多角度思考，发散性思维——对一道高考概率题的探究

☉江苏省锡山高级中学 葛长松

多角度思考、发散性思维是对已知信息进行多方向，多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新问题，探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维形式.它起点灵活、过程灵活，概括迁移性强，是思维灵活性的表现，而一题多解是它的重要表现形式.每年高考，都会出现一些考查学生发散性思维的题目，特别是计数问题，不仅可以用来解决计数的多少问题，也可以用来考查等可能事件概率的求解，它是培养和发展抽象思维能力、发散性思维和逻辑思维能力的好教材.

一、原题展示

【例题】（2012年高考重庆卷，15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，

（1）（文科）则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为______（用数字作答）.

（2）（理科）则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为______（用数字作答）.

二、思路分析

分析：本题主要通过排列与组合的应用来解决等可能事件的概率问题，涉及分类讨论思想、排列组合的常用技巧等.

思路：要满足在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课或最多间隔1节艺术课，从正面入手，以相邻文化课之间的艺术课的多少为分类标准，通过分类讨论来确定满足条件的排法种数，再结合等可能事件的概率问题求解.

①两节相邻文化课之间没有艺术课间隔：可将三节文化课捆绑为一个元素，然后再与另三节艺术课进行全排，其排法有＝144（种）；

②三节文化课间都有1节艺术课间隔：有“文艺文艺文艺”与“艺文艺文艺文”两种形式，其排法有＝72（种）；

③三节文化课中有两节之间有1节艺术课，而另一节文化课与前两节文化课之间无间隔，可先对文化课进行全排，然后从3节艺术课中选一节放入排好的3节文化课之间，再将此4节课看作一个元素与余下的2节艺术课进行全排，其排法有＝216（种）；

④三节文化课中有两节之间有2节艺术课，另两节之间有1节艺术课，可先对文化课进行全排，然后从3节艺术课中选2节放入排好的3节文化课之间，剩下1节艺术课直接排到另两节文化课之间，其排法有＝72（种）；

⑤三节文化课中有两节之间有2节艺术课，而另一节文化课与前两节文化课之间无间隔，可先对文化课进行全排，然后从3节艺术课中选2节放入排好的3节文化之间，再从首尾位置选一个排另一节艺术课，其排法有＝144（种）；

⑥三节文化课中有两节之间有3节艺术课，可先对文化课进行全排，再将三节艺术课捆绑为一个元素，插入到3节文化课之间的两个位置中的一个，其排法有＝72（种）.

（1）在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的情况包括以上分类中的②和④，可知相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法有72+72=144（种），所以课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节

（2）在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的情况包括以上分类中的①、②和③，可知相邻两节文化课间最多间隔1节艺术课的排法有144＋72＋216＝432（种），

【其他解法】（1）在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课可以分为：先对3节艺术课进行全排，然后从3节艺术课之间的4个空隙中插入3个空隙排3节文化课，其排法有144（种），

（2）对于④和⑤中的情况，可以合并起来考虑：三节文化课中有两节之间有2节艺术课，可先对文化课进行全排，然后从3节艺术课选2节放入排好的3节文化课之间，剩下1节艺术课排到另两节文化课之间或首尾位置，其排法有A＝216（种），

课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的对立事件为以上的综合情况与⑥的情况，

根据对立事件的概率公式，

点评：其实，以上2012年高考重庆卷中的真题解析，都是在正确分类讨论的情况下计算对应的排法再加以计算相应的概率问题.此类问题进一步一般化，通过多方变式，把问题中有关文化课与艺术课的情况简单转化为男、女学生问题，这样就可以作进一步的变式与应用，可以直接来求解相关的不同排法问题，也可以求解类似的概率问题.

三、拓展变式

【拓展】把高考真题中的情况一般化：3男3女排成一排，那么不同排法可分为以下六类：

③三节男生中有两名之间有1名女生，而另一名男生与前两名男生之间无间隔：其排法有＝216（种）；

④三名男生中有两名之间有2名女生，另两名之间有1名女生：其排法有＝72（种）；

⑤三名男生中有两名之间有2名女生，而另一名男生与前两男生之间无间隔：其排法有＝144（种）；

那么可以对以上拓展分析加以变式，得到以下相关的变式问题：

变式1：3男3女排成一排，那么

（1）男生互不相邻的不同排法数为______种；男生互不相邻的概率为______.

（2）相邻两名男生之间最多间隔1名女生的不同排法数为______种；相邻两名男生之间最多间隔1名女生的概率为______.

（3）同性互不相邻的不同排法数为______种；同性互不相邻的概率为______.

解析：与真题的分析一样，

（1）“男生互不相邻”等价于“相邻两名男生之间至少间隔1名女生”，与真题类似，可得答案

（3）同性互不相邻即为：②三名男生间都有1名女生相隔：其排法有72（种），

变式2：3男3女排成一圈，那么

（1）3名女生相邻的不同排法数为______种；3名女生相邻的概率为______.

（2）同性互不相邻的不同排法数为______种；同性互不相邻的概率为______.

解析：6个人排成一圈，先确定其中某一个排好，接下来直接排剩下的5人即可，共有=120（种）排法.

（1）要使3名女生相邻，先排3名女生后面直接接着排3名男生即可：其排法有＝36（种），

（2）要使同性互不相邻，先直接排好某确定男生，该男生后面接着先排3名女生，后剩下的2名男生排在3名女生之间即可：其排法有＝12（种），

变式3：n男n女排成一排（n∈N*，n≥3），那么

（1）同性互不相邻的不同排法数为______种；同性互不相邻的概率为______.

（2）男生互不相邻的不同排法数为______种；男生互不相邻的概率为______.

（1）同性互不相邻即为：n名男生间都有1名女生相隔：其排法有，

（2）“男生互不相邻”等价于“相邻两名男生之间至少间隔1名女生”，其可以分为：先对n名女生进行全排，然后从n名女生之间的n+1个空隙中插入n个空隙排n名男生即可，其排法有

变式4：n男n女排成一圈（n∈N*，n≥3），那么

（1）n名女生相邻的不同排法数为______种；n名女生相邻的概率为______.

（2）同性互不相邻的不同排法数为______种；同性互不相邻的概率为______.

解析：2n个人排成一圈，先确定其中某一个排好，接下来直接排剩下的2n-1人即可，共有

（1）要使n名女生相邻，先排n名女生后面直接接着排n名男生即可：其排法有

（2）要使同性互不相邻，先直接排好某确定男生，该男生后面接着先排n名女生，后剩下的n-1名男生排在n名女生之间即可：其排法有

总结：通过对一道高考概率真题的剖析，还原本质，通过排列与组合中常用的计数技巧，结合分类讨论来解决相应的计数与概率问题，进而加以变式与拓展，加强了一题多解，一题多变等的研究，很好地拓展了思维，促进智力品质灵活性的提高与发展.J