例谈一题多解培养学生的创新思维

卢衬云

摘  要：本文就一道几何题的多种解法进行探究，在同样条件下运用不同的知识，设计出不同的解法，从而培养学生的创新思维。

关键词：一题多解;探究;创新思维

解题方法是一个利用已有的知识和经验将末知问题已知化，即按照熟悉化原则进行探究，从而作出解答的过程。一题多解能使学生善于抓住问题的广泛范围，多侧面、多角度考虑问题，在同样条件下运用不同的知识，设计出不同的解法，从而培养学生的创新思维。

创新是有层次的。对中学生来说，独立发现或获取新知识、新方法、新思路、新见解、新组合、新用法等，都是一种创新。因此，我们可以通过教育来培养和发展的。下面就一道几何题的多种解法进行探究，为学生开拓探究的空间和广阔的舞台，从而培养学生的创新思维。

一、新思路、新见解——点燃学生的创新意识

例：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点。求证：CE⊥BE.

解法一：利用勾股定理和勾股定理逆定理

证明：如图（1），过点C作CF⊥AB，垂足为F

∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°

∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°

∴四边形AFCD是矩形

∴AD=CF，  BF=AB-AF=1

在Rt△BCF中，CF2=BC2-BF2=8

∴ CF=2  2      ∴ AD=CF=2  2

∵ E是AD中点

∴ DE=AE=     AD=  2

在Rt△ABE和 Rt△DEC中

EB2=AE2+AB2=6

EC2= DE2+CD2=3

EB2+ EC2=9=BC2

∴ ∠CEB=90°∴ EB⊥EC

解法二：利用梯形的中位线性质和三角形内角和定理

证明： 如图（2），在BC上找中点F，连结EF

∵ 在梯形ABCD中，E、F分别是DA、CB的中点

∴EF=   （DC+AB）=   （1+2）=1.5

∵F是CB的中点   ∴CF=FB=      CB=1.5

∴EF=CF=FB∴∠CEF=∠ECF，∠FEB=∠CBE

∵∠CEF+∠ECF+∠FEB+∠CBE=180°

∴2∠CEF+2∠FEB=180°

∴∠CEF+∠FEB=90°∴ EB⊥EC

或：过点E作EF∥DC，交CB于点F， 利用平行线分线段成比例定理证点F是CB的中点（证法略）

二、新知识、新方法——激发学生的创新潜能

例：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点. 求证：CE⊥BE.

解法三：利用割补法或旋转法构造等腰三角形

证明： 如图（3），延长CE、BA交点F

∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°

∴ ∠D=∠EAF=90°， ∠DCE=∠F

∵ E是AD中點∴ DE=AE=      AD

∴△CDE≌△FAE∴AF=DC=1，FE=EC

∴BF=BA+AF=3

在△CBF中，BC=BF=3，FE=EC∴EB⊥EC

或： 将△CDE绕点E顺时针旋转90°与△FAE重合，得到△CDE≌△FAE（证法略）

三、新组合、新用法——培养学生的创新能力

例：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点. 求证：CE⊥BE.

解法四：利用勾股定理和相似三角形的性质

证明： 如图（4），过点C作CF⊥AB，垂足为F

∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°

∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°

∴四边形AFCD是矩形

∴AD=CF，  BF=AB-AF=1

在Rt△BCF中，

CF2=BC2-BF2=8

∴ CF=2  2

∴ AD=CF=2  2

∵ E是AD中点   ∴ DE=AE=    AD=  2

∵       =        =         ，       =

∴       =

∵∠D=∠A=90°

∴△CDE∽△EAB

∴∠DEC=∠EBA

∵∠EBA+∠AEB=90°

∴∠DEC+∠AEB=90°

∴∠CEB=180°- 90°=90°

∴EB⊥EC

解法五：利用勾股定理和锐角三角函数

证明： 如图（5），过点C作CF⊥AB，垂足为F

∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°

∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°

∴四边形AFCD是矩形

∴AD=CF，  BF=AB-AF=1

在Rt△BCF中，CF2=BC2-BF2=8

∴ CF=2  2

∴ AD=CF=2  2

∵ E是AD中点

∴ DE=AE=     AD=  2

在Rt△DCE中，

tan∠CED=         =       =

在Rt△DCE中，tan∠DCE=         =

∴∠CED=∠EBA

∵∠EBA+∠AEB=90°

∴∠CED+∠AEB=90°

∴∠CEB=180°- 90°=90°

∴EB⊥EC

通过对一道几何题的多种解法进行探究，使学生学到的不仅是一道题的解法，而是学习了一类问题的思维方法和解决问题的知识，有益于提高学生学习的主动性及分析问题解决问题的能力，从而拓宽了学生的思维领域。

笛卡说过“数学是使人变聪明的一门学科”。在这方面，苏霍姆林斯基在总结一生的工作时说：“我在学校工作了近35年，直到20年前我才明白，在课堂上要做的两件事：其一要教给学生一定的知识;其二要使学生变得聪明”。说明了学生的学习目的在于学会怎样科学地思维，掌握科学思维方法。因此，在教学上我们要注重发挥习题的功能，让学生在解题过程中，捕捉有用的信息进行思考，寻觅旧有原题的解题方法，再探求新问题的解法，形成解决问题的新方法，最大限度地开发学生的创新思维。同时，作为教师要及时给予肯定鼓励，使学生感到学无止境，不断向高处攀登。这正是陶行知先生早就盼望的：处处是创造之地，天天是创造之时，人人是创造之人。

参考文献：

[1] 王培德 .数学思想应用及探究—建构建构教学[M]. 人民教育出版社，2008，8

[2] 黄为.让数学课堂充满生命的活力—谈数学思维能力的培养[J].中学数学研究，2010，4.

（作者單位：东莞市万江区万江第二中学，广东  东莞  523049）