现方式，并围绕探究成果对其进行适当改编，生成新题给同桌解答？

结合学生的试题改编情况，筛选了具有代表性的几个变式题展示如下.

变式1：已知双曲线[C： x2a2-y2b2=1]的离心率为2，且过点[A2， 3.]

（1）点[M，N]在[C]上，且[AM⊥AN，] 证明直线[MN]恒过定点;

（2）若[AD⊥MN，D]为垂足. 证明：存在定点[Q，]使得[DQ]为定值.

变式2：已知抛物线[C：y2=2px p>0]上一点[Ax，2]到焦点的距离等于到[y]轴距离的2倍.

（1）点[M，N]在[C]上，且[AM⊥AN，] 证明直线[MN]恒过定点;

（2）若[AD⊥MN，D]为垂足. 证明：存在定点[Q，]使得[DQ]为定值.

变式3：已知椭圆[C： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的离心率为[22，] 且过点[A2，1.]

（1）求[C]的方程;

（2）点[M，N]在[C]上，若直线过定点[P23，-13，]求[AM ∙ AN]的值.

学生改编的试题较多，限于篇幅，此处不予赘述. 对于改编的试题都要求学生给出正确的解答过程，由于课堂时间有限，对变式题的解答设置为课后作业. 经查，收效很好.

五、教学感悟

1. 理念的深度决定教的深度

教师对教学的理解程度在某种意义上是个人教学理念的显性表达，而教学理念的优化离不开教师对教学开展具有深度和广度的研究. 教师需要紧扣《普通高中数学课程标准（2017年版）》相关要求理解课程与教材，反思教学过程中的得与失，找准教学的切入点和生长点，回答“教什么”的问题;基于学生的认知发展规律理解学生，掌握基本学情，找准学生的元认知发展水平和最近发展区，回答“教到什么程度”的问题;基于《中国高考评价体系》研究历年高考试题的命题背景，探究高考试题的生成逻辑，寻找解决问题的基本思路，总结教学经验优化教学方法，回答“怎么教”的问题.

2. 教的深度影响学的深度

合理开发教学素材并精心设计教学过程，贯彻落实生本教育理念，打磨问题设计，遵循“引入直接，难度循序渐进，问题环环相扣，引导适时、适度”的基本原则，强调学生思维活动的充分度，以及课堂生成的效度与质量，这往往决定着教学的深度. 注重挖掘问题的本质是教学的关键，设计合理的问题串. 一方面，可以引導学生在逐步解决问题的过程中感悟知识的发生与发展逻辑;另一方面，有利于学生的认知建构，不仅要解决“是什么”的问题，关键还要解决“是怎么来的”这个关键问题. 教师的教和学生的学都追求层级递进，能力的提升绝不是知识与技能的简单填充，关键在于掌握知识的发生与发展过程，掌握探究的基本方法，以及基于数学的基本思想. 教会学生学会学习才是教学的根本目的.

3. 学的深度决定素养的发展程度

探究学习的深度不在于课堂活动是否热闹，而在于学生的思维活动是否充分. 衡量指标在于学生的学习成果，即在于是否有课堂生成，而不在于解决了多少问题，追求课堂教学质量远比追求解决问题的数量更重要. 课堂教学需要教师精心设计探究活动，让学生真正变成课堂的主体和学习的主人，真正体现教师在指导，学生在学习，数学学科核心素养在学习的过程中真正得以发展. 以微专题的形式开展教学活动，基于学生的元认知发展水平设计衔接顺畅、层级递进的问题串驱动学生的学习与探究活动，可以有效达成教学目标，促进课堂生成，在真正意义上实现深度学习，助力学生数学学科核心素养的培育.

参考文献：

[1]吴世朗. 深度学习：如何走深[J]. 中学数学（高中），2020（9）：69-70.

[2]陈柏良. 基于问题链的深度学习：评马海龙老师的“课例：弧度制”[J]. 中学数学教学参考（上旬），2020（8）：30-32，35.

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