2021年浙江省数学高考第10题的深度探究

施利强, 沈栋啸

(1.德清县高级中学，浙江 德清 313200；2.绍兴市第一中学，浙江 绍兴 312099)

( )

初看题目，给我们一种熟悉的感觉，马上想到了解决数列题常用的不动点、蛛网图等方法.但是仔细探究发现，本题考查的重点并不在此，用常规处理手法就可以解决.因此，该题较好地考查了学生的基本功，也起到了较好的选拔作用.以下，笔者先呈现该题的常规处理方法.

1 多维剖析，解法呈现

图1

评注相比较前面的解法，解法3较为简洁，但该解法有较强的技巧性，在考场中很难想到.笔者尝试构造累加式an

2 变式探究，建立模型

与上面的解法类似，取倒数待定系数分析求解可得：

考察发现，多数老师疏于对微课的认知与研究，在使用过程中，往往硬性地将微课嵌入到课件当中，作为新授课内容的一部分，缺乏课前预习、课后复习等灵活形式的尝试。甚至有个别老师，插入微视频只是为了调节气氛，不知道其就是微课，对视频的选择、制作也没有针对性。综合种种问题，所体现的就是微课缺乏科学系统的设计，局限于课堂之上，而应用效率不高。究其原因，主要有以下几点：教师对现代教育的信息技术的意识淡薄；对相关新技术培训和学习的机会较少；对传统教学方式存在根深蒂固的思想，难以实现意识领域的根本改观等。

在该放缩结论下，进一步累加或者构造等比数列求和可以估计前n项和的上下界.

3 深度挖掘，探究本质

为进一步探究数列{an}的收敛速度提供理论基础，我们先介绍Stolz公式.实际上，Stolz公式也称为数列的L′Hospital法则，是研究数列收敛速度较为有效的工具.

4 回顾历年，寻找蘑菇

波利亚曾经把“数学题”比作“蘑菇”，好问题如同某些蘑菇，它们都成堆地生长，找到一个以后，应当在周围再找找，很可能在附近就有好几个.笔者回顾了浙江省数学高考题中的数列题，发现本质都在考查数列的收敛速度.以下笔者给出部分真题中数列收敛速度的分析.

例1已知函数f(x)=x2+x3，数列{xn}(其中xn>0)的第一项x1=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在(xn+1,f(xn+1))处的切线与经过点(0,0)和点(xn,f(xn))的直线平行，求证：当n∈N*时，

(2006年浙江省数学高考理科试题第20题)

由迭代函数结合蛛网图(如图2)可知：{xn}单调递减收敛到0.又

图2

(2015年浙江省数学高考理科试题第20题)

图3

1)证明：|an|≥2n-1(|a1|-2)；

(2016年浙江省数学高考理科试题第20题)

例4已知数列{xn}满足x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*),证明：当n∈N*时，

1)0

(2017年浙江省数学高考试题第22题)

图4

评注通过挖掘对比可以发现，这几年浙江省高考数列压轴题的出题背景方向都是考查数列的收敛速度.收敛速度的探究对学生思维能力提出了更高的要求，也为我们平时的教学提供了方向.

5 写在最后

本文对一道高考题进行深入挖掘的同时，得到了以下的教学启示：

首先，一线教师在教学过程中，应该注重基础知识和技能的训练.本题的核心处理手法还是我们熟悉的累加求和以及简单裂项求和放缩.

其次，我们在平时的教学过程中，要拓宽学生的思维和知识量.本题若没有对数列的处理方法掌握到一定的程度，没有对数列的迭代本质了解透彻，则在考场中很难找到切入点.

最后，通过对试卷的研究，笔者深刻意识到回归书本的重要性.本次高考试题重在考查思维能力和计算能力，起到了很好的选拔作用.因此，我们在注重拓展与拔高的同时，要重视基础，回归课本.