系统思维导向下的高中数学“三问”教学模式探究

【摘 要】系统思维要求学生将所认识的对象作为一个完整的系统，从整体与部分的区别和联系进行思考。系统思维导向下的“三问”教学模式指教师要擅于引导学生提出和思考“是什么”“为什么”和“怎么样”这三个问题，其具有多序性和统一性的特点。文章以“分层抽样”为例，通过两次数学实验，引发学生自主提出和思考“三问”并寻求答案，最终做到对分层抽样知识的有效学习，提升学生的数学核心素养。

【关键词】高中数学;系统思维;“三问”教学模式;分层抽样

【作者简介】黄邵华，南宁市第二中学数学教研组组长，高级教师，南宁市优秀教师、教学骨干、技术标兵，获广西区优质课比赛一等奖、全国高中数学联赛优秀教练员称号等，主要研究方向为高中数学教学、高中数学竞赛教学。

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《新课程标准》）中指出，通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”），提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）[1]。相对于以往的课程标准，《新课程标准》更加重视对学生基本活动经验的获取以及对问题从形成到解决的模式的培养。基于此，笔者提出了系统思维导向下的高中数学“三问”教学模式。其是以立德树人为根本任务，以发展学生数学核心素养为目标，以数学问题的提出为导向，对数学知识进行系统性思考，逐步获取数学活动经验的一种教学模式。

建构主义学习理论认为，学习是引导学生从原有经验出发，生长建构起新的经验的过程。系统思维是基于建构主义学习理论的一种思维模式，其要求学生将所认识的对象作为一个完整的系统，从全局的观点出发，从整体与部分、整体与环境的相互作用过程来认识事物，从而把握整体中的组成要素以及组成要素之间的相互联系和相互作用。

高中数学相对初中数学明显的差异是知识的板块和内容增多，各部分知识之间的联系增强，对知识理解和运用的综合性要求更高。因此，教师在高中数学教学过程中要以系统思维为导向，注重知识板块、章节内部及离散知识点之间的关联教学，让学生充分理解和辨析知識的内涵和外延。

一、“三问”教学模式的概念

所谓“三问”，即“是什么”“为什么”和“怎么样”。“三问”教学模式要求教师不论是在新授课、习题课或是其他授课类型，都要擅于引导学生提出和揣摩这三个问题。其中，“是什么”追寻的是知识的同一性问题，即所要探究的问题具有什么样的模式化的结构特征;“为什么”追寻的是知识的本原性问题，即分析探究知识生成过程的逻辑顺序，寻求思考过程的原理;“怎么样”追寻的是知识的操作性问题，即尝试探究找到问题的解决方法，寻求建立这类问题的常用求解模型（如图1）。

“三问”教学模式具有两个明显的特点：多序性和统一性。多序性指三个问题排序有多种排列可能，学生在数学学习过程中根据已有知识和思维方式，会产生不同的发问顺序，可能是先思考“是什么”，再思考“为什么”和“怎么样”，也可能是先有“怎么样”的想法，再去解答“为什么”和“是什么”。统一性指教师在引导学生学习的过程中，要求学生不能只思考其中一个问题，而应该将三个问题进行整体思考和领悟，深刻理解问题的表象和本质，以及具体的解决办法。因此，教师要引导学生学会在已有认知信息与未知认知信息的冲突中发现问题，使学生懂得用所学数学语言提出并准确表述问题，利用已学知识逻辑严密地分析问题。同时，学生能在解决问题的过程中理解该问题在知识体系中的意义和地位，对所学知识进行系统性把握，有效关联相关信息，形成知识网络。

本文以系统思维为导向，以人教版高中数学必修3“分层抽样”一课为例，通过“为什么→是什么→怎么样”的设问顺序，探究系统思维导向下的“三问”教学模式在高中数学教学过程中的应用。

二、系统把握知识框架，理解课程价值及意义

在本节课伊始，教师带领学生复习了之前学习的两种抽样方法：简单随机抽样和系统抽样，让学生回顾这两种抽样方法作为“抽样方法”这个整体知识板块中的元素的区别和联系，并通过列表使其清晰、详细地展示出来。

根据统计学“收集数据—整理数据—分析数据—推断与决策”的整体思维路径和处理路径，分层抽样是属于收集数据中的内容，是之后学习统计学知识的基础。学生在学习分层抽样之前已经学习了简单随机抽样和系统抽样这两种抽样方法的概念、操作方法和适用范围，但对于总体具有明显层次差异的情况还不能很好地解决。分层抽样是对高中数学统计学知识中抽样方法的完善和补充，同时也为下一节“用样本估计总体”的学习打下基础。

本节课作为高中统计学知识的一个节点，知识内容起着承上启下的作用。因此，教师可通过这节课很好地引导学生学会以系统思维为导向发现和提出问题，让学生经历对“为什么”“是什么”和“怎么样”这三个问题的分析和解决过程，使学生既能深刻理解分层抽样的概念，又能充分感受高中统计学知识的学习脉络，以及本节课内容在统计学知识体系中的作用和地位。

三、创设情境、发现问题，提出“为什么”

《新课程标准》中指出，高中数学教学要以发展学生的数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。在本节课中，教师通过数学实验这个实际情境出现的矛盾结果，引导学生思考“为什么”会出现这样的结果，使学生自主发现问题和提出问题，感受本节课学习内容的原理和来龙去脉。

教师首先创设情境问题：某学校高三（1）班共有50名学生，其中男生30名、女生20名，现想从这50名学生中随机抽取5名，并通过计算这5人的平均身高来估算全班学生的平均身高，见表1。该如何进行抽样？（表1中身高单位：cm）

在系统思维导向下，学生提取已有知识体系中的信息，很容易想到用简单随机抽样和系统抽样的方法进行抽样。教师引导学生利用准备好的实验道具进行小组合作探究：分别用简单随机抽样和系统抽样估算出全班学生的平均身高（教师提前将全班学生分成8组，课堂上安排其中4组采用简单随机抽样，另外4组采用系统抽样进行数学实验）。

接下来，教师通过Excel电子表格绘制的折线图与实际平均值做对比，作出如图2所示图表。

由图2可以发现有些小组（如第1组、第3组和第5组）对平均身高的估算值偏离实际平均身高比较大，有些小组的估算值相对准确（如第4组和第7组）。最后，教师让每一组学生代表表述实验数据的结果并分析出现该结果的原因。如第3组学生代表说：“我们组的估算平均值明显高于实际平均值，是因为我们组在简单随机抽样时抽到的5人中有4人是男生，只有1位女生，而男生身高一般比女生高，所以实验数值就偏大了。”其他偏差较大的小组的表述基本也是男女人数差异较大。

著名心理学家鲁宾斯坦的问题思维理论指出，思维的核心是创新，思维起源于问题，是由问题情境产生的，而且是以解决情境问题为目的。本节课创设的数学实验的情境问题既简单又贴近学生的日常生活，一方面能让学生快速理解问题的实际背景，给予学生更多的时间思考解决问题的办法，另一方面能够引起学生足够的兴趣和注意。教师在提出情境问题后，在系统思维导向下，学生自然而然地利用已有知识和方法求解问题。学生通过对求解结果的分析，产生矛盾冲突，自然顺畅地提出并回答问题：“为什么简单随机抽样和系统抽样的结果可能会与实际结果产生较大的差异？”教师引导学生自行总结：因为样本中男生和女生的身高总体差异较大，所以如果在抽样过程中抽到过多的男生或过多的女生，估算值自然就会不准确，这样的抽样分析结果是不科学的。

四、分析背景、寻找特征，提出“是什么”

认知心理学家西蒙指出，人们在解决数学问题时，大多数是通过模式识别来解决的。学生在学习新知识时，往往要建立适当的模式化结构，这种模式化结构能够让学生在将来的学习中对已有信息进行快速识别和应用。在本节课中，教师通过前面的实验探究让学生找到了问题产生的原因，而已学的简单随机抽样和系统抽样都有其特定的抽样背景模式，在系统思维导向下，学生便会进一步思考这类新问题内在的模式化的共性。即从特殊到一般，从具体实验情境出发，尝试发现其普遍性特征，思考什么样的问题在已掌握的技能操作方式下会出现这样的结果。

教师进一步提问：“我们之前学习了简单随机抽样和系统抽样，但显然这两种抽样方法对于刚才的实验都是不太科学的，同学们可否通过以上实验总结一下，什么类型的问题不适合用这两种抽样方法？”学生通过前面实验的过程，可以很自然地发现并回答教师的问题，即前面实验的数据可以分为男生身高和女生身高两个部分，两个部分差异比较明显，因此可以认为如果总体可以分为差异明显的几个部分时，这类问题就不适用简单随机抽样或系统抽样。

教师在引导学生发现和分析问题后，进一步引导学生自主分析问题，让学生能够从这个数学实验的具体背景中，由一个问题的结构特征抽象提炼出一类问题的结构特征，强化学生理解“是什么”的问题，在学生头脑中形成问题的表象特征记忆，发展学生数学抽象和数据分析的数学学科核心素养。

五、实践操作、提炼方法，解决“怎么样”

学生通过实验结果的思维冲突，对产生这样的结果的原因充满好奇。在系统思维导向下，学生会联想到简单随机抽样和系统抽样的问题背景和具体操作过程，自然而然地，学生会提出问题：“当遇到这样的抽样背景时，抽样过程该如何操作呢？”

教师进一步引导学生思考：“该如何改进抽样的方法，才能使抽样的数据更加科学合理？”学生经过思考、交流、讨论，认为由于全班学生中，男生和女生的比例是3∶2，因此在抽取样本时，男生身高和女生身高也应该按3∶2的比例进行抽取。

为了验证这种抽样方法的科学性，教师让各组学生进行实验，并估算全班学生的平均身高。学生在抽样并进行估算后，教师通过Excel电子表格绘制的折线图与实际平均值做对比，作出如图3所示的图表。

由图3可以发现，采用按比例抽样的方法估算出来的平均值比另两种抽样方法更接近于实际平均值，这样的抽样方法实际上就是分层抽样。

在上述实验过程中，教师先通过第一次实验绘制的折线图，让学生发现误差的存在并分析产生的原因，激发学生创新改革抽样方法的欲望，再通过第二次实验中，按比例抽样后绘制的折线图呈现的明显差异，让学生在视觉冲击下发现新抽样方法的优越性。教师通过信息技术的应用，让学生对新概念的认知过程更具直观性，发展学生直观想象和数据分析的数学学科核心素养。

在接下来的探究中，教师引导学生回忆和总结分层抽样的方法，从具体问题中抽象概括出分层抽样的一般操作步骤（如图4）。

教师在充分肯定了学生的集体努力和智慧后，总结了分层抽样的概念：当已知总体由差异明显的几部分组成时（是什么），为了使样本更客观地反映总体的情况（为什么），将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本（怎么样），这样的抽样方法叫做分层抽样。

至此，学生明晰了分层抽样的具体流程，在面对特定的抽样背景时能够明白“怎么样”操作，进而科学合理地解决问题。如此，既培养了学生由特殊到一般的数学思想方法，又发展了学生的数学抽象和数据分析的数学学科核心素养。

六、小结

教师通过两个数学实验，让学生亲自动手进行实验探究，自然而然地发现、提出、分析并解决了“为什么”“是什么”“怎么样”这三个问题。每个问题都能让学生直观而充分地感受分层抽样与简单随机抽样及系统抽样的区别与联系，帮助学生系统性地理解三种抽样方法的适用情况与操作方法，让学生对分层抽样的内涵和外延有了更充分的理解。本节课的设计主线清晰，层层深入，充分发挥了教师的主导作用和学生的主体地位，注重对知识本体在同一性、本原性和操作性上的学习，同时注重对知识体系的整体把握，发展了学生在数据分析、数学抽象、直观想象等方面的数学学科核心素养。

（注：本课例荣获广西南宁市优质课比赛一等奖。）

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

（责任编辑：羅小荧）