二项式定理相关问题常见题型与处理策略

郭兴甫

(云南省会泽县东陆高级中学 云南万人计划教学名师张国坤研修工作坊)

二项式定理是高中数学新旧教材中的重要内容.在高中数学课程中，二项式定理安排在计数原理、排列组合知识之后，随机变量及其分布列之前，它既是计数原理和组合知识的应用，又是探究相关概率公式的基础，是培养数学运算素养的重要载体，也是高考命题的热点内容.几乎每年的高考试题都有涉及，一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等偏下，是高考容易得分的试题.为了帮助广大师生更好地复习这部分内容，本文以近年全国各地的高考题及模拟试题为例说明二项式定理常见题型及处理策略.

1 求解形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的问题

例1(1)(2019年天津卷理的展开式中的常数项为_________.

A.－210 B.－960 C.960 D.210

解析

(2)依题意得2n＝1024，解得n＝10.又易知展开式的通项为

由2r－10＝4，得r＝7，从而有－960，所以x4的系数是－960.故选B.

点评

求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的处理策略:先将展开式的通项公式化为只含有一个字母的形式.求展开式中的特定项可依据条件写出第r＋1项，再根据特定项的特点建立方程求出r的值即可.已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r的值，进而求出参数.

2 求解形如(a+b)m(c+d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的问题

例2(1)已知的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是( ).

A.－10 B.－7 C.10 D.9

A.72 B.60 C.48 D.36

(3)(x＋y)2(x－2y)4的展开式中x2y4的系数为( ).

A.88 B.－24 C.－40 D.104

解析

令3－r＝1，得r＝2;令(舍);令3－r＝2，得r＝1.故的展开式中x2的系数为(－2)2C26＋(－2)1×＝60－12＝48.故选C.

(3)由题设，(x＋y)2展开式的通项为Tm＋1＝x2－m·ym，(x－2y)4展 开 式 的 通 项 为Tn＋1＝x4－n(－2y)n，所以原多项式的展开式通项可写为

点评

求一个多项式与一个二项展开式积的展开式的相关问题，可以先求二项展开式的通项公式，再结合条件确定通项公式中的项使之满足条件，进而解决问题.求两个二项展开式积的相关问题，可以先分别用不同的指数表示出两个二项式的通项公式，再把两个通项公式的积化为只含一个未知数的通项公式的形式，利用通项公式结合条件建立方程组求出指数值，进而代入通项公式求出相应结果.求几个二项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法，利用二项式展开式计算指定项的系数时，注意利用二项式展开式的通项公式和多项式的乘法判断出指定项的系数是由哪些项的系数相乘所得到的，进而利用分类加法计数原理求解.

3 求解形如(a+b+c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的问题

例3(1)(x2＋3x＋2)5的展开式中x2的系数为( ).

A.625 B.800 C.750 D.600

(2)在(x2＋2x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( ).

A.60 B.30 C.15 D.12

A.32 B.－32 C.33 D.－33

解析

(1)方法1(x2＋3x＋2)5＝[(1＋x)(2＋x)]5＝(1＋x)5(2＋x)5，(1＋x)5展开式的通项 为展 开 式 的 通 项 为所以(x2＋3x＋2)5展开式的通项为，其中0≤r≤5，0≤k≤5，且r，k∈N.

令r＋k＝2，可得

因此，(x2＋3x＋2)5的展开式中x2的系数为C05C2523＋C15C1524＋C25C0525＝800，故选B.

方法2因为(x2＋3x＋2)5表示5个因式(x2＋3x＋2)的乘积，它展开式中含x2的项需满足1个因式取x2，其余因式都取2，或2个因式取3x，其余因式都取2，故(x2＋3x＋2)5的展开式中x2的系数为C1524＋C2532×23＝800，故选B.

(2)方法1(x2＋2x＋y)5＝[(x2＋2x)＋y]5，由通项公式可得Tr＋1＝Cr5(x2＋2x)5－ryr，要求x5y2的系数，故r＝2，此时(x2＋2x)3＝x3·(x＋2)3，其对应x5的系数为C23·x2·21＝6，所以x5y2的系数为C25×6＝60，故选A.

方法2因(x2＋2x＋y)5表示5个因式(x2＋2x＋y)的乘积，故它的展开式中含x5y2的项需满足2个因式取y，2个因式取x2，1个取2x，故x5y2的系数为C25×C23×2＝60，故选A.

(3)方法1在的展开式中，令x＝1，可得展开式中各项系数和为(1＋2－1)4＝24＝16，展开式的通项为展开式的通项为展开式的通项为且r，k∈N).

令r－2k＝0，可得所以展开式中常数项为因此，展开式中除常数项外，其余各项系数的和为－33，故选D.

方法2表 示4个 因式的乘积，故展开式中的常数项满足1个因式取x，1个取个取－1，或2个取x，2个 取或4个因式都取－1，即展开式中的常数项为

又各项系数和为(1＋2－1)4＝24＝16，所以展开式中除常数项外，其余各项系数的和为－33，故选D.

(4)根据多项式乘法法则，要得到x8，则在10个因式中需要8个选x，其余两个选a，或9个选x，1个 选即由题意得(－1)＝170，又a＞0，解得a＝2，故选C.

点评

对于多项式(三项或以上)的n次方的展开式，求特定项的相关问题的处理策略:一是将三项式或多项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解;二是将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后分类考虑产生特定项的所有可能情形，再逐一求出每种情形对应的项，最后合并即可;三是利用二项式定理的推导过程，通过排列组合的两个原理解决问题，即在多项式的n次方的展开中，可把式子看作n个多项式相乘，乘积的项是由每个多项式中选取一项相乘所得到的.

4 求解二项式展开式各项系数和的问题

例4(1)(x2＋2ax－a)5的展开式中各项的系数和为1024，则a的值为( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

(2)已知(x＋2)(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a0＋a2＋a4＝( ).

A.123 B.91 C.－120 D.－152

(3)(1＋ax)10(a≠0)的展开式的常数项与其各项系数之和相等，则其展开式中x2的系数为( ).

A.－45 B.45 C.－180 D.180

解析

(1)赋值法:令x＝1，可知展开式中各项系数和(a＋1)5＝1024，解得a＝3，故选C.

(2)方法1令x＝1，得

令x＝－1，得

①＋②，得a0＋a2＋a4＋a6＝－120.

又a6为(2x－1)5中25项的系数，所以a6＝C0525＝32，所以a0＋a2＋a4＝－152，故选D.

方法2因为(2x－1)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(2x)5－r(－1)r(r＝0，1，2，3，4，5)，所以

所以a0＋a2＋a4＝－152，故选D.

(3)因(1＋ax)10(a≠0)展开式的通项为

令r＝0，得常数项为1.

令x＝1，得各项系数之和为(1＋a)10，由题意知(1＋a)10＝1，又a≠0，所以a＝－2，所以Tr＋1＝(－2)rCr10xr(r＝0，1，2，…，10)，所以其展开式中x2的系数为故选D.

点评

本题主要考查利用赋值法解决二项展开式中系数和的相关问题，同时考查方程思想和数学运算素养.利用赋值法求展开式各项系数和，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)n(a，b，c∈R)的式子，只需令x＝1;对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，只需令x＝y＝1.若f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋…＋anxn展开式中的各项系数的和为f(1)，则奇数项的系数和为偶数项的系数和为

5 求解几个二项式和(或差)的相关问题

例5(1)在(x＋1)3＋(x＋1)4＋(x＋1)5＋(x＋1)6＋(x＋1)7的展开式中x2的系数是( ).

A.45 B.53 C.54 D.55

(2)已 知 多 项 式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝_________，a2＋a3＋a4＝_____.

(3)已知(1＋x)m＋(1＋3x)n(m，n∈N*)展开式中x的系数为11，当x2的系数取得最小值时，x4的系数是________.

解析

(1)显然x≠0，在(x＋1)3＋(x＋1)4＋(x＋1)5＋(x＋1)6＋(x＋1)7＝的展开式中，x2的系数是C38－1＝55，故选D.

(2)(x－1)3＝x3－3x2＋3x－1，(x＋1)4＝x4＋4x3＋6x2＋4x＋1，所以a1＝1＋4＝5，a2＝－3＋6＝3，a3＝3＋4＝7，a4＝－1＋1＝0，则a2＋a3＋a4＝10.

(3)由已知得C1m＋3C1n＝11，即m＋3n＝11，所以m＝11－3n，x2的系数为

当n＝2时，x2系数取得最小值19，则m＝11－3×2＝5，即(1＋x)5＋(1＋3x)2中x4的系数为C45＝5.

点评

几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并.计算时注意利用组合数公式或组合数性质进行简化.

6 求解二项式系数或项的系数的最值问题

例6(1)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a1＋a2＋…＋an＝255，则展开式中二项式系数最大的项是( ).

A.240x4B.160x3

C.70x4D.20x3

(3)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为( ).

解析

(1)已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n，当x＝0时，a0＝1.所以

解得n＝8，则(1＋x)8展开式中二项式系数最大为C48，二项式系数最大的项为C48·x4＝70x4，故选C.

(2)因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n＝6.令x＝1，则展开式中所有项的系数和是故选D.

(3)由题意可得a＝C48＝70，又(1＋2x)8展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr82rxr，设第r＋1项的系数最大，则

点评

解答本题的关键在于求解n的值以及确定二项式系数的最大值.求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.二项式系数最大项的确定方法:如果n是偶数，则中间一项(第项)的二项式系数最大;如果n是奇数，则中间两项(第项与第项)的二项式系数相等并最大.求解形如(ax＋by)n(a＞0，b＞0)展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法:设展开式中的第r＋1项是系数最大项，其系数记为Ar，则由可求出r的值，从而求出展开式中系数最大的项.

7 利用二项式定理解决整除性问题

例7(1)5555除以8，所得余数是( ).

A.7 B.1 C.0 D.－1

(2)已知742020＋a能够被15整除，则a的最小正数为_________.

(3)记X＝1－90Cn1＋902Cn2－903Cn3＋…＋(－90)kCkn＋…－90nCnn(n为正奇数)，则X除以88的余数为_________.

解析

(1)5555＝(56－1)55，其展开式的通项为Cr555655－r(－1)r，不能被8整除，即r＝55时，余数为(－1)55＝－1，由于余数要为正数，故加8，得－1＋8＝7.故选A.

(2)由题可知，742020＋a＝(75－1)2020＋a＝，而75能被15整除，要使742020＋a能够被15整除，只需1＋a能被15整除即可，所以a的最小正数为14.

(3)由组合数的性质知

则X除以88的余数为－1＋88＝87.

点评

本题主要考查利用二项式定理解有关整除问题，关键在于将原式转化为除数的倍数再进行展开，即通常先把底数写成除数(或和除数有密切关系的数)与某数的和或差的形式，利用二项式定理展开，再考虑后面或者前面一、二项进行判断.解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式.要注意余数的范围，对形如m＝pr＋n，其中r是除数(r是正整数)，n是余数，0≤n＜r，利用二项式定理对展开式进行变形后，若剩余部分是负数，则需要转化为非负数.特别地，余数可以为0，余数为0表示整除.

《普通高中数学课程标准(2017年2020年修订)》指出“数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养”.主要包括:理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.无论是在高中数学解题教学的学习过程中，还是在高考数学复习的教学中，要把发展学生的数学运算能力作为课堂教学的重要任务.高中数学解题教学不但要科学合理地渗透解题策略，还要让学生掌握知识方法的来龙去脉，感悟其本质，归纳总结解题思路及适用范围，拓展学生知识视野，以不变应万变，从而提高解题能力，揭开解题的神秘感.

链接练习

A.20 B.－120 C.60 D.－60

2.(x2＋2y)(1＋y－x)5展开式中x3y4的系数是( ).

A.10 B.－5 C.5 D.－10

3.已知(x＋1)6(ax－1)2的展开式中，x3系数为56，则实数a的值为( ).

A.6或－1 B.－1或4

C.6或5 D.4或5

4.设(3x－1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5，则a1＋a2＋a4＋a5＝( ).

A.2010 B.2011

C.2012 D.2013

5.(1－2x)5(1＋3x)的展开式中按x的升幂排列的第3项为_________.

6.已知(ax＋1)6的展开式中x3的系数为A，(x－1)(x＋a)6的展开式中x3的系数为B，A＋B＝15，则非零常数a的值为________.

9.已知(1＋2x)n的展开式中，第6项和第7项的二项式系数最大.

(1)求n的值；

(2)求展开式中系数最大的项.

链接练习参考答案

1.C.2.B.3.A.4.D.

5.10x2.6.±1.7.481.8.60.

9.(1)n＝11.

(2)展开式中系数最大的项有两项，即第8项42240x7和第9项42240x8.