基于学生经验的高中数学概念课教学实践与研究

2022-02-20董强

中小学课堂教学研究 2022年2期

【摘要】高中数学重要概念的教学可以借助学生已有学习经验，通过类比等方法化难为易，使得概念课的教学不再枯燥和突兀，让概念的生成和抽象概括过程自然流畅。文章通过具体的数学概念课教学实践，对生活经验、知识经验、探索经验、解题经验等学生经验进行总结，有利于学生对数学概念的深度学习。

【关键词】数学概念;生活经验;知识经验;探索经验;解题经验

【作者简介】董强，新青年数学教师工作室副秘书长，一级教师，市级教学能手、优秀教师，曾获省级教学技能大赛一等奖，主要从事高中数学教学研究。

【基金项目】陕西省教育科学“十三五”规划2020年度课题“基于学科核心素养的高中数学单元教学设计研究”资助项目（SGH20Y0157）

数学概念教学是数学教学的第一环节，是学生学习和深入探究的基础[1]。高中数学课程标准强调，数学教学应加强对基本概念的理解与掌握。目前，高中数学教学中存在着一些直接给学生生硬呈现概念的现象，使得学生对数学概念的学习没有生成性和过程性，严重影响了学生对数学概念的理解。因此，在高中数学教学中，教师如何恰当地引入数学概念、设计概念课的教学，让学生深刻理解数学概念的内涵和外延，就显得非常重要。教师作为课堂教学的组织者和实施者，要精心设计概念的问题背景、引入情境、解决思路和呈现方式等，将概念的教学和学生已有的学习经验有机结合起来，不让学生觉得概念显得突兀和难理解。一般地，学生的经验有生活经验、知识经验、探索经验、解题经验等，利用学生已有经验通过类比等方法进行高中数学概念课的教学，往往能起到将抽象概念形象化、专业概念通俗化、复杂问题简单化的作用，让学生把握概念的本质特征，有利于学生对数学概念的深度学习。

一、生活经验

生活经验一般是指学生在学习过程中将数学概念融入生活常识进行同化或顺应，以达到对数学概念本质的理解。在这个过程中将生活实例应用于数学概念的教学，并适时地进行类比，会对学生的数学理解力起到积极的作用。以下以函数和导数的概念教学为例进行分析。

（一）函数概念的教学

函数是高中数学的一条主线，是进一步学习数学的基础。在初中阶段，学生常借助路程随时间的变化而变化等对函数概念进行理解，但是要判断y=1是不是函数很多学生却无法准确回答。在高中函数概念的教学中，教师可充分借助学生的生活经验，让学生感悟到函数就像加工厂，把自变量x给对应关系f就可生成函数值f（x）。对于函数概念，可用学生打篮球来打比方：一名学生可以打一个篮球，两名学生可以打一个篮球，多名学生也可以打一个篮球，但一般而言，一名学生不能同时打两个篮球，更不能打两个以上的篮球，就好比函数概念中的对应可以是一对一、二对一、多对一，但不能是一对多。同时，在上体育课时，学生都参与教学过程，教师用于教学的篮球可以有剩余（教学过程不使用），就好比函数概念（非空数集A到非空数集B的对应关系）中，集合A中的数全部参与对应过程，而集合B中的数可以有剩余（允许不是函数值的数存在）。所以，集合A是函数的定义域，而值域应该是集合B的子集。

例1 下列可作为函数y=f（x）的图像的是（）

在上述概念课教学中，教师注重知识的发生发展过程，用学生打篮球来描述函数的概念生动形象，便于学生理解。在解答本题时，学生只要检查所给图形中对于任意x，y是否满足唯一确定性即可，易知答案选D。

事实上，初、高中函数的定义并不冲突，只不过叙述的出发点不同而已。在教学时，教师应利用函数概念的本质引导学生从运动变化的视角转移到x和y的对应关系上来，这种视角的转变实际上带动了思维活动向深刻的方向发展[2]。

（二）导数概念的教学

导数是高中数学中重要的概念之一，它在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。物体的瞬时速度、事物的瞬时变化率、曲线的切线、函数的瞬时变化率等，这些都属于导数概念的范畴。下面以小球下落时的瞬时速度、高台跳水运动员在跳水过程中的瞬时速度、吹气球时气球的瞬时膨胀率、密度不均匀物体在某一点的线密度等为例，将这些生活经验引入导数概念的教学中。

例2 小球从高空自由下落時路程s（单位：m）和时间t（单位：s）满足s=12gt2，那么小球在t=t0时的瞬时速度可以用t0到t1的平均速度st=s（t1）-s（t0）t1-t0近似代替（当时间间隔t很小时），其极限就是t0时刻的瞬时速度。[3]27

例3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）满足h（t）=-4.9t2+6.5t+10，运动员在t0到t1这段时间内的平均速度h（t1）-h（t0）t1-t0可以刻画其运动状态，其极限就是t0时刻的瞬时速度。[4]3-4

例4 气球的体积v（单位：L）和半径r（单位：dm）近似满足球的体积公式v=43πr3，所以r（v）=33v4π，气球体积从v0到v1的变化过程中平均膨胀率为r（v1）-r（v0）v1-v0，体积变化不大时可以近似代替气球的瞬时膨胀率，其极限就是气球在体积为v0时的瞬时膨胀率。[4]2-3

例5 一根质量分布不均匀的合金棒，其上某一段的质量y（单位：kg）与长度x（单位：m）满足函数y=f（x）。由此可以计算其上任意一段的平均线密度，即用一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度。也可以用x0到x1这段的平均线密度f（x1）-f（x0）x1-x0近似代替x0到x1这段上任意一点的线密度（当二者非常接近的时候），其极限就是x0处的线密度。[3]29

上述四个例子层层递进，均属于生活中很普通的现象。这些生活经验告诉我们，可以用平均变化率来近似代替变化量不大时的瞬时变化率，平均变化率的极限即为瞬时变化率，函数的瞬时变化率即为导数。函数f（x）在x=x0处的导数就是自变量从x0变到x0+x时，函数值的平均变化率f（x0+x）-f（x0）x的极限，即f′（x0）=limx→x0f（x）-f（x0）x-x0=limx→0f（x0+x）-f（x0）x。

高中数学课程标准十分重视数学概念和生活的联系。在教学时，教师要从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事物出发，多角度、多层面分析，让学生体验数学概念的生成，将数学概念的学习和生活实例结合起来，找回属于概念的“原型”，将数学概念强化为有灵魂精髓（数学抽象的概念本质）又有生命力外形躯壳（数学概念对应的典型生活实例）的有机整体。通过上述具体的生活经验，学生对导数概念的理解不再觉得难理解，相反会感受到导数其实就在身边，可以用导数解释生活中的现象。

二、知识经验

知识经验一般是指学生在之前的学科学习过程中沉淀下来的已有知识储备，在学习新的知识时将其潜移默化地加以应用或者推广，使新知识系统和已有知识系统在学习方法与思想上达成知识的顺延、类比、兼容等。数学概念的教学是环环相扣的，很多概念不仅有其产生的数学背景，也有具体的物理意义或现实意义，这些新的数学概念大多是从一些已有数学知识中抽象、概括、提炼出来的，它们往往能体现数学的本质属性。以下以等比数列和空间向量的概念教学为例进行分析。

（一）等比数列概念的教学

等比数列的教学可以借助已有知识经验帮助学生理解其概念。一方面，等比数列可看作是特殊的指数函数值，对正整数指数函数的复习将有助于学生对等比数列概念的理解;另一方面，可将待学知识和已有知识进行类比，通过比较学习法，用等差数列的学习经验帮助学生学习和理解等比数列。

知识经验1：正整数指数函数的概念

从细胞分裂等一些实例抽象概括出正整数指数函数的概念，把形如y=ax（a>0，且a≠1，x∈N+）的函数称为正整数指数函数。正整数指数函数中，除第一个函数值外，任意一个函数值都是它前一个函数值的a倍，这些函数值形成一个数列，且从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个正常数a。

知识经验2：等差数列的概念

等差数列和等比数列有许多相似的性质。如在等差数列an中，有am+an=ap+aq=2at，在等比数列bn中，有bm·bn=bp·bq=bt2，其中m+n=p+q=2t;等差数列中每隔k项取出的项组成新的等差数列，等比数列中每隔k项取出的项组成新的等比数列等，这些都是在知识经验基础上进行的进一步学习。

另外，数学史上一些著名的史料也可以作为知识经验，例如教师可用高斯计算1+2+3+…+100这个知识经验引导学生思考一般等差数列前n项和公式的推导方法（倒序相加法）[5]15-16。可见，等差数列为等比数列的教学做好了知识经验的储备，有了等差数列的学习经历，等比数列的学习将水到渠成，甚至还可以类比构造“等和”“等商”等特殊数列。

（二）空间向量概念的教学

空间两个向量都可以平移到同一平面内，因此平面向量的加法、减法、数乘及其数量积运算等都可以推广到空间。类比平面向量，空间向量的概念和性质可以用平面向量这一知识经验作为基础，通过类比教学法进行教学。

运算律是运算的灵魂，对于平面向量而言，其满足以下运算律：

（1）加法交换律：a+b=b+a;（2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）;（3）数乘结合律：λ（μa）=（λμ）a;（4）数乘分配律1：（λ+μ）a=λa+μa;（5）数乘分配律2：λ（a+b）=λa+λb;（6）数量积交换律：a·b=b·a;（7）数量积结合律：（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）;（8）数量积分配律：a·（b+c）=a·b+a·c。[6]76-95对于空间向量上述运算律依然成立[7]29-30。

平面向量中单位向量、零向量、共线向量、相反向量等概念和空间向量中相应概念保持一致。在平面内，设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则有（1）a+b=（x1+x2，y1+y2）;（2）a-b=（x1-x2，y1-y2）;（3）λa=（λx1，λy1）;（4）a·b=abcosθ;（5）a·b≤ab;（6）a·b=x1x2+y1y2;（7）a=x21+y21;（8）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0;（9）AB=（x2-x1，y2-y1）[其中A（x1，y1），B（x2，y2）];（10）若b≠0，则a∥ba=λbx1=λx2，y1=λy2（λ∈R）。[6]88-99

类比平面向量，空间向量也有上述相应的性质。在空间中，设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则有（1）a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）;（2）a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）;（3）λa=（λx1，λy1，λz1）;（4）a·b=abcos;（5）a·b≤ab;（6）a·b=x1x2+y1y2+z1z2;（7）a=x21+y21+z21;（8）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2+z1z2=0;（9）AB=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）[其中A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）];（10）若b≠0，則a∥ba=λbx1=λx2，y1=λy2，z1=λz2（λ∈R）。[7]36-38

平面向量有共线向量定理，空间向量有共线向量定理和共面向量定理（平面向量基本定理），以上空间向量的运算律和相关性质都是在平面向量学习的基础上进行的，有了平面向量这一知识经验作为基础，学生对空间向量的学习才会游刃有余。

三、探索经验

高中数学中的探索经验主要是指通过对特殊情况和个别事实的求解过程进行分析，归纳问题解决的方法步骤，从而在对一般性问题展开探究的过程中有意识地沿用特殊情况下的经验方法，最终使一般性问题得以解决。如高中数学中指数函数和对数函数、对勾函数图像的生成等，都是在探索的过程中抽象概括形成的。

（一）基本初等函数概念的教学

例6 指数函数、对数函数及其图像[8-9]

把形如y=ax（a>0，且a≠1）的函数称为指数函数，对其性质的研究可以通过其图像进行归纳总结，但因为底数a不确定，所以不能画出其图像。这时应对参数a进行赋值，将指数函数具体化、特殊化，比如取a=2、a=3、a=10，对指数函数y=2x的定义域进行分析，通过列表、描点、连线得到图像，如图1（1）;对于指数函数y=3x和y=10x，也可以通过同样的方法画出图像，如图1（2）和图1（3）;将三个函数图像置于同一坐标系中，如图1（4）。通过观察比较发现，三个函数图像走势一致，定义域、值域、图像所过定点、单调性、图像分布区域等完全相同，这时就可以抽象出它们的性质：定义域是R，值域是（0，+SymboleB@），过定点（0，1），在定义域内单调递增，当x>0时，y>1，当x<0时，0<y<1，对于不同的底数a，其图像在弯曲程度上不尽相同，但是图像走势大体一样，且都过定点（0，1），于是可以抽象概括出一般指数函数y=ax（a>1）的图像如图2所示。图2中坐标系不标注具体刻度，此处曲线代表了无数个指数函数y=ax（a>1）的图像。

有了上述探索的经验，对于指数函数y=ax（0<a<1），也可以按照同样的方法画出其图像，进而可将所有指数函数的图像进行抽象概括与总结。同样的道理，对于对数函数y=logax（a>0，且a≠1）及其图像的研究，也可以利用研究指数函数的经验，先赋值使其具体化，再通过列表、描点、连线画出具体对数函数的图像，最后进行抽象概括，总结出一般的对数函数的图像。

（二）其他常用函数概念的教学

例7 对勾函数及其图像[10]

对勾函数f（x）=ax+bx（a>0，b>0）的应用广泛，它的图像是双曲线，新人教A版数学必修一在92页“探究与发现”中就特殊情形f（x）=x+1x进行了探究。

我们注意到该函数的定义域是xx≠0，关于原点对称，又因为f（-x）=-x+1-x=-f（x），所以函数f（x）的图像关于原点对称。因此，我们只需要研究其在第一象限的图像然后按原点对称即可得到整个定义域上的图像。对f（x）求导可得f′（x）=1-1x2，令f′（x）=0，x>0时，得x=1，且f（1）=2。当0<x<1时，f′（x）<0，f（x）单调递减;当x>1时，f′（x）>0，f（x）单调递增。于是可以证明，f（x）=x+1x的图像是双曲线，根据以上性质就可快速画出函数f（x）=x+1x的图像（如图3）。有了这一探索经验，即可研究函数f（x）=ax+bx（a>0，b>0）的图像及性质。

实际上，探索经验是化归思想的具体体现，探索经验可以有效促进数学新命题和数學猜想的形成，费马猜想、哥德巴赫猜想等都是探索经验的直接成果。在有限集合子集个数问题的探究中，教师可先让学生探索元素个数比较少的情形，逐步积累探索的经验后，便可以推广结论，进而对一般有限集合子集个数的问题进行深刻理解。

四、解题经验

解题经验一般是指在求解一类试题的过程中总结出的规律和经验，通过提炼试题的共性，将其升华成数学中的概念、结论和思想等。解题教学的重要作用是引导学生有条理地思考，让学生学会发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，积累数学活动经验[11]。对一些特殊问题和多个相似问题的求解等，可以充分挖掘问题的本质属性，将其推广形成数学概念。因此，解题的过程既是经验的总结、方法的提炼，又是概念酝酿和产生的重要途径。以下以圆锥曲线和定积分的概念教学为例进行分析。

（一）圆锥曲线概念的教学

例8 圆锥曲线的统一定义

（1）动点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到定直线l：x=254的距离的比是常数45，则易求得点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆，方程为x225+y29=1。[12]47

（2）动点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定直线l：x=165的距离的比是常数54，则易求得点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线，方程为x216-y29=1。[12]59-60

（3）动点M（x，y）到定点F（p2，0）（p>0）的距离和它到定直线l：x=-p2的距离的比是常数1，则易求得点M的轨迹是抛物线，方程为y2=2px（p>0）。[7]71-72

对上述三种不同的圆锥曲线进行本质挖掘可以发现，它们都是到定点的距离和到定直线的距离的比等于常数的动点轨迹，区别只是比值不同而已。于是就可以对圆锥曲线进行统一定义。

平面上到一个定点F的距离和到一条定直线l的距离之比是一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线，其中点F是焦点，定直线l是准线，比值e是离心率[12]76。

（二）定积分概念的教学

（1）由抛物线f（x）=x2，直线x=1及x轴所围成平面图形的面积S，可以采用以直代曲的思想，按照分割、近似代替、求和、取极限的步骤进行求解[3]75-76。

（2）汽车在刹车后滑行的距离s也可以按照分割（滑行时间）、近似代替（速度）、求和、取极限的步骤进行求解[3]76-77 。

（3）弹簧在其弹性系数范围内拉力对物体所做的功也可以按照分割、近似代替、求和、取极限的步骤进行求解[3]78 。

可以看出，面积、路程及做功问题具有一定的共性：它们都有相同的求解步骤，解决的思路和方法完全相同，都是对自变量进行分割，利用函数值的不足近似和过剩近似值代替所对应的函数值，通过求和，最后取极限所得。这一求解问题的程序经过数学抽象概括就生成了定积分的概念。

实际上，解题经验往往能给学生必要的提示和方法指引，比如圆锥曲线的一些典型试题往往可以进行适当的推广，产生有趣而又重要的二级结论。罗增儒教授曾说，在解题过程中，应广泛了解各种解题观点、解题方法和解题技巧……抽象出一些规律性的结论，这些结论不是也不应是点石成金的魔杖，不是也不会是“无题不解”的万能钥匙，但应有一般性的指导意义[13]。罗增儒教授把解题经验比喻为打仗时的“兵法”，为解题学理论打开了大门，有了解题经验，学生对数学概念的理解才会上升到一个更高的境界。

五、实践总结

学生对于新的数学概念的理解和掌握与其已有的学习经验是息息相关的，学习经验多而好的学生对新的数学概念的学习就好比是囊中取物，认为一切新的数学概念的学习都是那么自然而轻松，不会觉得别扭或者难理解，这是经验的积极作用[14]。数学概念是数学内容的核心，是数学的“根”，是导出数学公式、性质的出发点，数学的理论大厦是以概念为支柱构建起来的[15]，数学概念蕴含着丰富的数学思想，但教材中有的概念的呈现方式专业性和科学性较强[16]，可能会给学生理解数学概念带来一定的困难。因此，教师只有不断实践并大量阅读相关文献，才能对数学概念的教学做到准确无误，可对每个概念配以适当的实例，以达到“看见实例想到概念，提到概念联想实例”的效果。

在实际教学中，生活经验、知识经验、探索经验和解题经验并没有明确的界限，各种学习经验往往是相互交融而又相互促进的，新课程改革下的高中数学教学不仅要求教师应具备扎实的教学基本功，还要求教师以学生作为学习的主体，以“立德树人”为教学目标，力求引导学生弄明白数学知识尤其是重要数学概念的来龙去脉，让学生倘佯在数学的海洋里，了解其历史、现状和未来，培养学生的探索精神和数学抽象等核心素养。

参考文献：

[1]胡玉玲.高中数学概念课的有效教学实践[D].武汉：华中师范大学，2015.

[2]罗建宇.“函数的单调性”概念教学的几点思考与建议：一次与青年教师交流的微型讲座[J].中学数学教学参考，2015（7）：17-19.

[3]北京师范大学出版社.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2[M].北京：北京師范大学出版社，2008.

[4]人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

[5]人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学5 必修 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

[6]北京师范大学出版社.普通高中课程标准实验教科书数学4 必修[M].北京：北京师范大学出版社，2014.

[7]北京师范大学出版社.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1[M].北京：北京师范大学出版社，2014.

[8]人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学1 必修 A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

[9]北京师范大学出版社.普通高中课程标准实验教科书数学1 必修[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[10]人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书数学必修第一册 A版[M].北京：人民教育出版社，2019.

[11]张树华.借助信息技术优化解题教学[J].中学数学教学参考，2021（23）：68-70.