排列组合考点分析及解法剖析

祁居攀

(甘肃省临泽县第一中学)

排列组合是高考必考内容，常以选择题和填空题的形式出现在试题中，试题设计新颖、具有创新性，难度不大，属于中档题.但是若不清楚其解题原理很容易丢分，本文介绍高考中排列组合知识的核心考点及其解法，供大家学习参考.

1 两个基本原理

1.1 乘法计数原理

例1(2020年上海卷9)从6个人中挑选4个人去值班，每人值班一天.第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有______种排法.

分析本题考查分步乘法计数原理，第一天从6人中选1人值班，第二天从剩下的5人中选1人值班，第三天再从剩下的4人中选2人值班.

解第一步，从6人中选1人值第一天班，有C16种方法;第二步，从剩下的5人中选1人值第二天班，有种方法;第三步再从剩下的4人中选2人值第三天班，有种方法，根据分步乘法原理共有＝180种排法.

1.2 加法计数原理

例2(2018年全国Ⅰ卷理15)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_________种(用数字填写答案).

分析本题考查分类加法计数原理，第一类:选1名女生、2名男生;第二类:选2名女生、1名男生.

解选1名女生、2名男生有＝12种方法;选2名女生、1名男生有＝4种选法，根据分类加法计数原理共有12＋4＝16种选法.

分步乘法计数原理与分类加法计数原理是解决排列组合问题最基本的原理.例1是“分步”思想采取乘法原理;例2是“分类”思想采取加法原理.

2 排列与组合

2.1 数字排列问题

例3(2018年浙江卷理16)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_________个没有重复数字的四位数(用数字作答).

分析本题考查数字排列问题，先选后排是解决问题的关键，可以按含0与不含0分类讨论.

解第一类:任取4个数字不含0.第一步，先从1，3，5，7，9中任取2个数字有种取法;第二步，从2，4，6中任取2个数字有种取法，第三步，将所取的4个数字全排列有种排法，根据分步乘法计数原理有＝720种.7，9中

步二

，步先，从再

综上，根据分类加法计数原理共有720＋540＝1260个没有重复数字的四位数.

数字排列问题一般采用的方法是“先选后排法”:即先选符合条件的元素，再将选出的元素按要求排列.特别注意“0”的选取，若选取的数字有“0”，则“0”不能排在最高位.

2.2 相邻排列问题

例42名男同学和2名女同学随机排成一列，其中2名女生相邻的排法有________种.

分析相邻问题用捆挷法，即将2名女生捆绑在一起作为一个元素，与2名男同学共三个元素全排列.

解分两个步骤完成.第一步，先将两位女生捆绑在一起有种方法;第二步，三个元素全排列有种方法，根据分步乘法计数原理共有12种排法.

2.3 不相邻排列问题

例53名男同学和2名女同学随机排成一列，其中2名女生不相邻的排法有________种.

分析不相邻问题用插空法.即先将3名男同学全排列，排列后会出现4个空隙，再将2名女同学插到4个空隙中.

解第一步，将3名男同学全排列有A33种;第二步，将2名女同学插到4个空隙中有A24种，根据分步乘法计数原理，则2名女生不相邻的排法有A33A24＝72种.

2.4 混合排列问题

例63位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是( ).

A.360 B.288 C.216 D.96

分析 先从3位女生中取2位捆绑，然后插入男生排列后的空隙中，最后减掉男生甲在两端的情况.

解第一步，从3位女生中取2位捆绑有C23A22种;第二步，再将3位男生全排列有A33种;第三步，将捆绑后的元素与剩余的1位女生插入4个空隙中有A24种，故3位女生中有且只有2位女生相邻的排法有C23A22A33A24＝432种.其中男生甲站两端的有C23A22A12A23A22＝144种(该种类型前两步与前一种相同，男生甲站两端中其中一端有A12种，女生插空在男生中有A23种，剩下2位男生的排列有A22种)，所以符合条件的排法共有432－144＝288种，故选B.

2.5 含有相同元素的排列问题

例7将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的排法有_________种.

分析先将4个1排成一列，再将2个0放到5个空隙中.

解第一步将4个1排成一列有1种排法;再将2个0安排到5个空隙中有C25种排法，根据分步乘法计数原理共有C25＝10种排法.

2.6 只选不排问题

例8某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则至少选中1名女生的选法有_________种.

分析至少选1名女生可以从两个方面思考.

1)分类法:第一类选1名女生和1名男生;第二类选2名女生.

2)间接法:5人中选2人，再减掉只选2名男生的选法.

解法1(分类法)第一类只选1名女生有C12C13种选法;第二类选2名女生有C23种选法，根据分类加法计数原理共有C12C13＋C23＝9种选法.

解法2(间接法)从5人中选2名学生有C25种选法;只选2名男生的选法有C22种，故共有C25－C22＝9种选法.

排列问题中常出现“相邻”“不相邻”及“特殊元素”等问题，相邻问题采用“捆绑法”，不相邻问题采用“插空法”，特殊元素问题采用“指定法”求解.

3 分组、分配问题

3.1 元素多位置少的不同元素分配问题

例9(2021年全国乙卷理6)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( ).

A.60种 B.120种

C.240种 D.480种

分析5名志愿者参加4个项目的培训属于“元素多位置少”的问题，需将5名志愿者选分成4组，再分配到4个培训项目.

解第一步，将5名志愿者分成4组，共有种方法.

第二步，将4组人全排列有A44种排法，共有C25A44＝240种，故选C.

3.2 元素少位置多的不同元素分配问题

例10(2017年全国Ⅱ卷理6)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ).

A.12种 B.18种 C.24种 D.36种

分析3名志愿者完成4项工作属于“元素少位置多”的问题，需将4项工作分成3组，再由3名志愿者全排列参加到3组工作中.

解第一步，将4项工作分成3组有种方法;第二步，将3名志愿者全排列有A33种排法，根据分步乘法计数原理共有C24A33＝36种安排方式，故选D.

3.3 相同元素分配问题

例11将4名优秀教师的名额分配给3所中学，每所学校至少1名，则不同的分配方案共有______种.

分析分配的是4个名额，属相同元素分配问题，相同元素分配一般采取“隔板法”.

解在4个名额形成的3个空档中放入2块隔板，自然将4个名额分成了3组，则不同放法种数是C23＝3种.

分配问题要弄清所分配的元素是否相同，对相同元素的分配问题一般采用“隔板法”，对不同元素的分配问题一般采用“先分组再分配”方法，分组时按元素多以元素分组，位置多以位置分组的原则.

链接练习

1.(2020年海南卷理6)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有( ).

A.2种 B.3种 C.6种 D.8种

2.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_________种.

3.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王5名志愿者中选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机4项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余3人均能从事这4项工作，则不同的选派方案共有( ).

A.36种 B.12种

C.18种 D.48种

4.从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为( ).

A.432 B.288

C.216 D.108

链接练习参考答案

1.C.2.24.3.A.4.C.