十招网尽“排列组合”

张明同 杨守松 齐建宏

(1.山东省寿光市教育科学研究中心 2.山东省寿光市第五中学 3.山东省寿光市寿光中学)

高中排列组合知识，可谓一个“怪异”的难点，说它“怪异”是因为解答后不能确定是否正确.高考除可能单独考查排列组合外，在概率与统计题目中也会涉及排列组合，这类问题的解题思路不同于以前所学内容.初学排列组合，令很多学生感到头疼，有时看上去很有道理的解法却是错误的，本文举例分析这一部分内容中常用到的十种方法，以期能对学生有所帮助.

1 重复排列“投信法”

重复排列问题，解题依据是两个原理，解题思路首先要分清哪些元素可以重复，哪些元素不能重复.可以把解这一类问题看作是“将信投入信箱”的过程，解题时要把每一个不能重复的元素看作是一封“信”，而把能重复的元素看作“信箱”，分析投信的过程就是顺利解题的过程.

例1 某小学四年级64名学生进行长跑(7200米)和短跑(100米)比赛，假定每项比赛只有一名冠军得主(不会出现并列冠军)，获得冠军的可能情况有( )种.

A.642B.264

解析

本题中同一个学生可以获得不同比赛的冠军，可以重复，所以把冠军看作“信”.把64名学生看作64个“信箱”，2项比赛冠军看作2封“信”，可投进任意一个“信箱”，每封信有64种可能投法，因此共有642种不同的结果，故选A.

2 先选后排“综合法”

“先选后排”是解排列组合问题常用的思路.解排列组合问题常常先选出符合条件的元素，然后再将这些元素安排到指定的位置上.

例2某公司从国外进口的10批冷链食品中发现有四批外包装核酸检测呈阳性，要对这10批食品进行测试，直到区分出所有核酸检测阳性食品为止.如果在第5次测试时恰好把所有核酸检测阳性食品全部测出，一共有多少种不同的检测顺序?

解析根据题意，第5次测试必定测出的是一批核酸检测阳性食品，另外3批阳性食品都在前4次测试中被测出.最后一批阳性食品从所有阳性食品中测出有C14种可能;前4次测试测到的是3批阳性食品和1批非阳性食品，有C16C33种方法，顺序有A44种.由分步乘法计数原理，可得不同的检测顺序共C14(C16C33)×A44＝576种.

3 相邻问题“捆绑法”

如果某几个元素必须相邻，就把这几个需要相邻的元素捆绑在一起视为一个元素，让它参与排列.

例3某校高三年级有一对双胞胎姐妹，她们与另外三名同学站成一排照相，若双胞胎姐妹必须相邻，则不同的排法有多少种?

解析

将双胞胎姐妹视为一个人(元素)，则相当于四个人进行全排列，不同排列方法有A44种;再将双胞胎姐妹两人进行全排列，不同排列方法有A22种，由分步乘法计数原理，可得排法有A44A22＝48种.

4 不相邻问题“插空法”

如果题目中规定某几个元素必须不相邻，这种情况可先把其他的元素全排列，认为这些元素之间都留有空位，再把那些不相邻元素插入上述元素之间的空位和两端即可，这样就保证它们是不相邻的了.

例4某校高三年级有一对双胞胎姐妹，她们与另外三名同学站成一排照相，若双胞胎姐妹必须不相邻，则不同的排法有多少种?

解析

先排列另外的三名同学，有A33种排法，这三名同学排列后共产生4个空位(包括两端)，从这4个空位中选取两个空位给双胞胎姐妹，双胞胎姐妹也是需要排顺序的，所以五名同学符合题意的不同排法共有A33C24A22＝72种.

5 定序问题用除法

在n个元素的排列问题中，若限制m个元素必须保持一定的顺序，可以先将n个元素进行全排列，再除以m个限制顺序元素的全排列，即

例5某校高三年级有三名同学是身高相同的三胞胎姐妹，她们与另外三名同学A，B，C站成一排照相，若A，B，C必须从左到右按身高由高到低排列(对A，B，C相邻或者不相邻没有规定)，则不同的排法有多少种?

解析

将6名同学全排列共有A66种排法，在这些排法中A，B，C的不同排法有A33种，而按题意，A，B，C必须从左到右按身高由高到低排列，即A，B，C只有一种适合题意的排法，所以6名同学满足题意的不同排法有种.

6 特殊元素优先法

如果某个(或某几个)元素要排在指定位置，可先排这个(或这几个)元素，再排其他元素.

例6某校三名同学参加奥林匹克竞赛获奖后想和他们的辅导教师(1人)合影留念，若师生排成一排，学生主动排在两端，有多少种不同的排法?

解析

假设已准备好四个凳子，可先让教师在中间两个凳子中选一个，再排三名同学，所以共有C12A33＝12种不同的排法.

注:此题也可以使用插空法，先将三名同学排好，排好后的三名同学中间有两个空，教师在这两个空中任选一个位置即可.

7 正难则反“间接法”

有些问题直接考虑时不易得出答案，根据集合中补集的思想，可以考虑从问题相反的方面入手解题，很可能会有柳暗花明的效果.

例7在四面体中选取各棱的中点，从各条棱的中点和四面体的顶点中任取4个点，如果这4个点不共面，不同的取法有( ).

A.150种 B.147种

C.144种 D.141种

解析

由题意，备选的点共有10个，从中任取4个点的取法有C410种.再排除共面的情形即可，共面的情形有三种:共侧面或底面，有4C46种;每条棱上的3个点与相对棱的中点，共有6种;所有棱的中点，取4个共面的点，共有3种.从所有取法中减去上述三种情形，可得所求的取法有141种.所以选D.

注:“至少型”问题也常常使用间接法.

8 情况较多“分类法”

如果问题中元素比较多，取出的情况也有多种，可按题目要求分成不相容的几类情况，分别计算，最后汇总.

例8国外某地出现大量新冠病毒核酸检测阳性人员，该地实施全员核酸检测，我国决定派去医疗救助团队.现在勇跃报名的有11人，其中5人是内科医生，4人是外科医生，另外2人内科、外科都精通.从中选出8人组成医疗救助团队，分成两个医疗救助小组，要求其中4人是内科医生，另外4人是外科医生，分别赴该地不同医院开展救助.问这样的分配方式有多少种?

解析

假设先安排内科医生，后安排外科医生.第一类，从5名内科医生中选4人，从其余6人中选4人作为外科医生(若“内科、外科都精通”者被选中也作为外科医生)，则有C45C46种选法;第二类，从5名内科医生中选3人，另从“内科、外科都精通”者中选1人作为内科医生，其余剩下5人中选4人作为外科医生，有C35C12C45种选法;第三类，从5名内科医生中选2人，另外安排2名“内科、外科都精通”者也作为内科医生，其余剩下4人全部作为外科医生，有C25C22C44种选法.根据分类加法计数原理，可得分配方式共185种.

9 分配问题“隔板法”

若题目将相同的元素进行分配，则可以考虑“隔板法”.

例9某校决定将20个优秀学生名额全部分配给该地某中学毕业年级的8个班，要求分到每个班的名额必须超过1个，有多少种分配方案?

解析

由题意，每个班至少分配2个名额，所以可以先每班分配1个名额，还剩下12个名额.只需将这12个名额分成8部分，每班对应一部分即可.将剩下的12个名额每个名额写在一张纸上，排成一行，这样一来，这12个名额之间有11个空，在这11个空中插入7个隔板就可将12个名额分成8部分，显然每一种分配方法就对应隔板的一种插法，所以分配方案共有＝330种.

注:元素是否相同是区分隔板法与插空法的关键，相同元素分配用隔板法，不同元素不相邻用插空法.

10 平均问题“填空法”

若题目要求将一些元素平均分给固定的对象，则可以将元素按平均数选出后依次填空.

例10某语文实验室有4位中学生，现要将8本不同的文学书平均分给他们，有多少种分法?

解析

设4位中学生分别为甲、乙、丙、丁，甲得到2本书有C28种分法，乙得到2本书有C26种分法，丙得到2本书有C24种分法，丁得到2本书有C22种分法，所以不同分法总数为C28C26C24C22＝2520种.

注:若只是将元素平均分成n组而不是分配给固定的对象，则还需要再除以n!，此类题目超出中学教学范围.